【数学】2020届一轮复习人教B版平面直角坐标系作业 4页

一、选择题 ‎1．将直线x＋y＝1变换为直线2x＋3y＝6的一个伸缩变换为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D. 解析：选A　设伸缩变换为 由(x′，y′)在直线2x＋3y＝6上，‎ ‎∴2x′＋3y′＝6，则2λx＋3μy＝6.‎ 因此x＋y＝1，与x＋y＝1比较，‎ ‎∴＝1，且＝1，故λ＝3，且μ＝2.‎ 所求的变换为 ‎2．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos 2x按伸缩变换后为(　　)‎ A．y＝cos x B．y＝3cosx C．y＝2cosx D．y＝cos 3x 解析：选A　由得 代入y＝cos 2x，得＝cos x′.‎ ‎∴y′＝cos x′，即曲线y＝cos x.‎ ‎3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于(　　)‎ A．π B．4π C．8π D．9π 解析：选B　设P点的坐标为(x，y)，‎ ‎∵|PA|＝2|PB|，‎ ‎∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．‎ 即(x－2)2＋y2＝4.‎ 故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，‎ 它的面积为4π.‎ ‎4．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C，D的定圆所围成的区域(含边界)，A，B，C，D是该圆的四等分点．若点P(x，y)，点P′(x′，y′)满足x≤x′，且y≥y′，则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω 中的其他点优于点Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 解析：选D　如图，过任一点P作与坐标轴平行的直线，则两直线将平面分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，由题意，Ⅱ(包含边界)区域内的点优于P，在圆周上取点，易知只有P在上时，Ⅱ(含边界)内才不含Ω内的点，故点Q的集合为.‎ 二、填空题 ‎5．将圆x2＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程为________．‎ 解析：由得代入到x2＋y2＝1，得＋＝1.∴变换后的曲线方程为＋＝1.‎ 答案： ＋＝1‎ ‎6．平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：作用下仍是其本身的点为________．‎ 解析：设P(x，y)在伸缩变换φ：作用下得到P′(λx，μy)．‎ 依题意得其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1.‎ ‎∴x＝y＝0，即P(0,0)为所求．‎ 答案：(0,0)‎ ‎7．把圆x2＋y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x′2＋＝1，则坐标变换公式是________．‎ 解析：设φ： 则代入x2＋y2＝16得＋＝1.‎ ‎∴16λ2＝1,16μ2＝16.∴故 答案： ‎8．已知A(2，－1)，B(－1,1)，O为坐标原点，动点M满足＝m＋n，其中m，n∈R，且2m2－n2＝2，则M的轨迹方程为________．‎ 解析：设M(x，y)，则(x，y)＝m(2，－1)＋n(－1,1)＝(2m－n，n－m)，∴ 又2m2－n2＝2，消去m，n得－y2＝1.‎ 答案：－y2＝1‎ 三、解答题 ‎9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．‎ ‎(1)x2－y2＝1；‎ ‎(2)＋＝1.‎ 解：由伸缩变换得①‎ ‎(1)将①代入x2－y2＝1，得9x′2－4y′2＝1，‎ 因此，经过伸缩变换后，双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x2－4y2＝1，如图(1)所示．‎ ‎(2)将①代入＋＝1，得x′2＋＝1，因此，经过伸缩变换后，椭圆＋＝1变成椭圆x2＋＝1，‎ 如图(2)所示．‎ ‎10．在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为|PA|，|PB|，|PC|，且满足|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求点P的轨迹方程．‎ 解：‎ 以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，‎ 设点P(x，y)，B(－a,0)，C(a,0)，A(0，a)，(y>0，a>0)用点的坐标表示等式 ‎|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，‎ 有x2＋(y－a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，‎ 化简得x2＋(y＋a)2＝(2a)2，‎ 即点P的轨迹方程为x2＋(y＋a)2＝4a2(y>0)．‎ ‎11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．‎ ‎(1)求a与b；‎ ‎(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．‎ 解：(1)∵e＝，∴e2＝＝＝，‎ ‎∴＝.‎ 又圆x2＋y2＝b2与直线y＝x＋2相切，‎ ‎∴b＝＝.‎ ‎∴b2＝2，a2＝3.‎ 因此，a＝，b＝.‎ ‎(2)由(1)知F1，F2两点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，由题意可设P(1，t)．‎ 那么线段PF1的中点为N.‎ 设M(x，y)，由于＝(－x，－y)，‎ ‎＝(－2，－t)，则，‎ 消去t得所求轨迹方程为y2＝－4x，曲线类型为抛物线．‎