高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4-5正弦型函数y=Asinωx+φ及三角函数模型的简单应用课件新人教B版 24页

第五节　正弦型函数 y=Asin(ωx+ φ ) 及三角函数模型的简单应用 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1.“ 五点法”作函数 y=Asin(ωx+ φ )(A>0 ， ω>0) 的五个关键点 2. 图象变换 【常用结论】 1. 两种图象变换的区别 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin(ωx+ φ ) 的图象，两种变换的区别： ① 先相位变 换再周期变换 ( 伸缩变换 ) ，平移的量是 | φ | 个单位长度； ② 先周期变换 ( 伸缩变 换 ) 再相位变换，平移的量是 (ω>0) 个单位长度 . 2. 由图象求解析式的三种必会方法 (1) 如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式 y=Asin(ωx+ φ ) 中的参数 A 和 ω ，再选取“第一零点”的数据代入“ ωx+ φ =0” 求得 φ . (2) 通过若干特殊点代入函数式求解，依据是五点法 . (3) 运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数 . 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 将函数 y=3sin 2x 的图象左移 个单位长度后所得图象的解析式是 y= 3sin ( 　　 ) (2) 利用图象变换作图时“先平移 , 后伸缩”与“先伸缩 , 后平移”中平移的长度 一致 . ( 　　 ) (3) 函数 y=Acos(ωx+ φ ) 的最小正周期为 T, 那么函数图象的两个相邻对称中心之 间的距离为 . ( 　　 ) (4) 由图象求解析式时 , 振幅 A 的大小是由一个周期内的图象中最高点的值与最低点的值确定的 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 将函数 y=3sin 2x 的图象向左平移 个单位长度后所得图象的解析 式是 y=3cos 2x. (2)×.“ 先平移 , 后伸缩”的平移单位长度为 | φ |, 而“先伸缩 , 后平移”的平移 单位长度为 所以当 ω≠1 时平移的长度不相等 . (3)√.(4)√. 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 “ 五点法”作图 , 特殊点的选取 考点一、 T4 2 注意先平移后伸缩 , 先伸缩后平移的区别 基础自测 T2 3 求 φ 值易出错 考点二、 T1 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 4P62 习题 1-3AT8(2) 改编 ) 为了得到函数 y=2sin 的图象 , 可以 将函数 y=2sin 2x 的图象 ( 　　 ) A. 向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度 【解析】 选 A. 因为 y=2sin 2x= 所以将 y=2sin 2x 的图象向右 平移 个单位长度可得 y=2sin 的图象 . 2.( 必修 4P54 练习 BT5 改编 ) 为了得到 y=3cos 的图象 , 只需把 y= 3cos 图象上的所有点的 ( 　　 ) A. 纵坐标伸长到原来的 3 倍 , 横坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的 3 倍 , 纵坐标不变 C. 纵坐标缩短到原来的 横坐标不变 D. 横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 【解析】 选 D. 因为变换前后 , 两个函数的初相相同 , 所以只需把 y=3cos 图象上的所有点的纵坐标不变 , 横坐标缩短到原来的 即可得到函数 y=3cos 的图象 . 3.( 必修 4P49 练习 AT4 改编 ) 已知函数 f(x)=2sin 的图象经过点 (0,1), 则该函数的振幅为 _______________, 周期 T 为 ______________, 频率为 ________________, 初相 φ 为 ______________.  【解析】 振幅 A=2,T= =6,f= 因为图象过点 (0,1), 所以 1=2sin φ , 所以 sin φ = , 又 | φ |< 所以 φ = 答案 : 2 　 6 　 　 4.( 必修 4P48 例 10 改编 ) 某地农业监测部门统计发现 : 该地区近几年的生猪收购价 格每四个月会重复出现 . 下表是今年前四个月的统计情况 : 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格与相应月份之间的函数关系为 __________.  月份 x 1 2 3 4 收购价格 y/( 元 / 斤 ) 6 7 6 5 【解析】 设 y=Asin(ωx+ φ )+b(A>0,ω>0), 由题意得 A=1,b=6,T=4, 因为 T= , 所以 ω= , 所以 y=sin +6. 因为当 x=1 时 , y=6, 所以 6=sin +6, 结合表中数据得 + φ =2kπ,k∈Z, 可取 φ =- , 所以 y=sin +6. 答案 : ( 答案不唯一 )y=sin +6 核心素养 　数学建模 —— 三角函数应用问题   【素养诠释】 数学建模是对现实问题进行数学抽象 , 用数学知识与方法构建数学模型解决问题的素养 . 主要包括 : 在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解结论、验证结果并改进模型 , 最终解决实际问题 . 【典例】 已知某海滨浴场的海浪高度 y( 米 ) 是时间 t(0≤t≤24, 单位 : 小时 ) 的函数 , 记作 y=f(t). 下表是某日各时的浪高数据 : t( 小时 ) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y( 米 ) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测 ,y=f(t) 的曲线可近似地看成是函数 y=Acos ωt+b(A>0,ω>0) 的图象 . 根据以上数据 , (1) 求函数 f(t) 的解析式 . (2) 求一日 ( 持续 24 小时 ) 内 , 该海滨浴场的海浪高度超过 1.25 米的时间 . 【素养立意】 与实际问题相结合 , 考查三角函数模型的应用 . 注意本题建立的是余弦型函数 模型 . 【解析】 (1) 由表格得 又因为 T=12, 所以 ω= 故 y=f(t)= (2) 由题意 , 令 +1>1.25, 即 > , 又因为 t∈[0,24], 所以 t∈[0,4π], 故 或 即 0≤t<2 或 10