高考数学二轮复习教案：第二编 专题三 第3讲 数列的综合问题 16页

第3讲　数列的综合问题 ‎「考情研析」　　　　1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围．　2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为5～8分.‎ 核心知识回顾 数列综合应用主要体现在以下两点：‎ ‎(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等．‎ ‎(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力．‎ 热点考向探究 考向1 　数列与函数的综合问题 例1　(2019·上海市青浦区高三二模)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，且不等式|f(x)|≤2019|2x－x2|对任意的x∈[0,10]都成立，数列{an}是以7＋a为首项，公差为1的等差数列(n∈N*)．‎ ‎(1)当x∈[0,10]时，写出方程2x－x2＝0的解，并写出数列{an}的通项公式(不必证明)；‎ ‎(2)若bn＝an·an(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，都有Sn0可得Sn<，‎ 由Sn0且2Sn＝a＋an(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若an>0，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn0，则a1＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，‎ 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0⇒an＝－an－1或an＝an－1＋1，‎ ‎∴an＝(－1)n－1或an＝n(n≥2)，‎ 又a1＝1满足上式，∴an＝(－1)n－1或an＝n，n∈N*.‎ ‎(2)由an>0，∴an＝n，bn＝＝2，‎ Tn＝2＝2＝3－<3，若Tn的最小的n值．‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 由S10＝120得10a1＋45d＝120,2a1＋9d＝24，‎ 由a2－a1，a4－a2，a1＋a2成等比数列，‎ 得d(2a1＋d)＝4d2且d≠0，‎ ‎∴2a1＝3d，∴a1＝3，d＝2，‎ ‎∴等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)·2＝2n＋1.‎ ‎(2)∵Sn＝na1＋＝n(n＋2)，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴Tn＝＝，‎ 由Tn>得＋<，n(3n－35)>60，‎ ‎∴n的最小值为14.‎ ‎2．(2019·河北衡水中学高三下学期一调)已知数列{an}的前n项和Sn满足 －－＝0，a1＝1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)在数列{an}的前100项中，是否存在两项am，at(m，t∈N*，且m0，则f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，‎ 又n∈N*，f(4)＝f(5)＝30，‎ ‎∴当n＝4或5时，f(n)取到最小值30，即的最小值为30.‎ 数列类解答题 ‎　(12分)已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，满足Sn＝a1(an－1)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{bn}满足anbn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.‎ 解题思路　(1)根据Sn－Sn－1＝an(n≥2)及递推关系式化简得an和an－1的关系式，从而求出an；(2)采用错位相减法求Tn，从而证明结论．‎ 解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝a1(a1－1)＝a－a1，‎ ‎∵a1≠0，∴a1＝4.(2分)‎ ‎∴Sn＝(an－1)，∴当n≥2时，Sn－1＝(an－1－1)，‎ 两式相减得an＝4an－1(n≥2)，(4分)‎ ‎∴数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列，∴an＝4n.(6分)‎ ‎(2)证明：∵anbn＝log2an＝2n，∴bn＝，(7分)‎ ‎∴Tn＝＋＋＋…＋，‎ Tn＝＋＋＋…＋，(8分)‎ 两式相减得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝2－＝2×‎ eq f(f(1,4)lc( c)(avs4alco1(1－f(1,4n))),1－f(1,4))－＝－－＝－.(10分)‎ ‎∴Tn＝－<.(12分)‎ ‎1．正确求出a1的值给2分．‎ ‎2．利用an与Sn的关系构造等比数列给2分．‎ ‎3．写出数列{an}的通项公式给2分．‎ ‎4．求出数列{bn}的通项公式给1分．‎ ‎5．采取错位相减法给1分．‎ ‎6．两式相减后的正确化简计算给2分．‎ ‎7．放缩法证明不等式给2分．‎ ‎1．由an与Sn的关系求通项公式，易忽略条件n≥2而出错．‎ ‎2．错位相减法中两式相减后，一定成等比数列的有n－1项，整个式子共有n＋1项．‎ ‎3．放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放的过大或过小都不能达到证明的目的．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎(2019·沈阳模拟)(12分)设Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，S＝an(n≥2)．‎ ‎(1)求Sn；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)当n≥2时，由S＝an得，‎ S＝(Sn－Sn－1)，‎ 整理得，Sn－1－Sn＝2Sn－1Sn⇒－＝2，(3分)‎ 又＝＝1，‎ ‎∴数列是以2为公差、以1为首项的等差数列，则 ＝1＋2(n－1)，故Sn＝.(6分)‎ ‎(2)由(1)知，bn＝＝ ‎＝，(9分)‎ ‎∴Tn＝＝＝.(12分)‎