【数学】2020届一轮复习人教A版立体几何作业 14页

‎1.给出以下四个命题 ‎①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；‎ ‎②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；‎ ‎③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；‎ ‎④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.‎ 其中真命题的个数是 (　　)‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【解析】选B.根据直线与平面平行的性质可知①正确.根据直线与平面垂直的判定定理可知②正确.因为两条直线可以平行，也可以相交，也可以是异面直线，所以③错误.由两个平面垂直的判定定理可知④正确.所以真命题的个数是3.‎ ‎2.(2018·泸州模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是 (　　)‎ A.若a⊥b，a⊥α，则b∥α B.若a∥α，α⊥β，则a∥β C.若a∥α，a∥β，则α∥β D.若a∥b，a⊥α，b⊥β，则α∥β ‎【解析】选D.对于A，还可以有bα，显然结论错误；‎ 对于B，a∥β，aβ或a与β相交，显然结论错误；‎ 对于C，若α∩β=l，a∥l，显然a∥α，a∥β，但α∥β不成立，‎ 对于D，因为a∥b，a⊥α，所以b⊥α，又b⊥β，所以α∥β.‎ ‎3.表面积为2的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ‎ (　　)‎ A.π B.π C.π D.π ‎【解析】选A.因为正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×=2知，a=1，则此球的直径为.所以此球的体积为π×=π.‎ ‎4.(2018·宣城模拟)在空间直角坐标系中，若以点A(4，1，9)，B(10，-1，6)，C(x，3，3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值是 ‎ (　　)‎ A.-1　　 　B.1　　 　C.7　　 　D.1或7‎ ‎【解析】选D.因为在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)，B(10，-1，6)，C(x，3，3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，‎ 所以|AB|=|AC|，即 ‎=，‎ 解得x=1或x=7.‎ ‎5.把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线和平面所成的角的大小为（ ）度 A．90 B．60 C．45 D．30‎ ‎【答案】C ‎【解析】折叠后所得的三棱锥中易知当平面垂直平面时三棱锥的体积最大．设的中点为,则即为所求,而是等腰直角三角形,所以,故选C．‎ ‎6.【辽宁省辽阳市2018学届高三第一次模拟】如图，圆形纸片的圆心为，半径为 cm，该纸片上的正方形的中心为， ， ， ， 为圆上的点， ， ， ， 分别以， ， ， 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以， ， ， 为折痕折起， ， ， ，使得， ， ， 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】如图： ‎ 连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x，则OI=， .‎ 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，则，，解得，外接球的体积 ‎7．【山东省济南市2019届高三上学期期末】在正方形中，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 连接FC，与DE交于O点，取BE中点为N，‎ 连接ON，CN，易得ON∥BD ‎∴∠CON就是异面直线与所成角 设正方形的边长为2，‎ OC=，ON=，CN=‎ ‎∴cos∠CON==‎ 故答案为：‎ ‎8.如图所示,在四边形中, ,将四边形沿对角线折成四面体,使平面平面,则下列结论正确的是 ．‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）与平面所成的角为； ‎ ‎（4）四面体的体积为．‎ ‎【答案】（2）（4）‎ ‎【解析】平面平面平面,与平面所成的角为 ‎,四面体的体积为, ,综上（2）（4）成立．‎ ‎9．如图,矩形中,,为边的中点,将沿直线翻折成,若为线段的中点,则在翻折过程中,下面四个选项中正确的是 (填写所有的正确选项)‎ ‎（1）是定值 ‎ ‎（2）点在某个球面上运动 ‎（3）存在某个位置,使 ‎ ‎（4）存在某个位置,使平面 ‎【答案】（1）（2）（4）．‎ ‎【解析】取中点,连接,,则,,∴平面平面,‎ ‎∴平面,故（4）正确；由,为定值,为定值,‎ 由余弦定理可得,∴是定值,故（1）正确；‎ ‎∵是定点,∴是在以为圆心,为半径的圆上,故（2）正确；∵在平面中的射影为,与不垂直,∴存在某个位置,使错误,故（3）错误．‎ ‎10．【四川省广元市高2018届第二次高考适应性统考】如图，在矩形中， ， ， 是的中点，以为折痕将向上折起， 变为，且平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证： ；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：∵， ，‎ ‎∴，∴， ‎ 取的中点，连结，则， ‎ ‎∵ 平面平面，‎ ‎∴平面，∴ ，‎ 从而平面，∴‎ ‎（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，‎ 则、、、，‎ ‎，从而=（4,0,0），，.‎ 设为平面的法向量，‎ 则可以取 设为平面的法向量，‎ 则可以取 因此， ，有，即平面 平面，‎ 故二面角的大小为.‎ ‎11.【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面 平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积．‎ ‎【解析】（Ⅰ）折叠前，因为四边形为菱形，所以；‎ 所以折叠后，，, 又，平面，‎ 所以平面 ‎ 因为四边形为菱形，所以．