高考数学二轮复习教案：仿真模拟卷二 16页

仿真模拟卷二 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合P＝{0,1,2}，Q＝{x|x<2}，则P∩Q＝(　　)‎ A．{0} B．{0,1} C．{1,2} D．{0,2}‎ 答案　B 解析　因为集合P＝{0,1,2}，Q＝{x|x<2}，所以P∩Q＝{0,1}．‎ ‎2．已知复数z满足|z|＝，z＋＝2(为z的共轭复数)(i为虚数单位)，则z＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．1＋i或1－i D．－1＋i或－1－i 答案　C 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，z＋＝2a，‎ 所以得所以z＝1＋i或z＝1－i.‎ ‎3．若a>1，则“ax>ay”是“logax>logay”的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由a>1，得ax>ay等价为x>y，logax>logay等价为x>y>0，故“ax>ay”是“logax>logay”的必要不充分条件．‎ ‎4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．alog0.50.25＝2,0.510，b－1>0且(a－2)(b－1)≥2.所以2a＋b＝2(a－2)＋(b－1)＋5≥2＋5≥2＋5＝9，当2(a－2)＝b－1且(a－2)(b－1)＝2时等号成立，解得a＝b＝3.所以2a＋b取到最小值时，ab＝3×3＝9.‎ ‎11．已知实数a>0，函数f(x)＝‎ 若关于x的方程f[－f(x)]＝e－a＋有三个 不等的实根，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　当x＜0时，f(x)为增函数，当x≥0时，f′(x)＝ex－1＋ax－a－1，f′(x)为增函数，令f′(x)＝0，解得x＝1，故函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，最小值为f(1)＝0.‎ 由此画出函数f(x)的大致图象如图所示．令t＝－f(x)，因为f(x)≥0，所以t≤0，‎ 则有解得－a＝t－1，‎ 所以t＝－a＋1，所以f(x)＝a－1.‎ 所以方程要有三个不同的实数根，‎ 则需＜a－1＜＋，解得2＜a＜＋2.‎ ‎12．已知△ABC的顶点A∈平面α，点B，C在平面α同侧，且AB＝2，AC＝，若AB，AC与α所成的角分别为，，则线段BC长度的取值范围为(　　)‎ A．[2－，1] B．[1，]‎ C．[， ] D．[1, ]‎ 答案　B 解析　如图，过点B，C作平面的垂线，垂足分别为M，N，‎ 则四边形BMNC为直角梯形．‎ 在平面BMNC内，过C作CE⊥BM交BM于点E.‎ 又BM＝AB·sin∠BAM＝2sin＝，AM＝AB·cos∠BAM＝2cos＝1，‎ CN＝AC·sin∠CAN＝sin＝，‎ AN＝AC·cos∠CAN＝cos＝，‎ 所以BE＝BM－CN＝，故BC2＝MN2＋.‎ 又AN－AM≤MN≤AM＋AN，‎ 即＝AN－AM≤MN≤AM＋AN＝，‎ 所以1≤BC2≤7，即1≤BC≤ ，故选B.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知向量a＝(1，λ)，b＝(3,1)，c＝(1,2)，若向量2a－b与c共线，则向量a在向量c方向上的投影为________．‎ 答案　0‎ 解析　向量2a－b＝(－1,2λ－1)，‎ 由2λ－1＝－2，得λ＝－.∴向量a＝，‎ ‎∴向量a在向量c方向上的投影为|a|cos〈a，c〉＝＝＝0.‎ ‎14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2absinC＝(b2＋c2－a2)，若a＝，c＝3，则△ABC的面积为________．‎ 答案　3 解析　由题意得＝·，‎ 即＝cosA，由正弦定理得sinA＝cosA, ‎ 所以tanA＝，A＝.‎ 由余弦定理得13＝32＋b2－2×3bcos，‎ 解得b＝4，故面积为bcsinA＝×4×3×＝3.‎ ‎15．已知点M为单位圆x2＋y2＝1上的动点，点O为坐标原点，点A在直线x＝2上，则·的最小值为________．‎ 答案　2‎ 解析　设A(2，t)，M(cosθ，sinθ)，‎ 则＝(cosθ－2，sinθ－t)，＝(－2，－t)，‎ 所以·＝4＋t2－2cosθ－tsinθ.‎ 又(2cosθ＋tsinθ)max＝，‎ 故·≥4＋t2－.‎ 令s＝，则s≥2，又4＋t2－＝s2－s≥2，‎ 当s＝2，即t＝0时等号成立，故(·)min＝2.‎ ‎16．已知函数f(x)＝x2－2mx＋m＋2，g(x)＝mx－m，若存在实数x0∈R，使得f(x0)<0且g(x0)<0同时成立，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　(3，＋∞)‎ 解析　当m>0，x<1时，g(x)<0，‎ 所以f(x)<0在(－∞，1)上有解，‎ 则或 即m>3或故m>3.‎ 当m<0，x>1时，g(x)<0，所以f(x)<0在(1，＋∞)上有解，所以此不等式组无解．‎ 综上，m的取值范围为(3，＋∞)．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cosx(sinx－cosx)＋.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)当x∈时，不等式cb>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B ‎，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知|DF1|＝.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)求点E的坐标．