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  • 2021-06-25 发布

【数学】2020届一轮复习人教B版椭圆的参数方程作业

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一、选择题 ‎1.曲线(θ为参数)的长轴长为 ( B )‎ A.2          B.4‎ C.6 D.8‎ ‎【解析】 将曲线的参数方程化为普通方程,得x2+=1,它表示焦点在y轴上的椭圆,其长轴长为4.‎ ‎2.椭圆(θ为参数)的焦距为 ( B )‎ A.    B.2 C. D.2 ‎【解析】 ∵,∴+=1.∴a2=25,b2=4,c2=21,∴焦距2c=2.‎ ‎3.椭圆(θ为参数,且a>b>0),若θ∈[0,2π),则椭圆上的点(-a,0)对应的θ= ( A )‎ A.π B. C.2π D. ‎【解析】 将椭圆方程化为普通方程为+=1(a>b>0),∴点(-a,0)对应的θ=π,故选A.‎ ‎4.点(2,3)对应曲线 (θ为参数)中参数θ的值为 ( D )‎ A.kπ+ (k∈Z) B.kπ+ (k∈Z)‎ C.2kπ+ (k∈Z) D.2kπ+ (k∈Z)‎ ‎【解析】 由题意知2=4cosθ,3=6sinθ,‎ ‎∴cosθ=,sinθ=,∴θ=2kπ+,k∈Z.‎ ‎5.曲线C1:与C2: (0≤θ≤π)的交点对应的θ值为 ( D )‎ A.或 B.或 C.0或 D.或 ‎【解析】 根据题意有,‎ ‎∴有(sinθ-1)=cosθ,sinθ-cosθ=,‎ ‎2sin=,∴sin=,‎ ‎∵0≤θ≤π,∴θ=或.‎ ‎6.设O是椭圆的中心,P是椭圆上对应于φ=的点,那么直线OP的斜率为 ( D )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 当φ=时,x=3cos=,‎ y=2sin=1,∴kOP===.‎ 二、填空题 ‎7.若实数x,y满足+=1,则z=x-y的最大值为__5__,最小值为__-5__. ‎【解析】 由椭圆的参数方程,可设x=4cosθ,y=3sinθ,‎ 所以z=x-y=4cosθ-3sinθ=5cos(θ+φ),其中φ为锐角,且tanφ=.‎ 故-5≤z≤5.‎ ‎8.椭圆 (θ为参数)内接正方形的面积是  . ‎【解析】 设内接正方形在第一象限的顶点为(4cosθ,3sinθ),∴有4cosθ=3sinθ,∴tanθ=,‎ ‎∴sinθ=,cosθ=,‎ S=4·4cosθ·3sinθ=48··=.‎ ‎9.已知点P是曲线(θ为参数,0≤θ≤π)上一点,O为坐标原点,直线PO的倾斜角为,则P点坐标是  . ‎【解析】 将曲线C化为普通方程,得+=1,‎ 因为直线OP的倾斜角为,所以其斜率为1,‎ 则直线OP的方程为y=x,联立方程组,解得x=y=,即P点坐标为 .‎ ‎10.对任意实数k,直线y=kx+b与椭圆,(0≤θ≤2π)恒有公共点,则b的取值范围是__[-1,3]__. ‎【解析】 椭圆的普通方程是+=1.‎ 令x=0,得y=-1或3.直线y=kx+b对任意的实数k,恒过点(0,b).要使直线与椭圆恒有公共点,根据图象得b∈[-1,3].‎ 三、解答题 ‎11.椭圆的参数方程为(t为参数),点P为椭圆上对应t=的点,求直线OP的斜率. ‎【解析】 当t=时,x=1+3cos=1+,‎ y=-2+2sin=-1,‎ 所以OP的斜率k===.‎ ‎12.已知直线l的参数方程为(t为参数),P是椭圆+y2=1上任意一点,求点P到直线l的距离的最大值. ‎【解析】 直线l的参数方程为(t为参数),‎ 故直线l的普通方程为x+2y=0.‎ 因为P为椭圆+y2=1上任意点,‎ 故可设P(2cosθ,sinθ),其中θ∈[0,2π).‎ 因此点P到直线l的距离 d==.