高中数学（人教版必修2）配套练习 第二章2.3.4 平面与平面垂直的性质 4页

2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 一、基础过关 1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是 ( ) ①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； ②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A．4 B．3 C．2 D．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这 条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 ( ) A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行 3．若 m、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ( ) ① m∥n m⊥α ⇒n⊥α； ② m⊥α n⊥α ⇒m∥n； ③ m⊥α n∥α ⇒m⊥n; ④ m∥α m⊥n ⇒n⊥α. A．1 B．2 C．3 D．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点 P，且 PA＝PB＝PC，则 P 在α内的射影是△ABC 的( ) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 5. 如图所示，AF⊥平面 ABCD，DE⊥平面 ABCD，且 AF＝DE，AD＝6，则 EF＝________. 6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则 a 与β的关系为________． 7. 如图，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，平面 PAB⊥平面 PBC. 求证：BC⊥AB. 8. 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点，N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC. 求证：(1)MN∥AD1； (2)M 是 AB 的中点． 二、能力提升 9. 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π 4 和π 6.过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为 A′、B′，则 AB∶A′B′等于( ) A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3 10．设α－l－β是直二面角，直线 a⊂α，直线 b⊂β，a，b 与 l 都不垂直，那么( ) A．a 与 b 可能垂直，但不可能平行 B．a 与 b 可能垂直，也可能平行 C．a 与 b 不可能垂直，但可能平行 D．a 与 b 不可能垂直，也不可能平行 11．直线 a 和 b 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 的两个不同平面内，使 a∥b 成立的条件是 ________．(只填序号) ①a 和 b 垂直于正方体的同一个面； ②a 和 b 在正方体两个相对的面内，且共面； ③a 和 b 平行于同一条棱； ④a 和 b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 12．如图所示，在多面体 P—ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB∥DC， △PAD 是等边三角形，已知 BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点， 求证：平面 MBD⊥平面 PAD； (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积． 三、探究与拓展 13．如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝BC＝1 2AA1，D 是棱 AA1 的中点，DC1⊥BD. (1)证明：DC1⊥BC； (2)求二面角 A1－BD－C1 的大小． 答案 1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a⊥β 7．证明 在平面 PAB 内，作 AD⊥PB 于 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC， 且平面 PAB∩平面 PBC＝PB. ∴AD⊥平面 PBC. 又 BC⊂平面 PBC， ∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC， BC⊂平面 ABC， ∴PA⊥BC，∴BC⊥平面 PAB. 又 AB⊂平面 PAB， ∴BC⊥AB. 8．证明 (1)∵ADD1A1 为正方形， ∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1， ∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD＝D， ∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC， ∴MN∥AD1. (2)连接 ON，在△A1DC 中， A1O＝OD，A1N＝NC. ∴ON 綊 1 2CD 綊 1 2AB， ∴ON∥AM. 又∵MN∥OA， ∴四边形 AMNO 为平行四边形， ∴ON＝AM. ∵ON＝1 2AB，∴AM＝1 2AB， ∴M 是 AB 的中点． 9．A 10．C 11．①②③ 12．(1)证明 在△ABD 中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4 5， ∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD. 又∵面 PAD⊥面 ABCD，面 PAD∩面 ABCD＝AD，BD⊂面 ABCD， ∴BD⊥面 PAD，又 BD⊂面 BDM， ∴面 MBD⊥面 PAD. (2)解 过 P 作 PO⊥AD， ∵面 PAD⊥面 ABCD， ∴PO⊥面 ABCD， 即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高． 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形， ∴PO＝2 3. 在底面四边形 ABCD 中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形 ABCD 为梯形． 在 Rt△ADB 中，斜边 AB 边上的高为4×8 4 5 ＝8 5 5 ， 此即为梯形的高． ∴S 四边形 ABCD＝2 5＋4 5 2 ×8 5 5 ＝24. ∴VP—ABCD＝1 3 ×24×2 3＝16 3. 13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于 D 为 AA1 的中点，故 DC＝DC1. 又 AC＝1 2AA1，可得 DC21＋DC2＝CC21，所以 DC1⊥DC.而 DC1⊥BD，CD∩BD＝D，所以 DC1⊥平面 BCD. 因为 BC⊂平面 BCD，所以 DC1⊥BC. (2)解 DC1⊥BC，CC1⊥BC⇒BC⊥平面 ACC1A1⇒BC⊥AC，取 A1B1 的中点 O，过点 O 作 OH⊥BD 于点 H，连接 C1O，C1H，A1C1 ＝B1C1⇒C1O⊥A1B1，面 A1B1C1⊥面 A1BD⇒C1O⊥面 A1BD，又 ∵DB⊂面 A1DB，∴C1O⊥BD，又∵OH⊥BD，∴BD⊥面 C1OH， C1H⊂面 C1OH，∴BD⊥C1H，得点 H 与点 D 重合，且∠C1DO 是二面角 A1－BD－C 的平面角，设 AC＝a，则 C1O＝ 2 2 a，C1D ＝ 2a＝2C1O⇒∠C1DO＝30°，故二面角 A1－BD－C1 的大小为 30°.