‎ 解　(1)设椭圆C的焦距为2c.‎ 因为F1(－1,0)，F2(1,0)，所以|F1F2|＝2，c＝1.‎ 又因为|DF1|＝，AF2⊥x轴，‎ 所以|DF2|＝＝＝，‎ 因此2a＝|DF1|＋|DF2|＝4，从而a＝2.‎ 由b2＝a2－c2，得b2＝3.‎ 因此，椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)解法一：由(1)知，椭圆C：＋＝1，a＝2，‎ 因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.‎ 将x＝1代入圆F2的方程(x－1)2＋y2＝16，‎ 解得y＝±4.‎ 因为点A在x轴上方，所以A(1,4)．‎ 又F1(－1,0)，所以直线AF1：y＝2x＋2.‎ 由得5x2＋6x－11＝0，‎ 解得x＝1或x＝－.‎ 将x＝－代入y＝2x＋2，得y＝－，‎ 因此B点坐标为.‎ 又F2(1,0)，所以直线BF2：y＝(x－1)．‎ 由得7x2－6x－13＝0，‎ 解得x＝－1或x＝.‎ 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x＝－1.‎ 将x＝－1代入y＝(x－1)，得y＝－.‎ 因此E点坐标为.‎ 解法二：由(1)知，椭圆C：‎ ＋＝1.‎ 如图，连接EF1.‎ 因为|BF2|＝2a，|EF1|＋|EF2|＝2a，‎ 所以|EF1|＝|EB|，‎ 从而∠BF1E＝∠B.‎ 因为|F2A|＝|F2B|，所以∠A＝∠B，‎ 所以∠A＝∠BF1E，从而EF1∥F2A.‎ 因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴．‎ 因为F1(－1,0)，由得y＝±.‎ 又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y＝－.‎ 因此E点坐标为.‎ ‎21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x－xex＋ax(a∈R)．‎ ‎(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若a＝1，求f(x)的最大值．‎ 解　(1)由题意知，f′(x)＝－(ex＋xex)＋a＝－(x＋1)ex＋a≤0在[1，＋∞)上恒成立，‎ 所以a≤(x＋1)ex－在[1，＋∞)上恒成立．‎ 令g(x)＝(x＋1)ex－，‎ 则g′(x)＝(x＋2)ex＋>0，‎ 所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，‎ 所以g(x)min＝g(1)＝2e－1，所以a≤2e－1.‎ ‎(2)当a＝1时，f(x)＝ln x－xex＋x(x>0)．‎ 则f′(x)＝－(x＋1)ex＋1＝(x＋1)，‎ 令m(x)＝－ex，则m′(x)＝－－ex<0，‎ 所以m(x)在(0，＋∞)上单调递减．‎ 由于m>0，m(1)<0，所以存在x0>0满足m(x0)＝0，即ex0＝.‎ 当x∈(0，x0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x∈(x0，＋∞)时，m(x)<0，f′(x)<0.‎ 所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．‎ 所以f(x)max＝f(x0)＝ln x0－x0e x0＋x0，‎ 因为ex0＝，所以x0＝－ln x0，所以f(x0)＝－x0－1＋x0＝－1，‎ 所以f(x)max＝－1.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．‎ ‎22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；‎ ‎(2)若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求|MN|.‎ 解　(1)因为ρcos2θ＝8sinθ，所以ρ2cos2θ＝8ρsinθ，即x2＝8y，‎ 所以曲线C表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y轴的抛物线．‎ ‎(2)设点M(x1，y1)，点N(x2，y2)，‎ 直线l过抛物线的焦点(0,2)，则直线的参数方程化为一般方程为y＝x＋2，代入曲线C的直角坐标方程，得x2－4x－16＝0，‎ 所以x1＋x2＝4，x1x2＝－16，‎ 所以|MN|＝ ‎＝· ‎＝· ‎＝·＝10.‎ ‎23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]‎ 已知函数f(x)＝|x＋4|，不等式f(x)>8－|2x－2|的解集为M.‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(2a)－f(－2b)．‎ 解　(1)将f(x)＝|x＋4|代入不等式，‎ 整理得|x＋4|＋|2x－2|>8.‎ ‎①当x≤－4时，不等式转化为－x－4－2x＋2>8，‎ 解得x<－，所以x≤－4；‎ ‎②当－48，‎ 解得x<－2，所以－48，‎ 解得x>2，所以x>2.‎ 综上，M＝{x|x<－2或x>2}．‎ ‎(2)证明：因为f(2a)－f(－2b)＝|2a＋4|－|－2b＋4|≤|2a＋4＋2b－4|＝|2a＋2b|，‎ 所以要证f(ab)>f(2a)－f(－2b)，‎ 只需证|ab＋4|>|2a＋2b|，‎ 即证(ab＋4)2>(2a＋2b)2，‎ 即证a2b2＋8ab＋16>4a2＋8ab＋4b2，‎ 即证a2b2－4a2－4b2＋16>0，‎ 即证(a2－4)(b2－4)>0，‎ 因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，‎ 所以(a2－4)(b2－4)>0成立，‎ 所以原不等式成立．‎