‎ 又点为线段的中点，所以．‎ 所以四边形为平行四边形．‎ 所以． ‎ 又平面，所以平面． ‎ 因为平面，所以平面平面． ‎ ‎（Ⅱ）图1中，由已知得，，‎ 所以图2中，，又 所以，所以 又平面，所以 ‎ 又，平面，‎ 所以平面， ‎ 所以．‎ 所以三棱锥的体积为．‎ ‎12．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模】如图，在多边形中（图1），为长方形，为正三角形，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好在上（图2）.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若点在线段上，且，当点在线段上运动时，求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】（Ⅰ）过点作，垂足为.‎ 由于点在平面内的射影恰好在上，‎ ‎∴平面. ‎ ‎∴.‎ ‎∵四边形为矩形，∴.‎ 又，∴平面，‎ ‎∴.‎ 又由，，可得，同理.‎ 又，∴，∴，且，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）设点到底面的距离为，‎ 则.‎ 由，可知，‎ ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎13．【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】如图所示，在边长为2的菱形中，，现将沿边折到的位置．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥体积的最大值．‎ ‎【解析】（1）如图所示，‎ 取的中点为，连接，易得，,又 面 ‎ ‎（2）由（1）知 ，‎ ‎ = ,当时，的最大值为1.‎ ‎14．【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】如图所示甲，在四边形ABCD中，，，是边长为8的正三角形，把沿AC折起到的位置，使得平面平面ACD，如图所示乙所示，点O，M，N分别为棱AC，PA，AD的中点．‎ 求证：平面PON；‎ 求三棱锥的体积．‎ ‎【解析】如图所示，为正三角形，O为AC的中点，‎ ‎，‎ 平面平面ACD，平面平面，‎ 平面ACD，平面ACD，‎ ‎．‎ ‎，，，‎ ‎，即．‎ ‎，N分别为棱AC，AD的中点，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ 平面PON；‎ 解：由，，，可得，‎ 点O、N分别是AC、AD的中点，‎ ‎，‎ 是边长为8的等边三角形，‎ ‎，‎ 又为PA的中点，‎ 点M到平面ANO的距离，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎15．【湖北省荆门市2019届高三元月调研】如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图．‎ ‎1若，证明：平面；‎ ‎2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．‎ ‎【解析】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，‎ 由已知得，，平面 又平面BDE，，‎ 又，，平面 ‎2在图2中，，，，即面DEFC，‎ 在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，‎ 由题意得，，由勾股定理可得，则，，‎ 过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，‎ 以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎．‎ 设平面ACD的一个法向量为，‎ 由得,取得，‎ 设，则m，，，得 设CP与平面ACD所成的角为，‎ ‎．‎ 所以 ‎16．【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟】已知如图（1）直角梯形，，，，，为的中点，沿将梯形折起（如图2），使.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【解析】（1）由已知可得为直角三角形，所以.‎ 又，所以，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为平面，平面，所以，‎ 又因为，平面，平面，，‎ 所以，平面，又因为，所以平面，‎ 又因为平面，所以.‎ 在直角中，，‎ 设点到平面的距离为，由，‎ 则，所以.‎ ‎16.正△的边长为4,是边上的高,分别是和边的中点,现将△沿翻折成直二面角．‎ ‎（1）试判断直线与平面的位置关系,并说明理由；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）在线段上是否存在一点,使？证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）问可利用翻折之后的几何体侧面的中位线得到,便可由线面平行的判定定理证得；（2）先根据直二面角将条件转化为面,然后做出过点且与面垂直的直线,再在平面内过作的垂线即可得所求二面角的平面角；（3）把作为已知条件利用,利用中过与垂直的直线确定点的位置.‎ ‎【解析】（1）如图：在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF//AB,‎ 又AB平面DEF,EF平面DEF．‎ ‎∴AB∥平面DEF． ‎ ‎（2）∵AD⊥CD,BD⊥CD ‎ ‎ ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角 ‎∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD 取CD的中点M,这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF ‎∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角,‎ 在Rt△EMN中,EM=1,MN=‎ ‎∴tan∠MNE=,cos∠MNE=‎ ‎（3）在线段BC上存在点P,使AP⊥DE.‎ 证明如下：在线段BC上取点P,使,过P作PQ⊥CD与点Q,‎ ‎∴PQ⊥平面ACD ‎ ‎∵,‎ 在等边△ADE中,∠DAQ=30°,∴AQ⊥DE∴AP⊥DE.‎