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- 2021-06-24 发布
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2.3.3-2.3.4 平面与平面垂直的性质
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.如果直线a与平面α不垂直,那么平面α内与直线a垂直的直线有( )
A.0条 B.1条 C.无数条 D.任意条
解析:可构造图形,若a∥α,a′⊂α,且a ′∥a,则在平面α内有无数条直线垂直于a′,故平面α内有无数条直线垂直于直线a.
答案:C
2.已知l,m、n为两两垂直的三条异面直线,过l作平面α与直线m垂直,则直线n与平面α的关系是( )
A.n∥α B.n∥α或n⊂ α
C.n⊂α或n与α不平行 D.n⊂α
解析:∵l⊂α,且l与n异面,∴n⊄α,
又∵m⊥α,n⊥m,∴n∥α.
答案:A
3.直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD,直线m垂直于AD和BC,则l与m的位置关系是( )
A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定
解析:因为直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD,所以直线l垂直于平面ABCD,而直线m垂直于AD和BC,因为AD∥BC,所以直线m与平面ABCD位置关系不确定,所以l与m的位置关系是不确定.
答案:D
4.已知直二面角αABβ,点C∈α,点D∈β,满足∠CAB=∠DAB=45°,AC=AD,则∠CAD的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
解析:如图.过C作CO⊥AB,O为垂足,连接OD,
∵α⊥β,α∩β=AB,CO⊥AB,
∴CO⊥β,CO⊥OD.
又∠CAO=∠DAO=45°,
AC=AD,
∴△AOC≌△AOD,∴AO=OD=OC,
∴AC=AD=CD,∴∠CAD=60°.
答案:C
5
5.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为和,过点A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A′,B′,则AB∶A′B′等于( )
A.2∶1 B.3∶1
C.3∶2 D.4∶3
解析:连接A′B,AB′.设AB=a,则AA′=a,AB′=a,∴A′B′=a,
∴AB∶A′B′=2∶1.
答案:A
6.若直线n⊥平面α,直线m⊂β,下列命题:①α∥β⇒n⊥m;②α⊥β⇒n∥m;③n∥m⇒α⊥β;④n⊥m⇒α⊥β.其中正确的是________.(只填序号)
解析:⇒⇒n⊥m,故①正确;
⇒⇒α⊥β,故③正确.
答案:①③
7.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E是BC1的中点,则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________.
解析:取BC的中点F,连接EF,DF(图略),易知∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角,
tan∠EDF==.
答案:
8.线段AB在平面α的同侧,A、B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为________.
解析:如图设AB中点为M,分别过A、M、B向α作垂线,垂足为A1、M1、B1,则由线面垂直的性质可知.
AA1∥MM1∥BB1,
四边形AA1B1B为直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,∴MM1=4.
答案:4
9.如图,△ABC为等边三角形,EC⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,CE=CA=2BD,M是EA的中点,N是EC的中点,求证:平面DMN∥平面ABC.
5
证明:因为M,N分别是EA,EC的中点,所以MN∥AC.
又因为AC⊂平面ABC,MN⊄平面ABC,
所以MN∥平面ABC.
因为DB⊥平面ABC,EC⊥平面ABC,所以DB∥EC.
所以四边形BDEC为直角梯形.
因为N为EC的中点,EC=2DB,
所以NC綊DB.
所以四边形BCND为矩形.
所以DN∥BC.
又因为DN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以DN∥平面ABC.
又因为MN∩DN=N,且MN,DN⊂平面DMN,
所以平面DMN∥平面ABC.
[B组 能力提升]
1.如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小( )
A.变大
B.变小
C.不变
D.有时变大有时变小
解析:由于BC⊥CA,l⊥平面ABC,∴BC⊥l,故BC⊥平面ACP,∴BC⊥CP,∴∠PCB=90°,故选C.
答案:C
2.给出下列四个说法:
①垂直于同一平面的两条直线相互平行;
②垂直于同一平面的两个平面相互平行;
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线,那么这条直线垂直于这个平面.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:①④正确,②③错误.
答案:B
3.如图,空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,∠BCD
5
=90°,且AB=AD,则AC与平面BCD所成的角是________.
解析:如图,取BD的中点E,连接AE、CE.由AB=AD得AE⊥BD.
∵平面ABD⊥平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,
AE⊂平面ABD,
∴AE⊥平面BCD.
∴EC为AC在平面BCD上的射影,∠ACE为AC与平面BCD所成的角.
∵在Rt△BCD中,E为BD的中点,∴CE=BE.
又AE=BE,∴在Rt△ACE中,AE=CE,∠ACE=45°.
∴AC与平面BCD所成的角为45°.
答案:45°
4.如图,正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A′ED是△AED绕DE翻折过程中的一个图形,现给出下列四个命题:
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;
②恒有平面A′GF⊥平面BCED;
③三棱锥A′FED的体积有最大值;
④直线A′E与BD不可能垂直.
其中正确命题的序号是________.
解析:对于命题①,由题意,知A′G⊥DE,FG⊥DE,A′G∩FG=G,故DE⊥平面A′FG.又DE⊂平面ABC,所以平面A′FG⊥平面ABC,故该命题正确;对于命题②,由①可知正确;对于命题③,当A′G⊥平面ABC时,三棱锥A′FED的体积有最大值,故命题③正确;对于命题④,当A′E在平面ABC上的射影与直线BD垂直时,易证A′E与BD垂直,故该命题不正确.
答案:①②③
5.如图,边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的交点为M,AC⊥BC,且AC=BC.
(1)求证:AM⊥平面EBC;
(2)求直线EC与平面ABE所成角正切值.
5
解析:(1)证明:∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,BC⊥AC,
∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE,∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形,∴AM⊥CE.
又BC∩CE=C,∴AM⊥平面EBC.
(2)取AB的中点F,连接CF,EF.
∵EA⊥AC,平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,
∴EA⊥平面ABC,∴EA⊥CF.
又AC=BC,∴CF⊥AB.
∵EA∩AB=A,∴CF⊥平面AEB,
∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角.在Rt△CFE中,CF=,FE=,
tan∠CEF==.
5
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