‎ 所以,当sin(θ+)=1,即θ=时,d取得最大值.‎ B级 素养提升 一、选择题 ‎1.参数方程 (θ为参数)表示的曲线是 ( A )‎ A.以(±,0)为焦点的椭圆 B.以(±4,0)为焦点的椭圆 C.离心率为的椭圆 D.离心率为的椭圆 ‎【解析】 ⇒ 平方相加得+=1,c2=16-9=7,‎ ‎∴c=,∴焦点为(±,0).‎ ‎2.椭圆的左焦点的坐标是 ( B )‎ A.(-,0) B.(1-,0)‎ C.(-1-,0) D.(-1,0)‎ ‎【解析】 化为普通方程为+=1,其中a2=16,b2=9,c2=a2-b2=16-9=7,‎ ‎∴c=,∴左焦点为(1-,0)‎ ‎3.椭圆+=1上点到直线x+2y-4=0的距离最小值为 ( A )‎ A. B. C. D.0‎ ‎【解析】 设椭圆上任意一点P(3cosθ,2sinθ),‎ 由点到直线距离公式得:‎ d==,‎ ‎∴dmin==.‎ ‎4.已知点P是椭圆(θ为参数)上一点,点O是坐标原点,OP的倾斜角为,则|OP|等于 ( C )‎ A. B.2 C. D.2 ‎【解析】 设P点坐标为(4cosθ,2sinθ),∵OP的倾斜角为,‎ ‎∴4cosθ=|OP|·cos,2sinθ=|OP|·sin,∴|OP|=.‎ ‎5.椭圆的离心率是 ( A )‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎6.P(x,y)是曲线+=1上的动点,则x+y的最大值是__5__. ‎【解析】 令 (θ为参数),‎ 则x+y=4cosθ+3sinθ=5sin(θ+φ),‎ ‎∴最大值为5.‎ ‎7.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为ρ(cosθ-sinθ)+1=0,则C1与C2的交点个数为__2__. ‎【解析】 本题考查了参数方程与极坐标知识.‎ 由题意知C1方程为+=1,表示椭圆;而C2方程即ρcosθ-ρsinθ+1=0表示直线x-y+1=0,由C1和C2方程联立得,消去y得7x2+8x-8=0,由Δ=64+4×7×8>0知曲线C1与曲线C2有两个交点.‎ ‎8.设椭圆的参数方程为(0≤θ≤π),M(x1,y1)、N(x2,y2)是椭圆上两点,M、N对应的参数为θ1、θ2且x1θ2__. ‎【解析】 因为x=acosθ且x1θ2.‎ 三、解答题 ‎9.椭圆+=1(a>b>0)的长轴两端点分别为A1、A2的弦P1P2⊥A1A2,且A1P1、P2A2相交于M,当P1P2平行移动时,求点M的轨迹方程. ‎【解析】 椭圆+=1的参数方程为 (0≤θ<2π),‎ 设P1(acosθ,bsinθ),则P2(acosθ,-bsinθ),A1(-a,0),A2(a,0),‎ 过A1M的直线方程为=, ①‎ 过A2M的直线方程为=, ②‎ ‎①×②得=,‎ 化简得-=1.‎ ‎10.已知直线l:(t为参数,α≠kπ,k∈Z)经过椭圆C:(φ为参数)的左焦点F. ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|·|FB|的最小值.‎ ‎【解析】 (1)∵椭圆C:(φ为参数)的普通方程为+=1,方程的左焦点为F,‎ ‎∴F(-1,0).‎ ‎∵直线l:(t为参数,α≠kπ,k∈Z)的普通方程为:y=tanα(x-m).‎ ‎∵α≠kπ,k∈Z,‎ ‎∴tanα≠0‎ ‎∵直线经过点F,‎ 所以:0=tanα(-1-m),解得:m=-1.‎ ‎(2)将直线的参数方程(t为参数)代入椭圆C的普通方程+=1并整理得:‎ ‎(3cos2α+4sin2α)t2-6tcosα-9=0.‎ 设点A、B在直线参数方程中对应的参数分别为t1和t2,‎ 则|FA|×|FB|=|t1t2|‎ ‎= ‎=,‎ 当sinα=±1时,|FA|×|FB|的最小值为.‎