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- 2021-06-25 发布
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2019届高三一轮复习理科数学专题卷
专题十八 坐标系与参数方程
考点58:极坐标与直角坐标(1-6题,13,14题,17-19题)
考点59:参数方程(7-12题,15,16题,20-22题)
考试时间:120分钟 满分:150分
说明:请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上
第I卷(选择题)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.【来源】2017届山西太原市高三上期中 考点58 易
在极坐标系中,点与点的距离为 ( )
A. B. C. D.
2.【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(上海卷)考点58 中难
下列极坐标方程中,对应的曲线为如图的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
3.【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(江西卷) 考点58 中难
若以直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段的极坐标为( )
A. B.
C. D.
4.【来源】2017届上海市闸北区高三下学期期中练习 考点58 中难
在极坐标系中,关于曲线的下列判断中正确的是
A、曲线关于直线对称 B、曲线关于直线对称
C、曲线关于点对称 D、曲线关于极点对称
5.【来源】2017届安徽省淮南一中等四校高三5月联考 考点58 中难
在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.若直线与圆相切,则实数的取值个数为( )
A .0 B.1 C.2 D.3
6.【来源】2017届重庆市巴蜀中学高三10月月考 考点58 难
在极坐标系中,设曲线与的交点分别为A,B,则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为( )
A.
B.
C.
D.
7.【来源】2016届天津市蓟县马伸桥中学高三5月月考 考点59 易
直线(t为参数)与曲线=1的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定
8.【来源】2017届四川省成都市高三模拟 考点59 易
若曲线 (为参数)与曲线相交于,两点,则的值为( ).
A. B. C. D.
9.【来源】2017-2018学年河北省黄骅中学高二下期中 考点59 中难
参数方程 (t为参数)所表示的曲线是 ( )
A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线
10.【来源】2013届中国人民大学附属中学高考冲刺十 考点59 中难
若直线的参数方程为,则直线倾斜角的余弦值为( )
A. B. C. D.
11.【来源】2014届江西师大附中高三三模 考点59 中难
直线的参数方程是(其中为参数),圆的极坐标方程,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是( )
A. B.2 C. D.
12.【来源】2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考 考点59 难
已知实数满足,则的最大值为( )
A. 6 B. 12 C. 13 D. 14
第II卷(非选择题)
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。)
13.【2017天津,理11】考点58 易
在极坐标系中,直线与圆的公共点的个数为___________.
14. 【2017北京,理11】 考点58 中难
在极坐标系中,点A在圆上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为___________.
15.【来源】2017届上海市行知中学高三第一次月考 考点59 易
方程(为参数)所表示曲线的准线方程是__________.
16.【来源】2017-2017学年宁夏六盘山高中高二下第二次月考 考点59 中难
直线与曲线(为参数,且)有两个不同的交点,则实数的取值范围___________.
三、解答题(本题共6小题,共70分。)
17. (本题满分10分)
【来源】山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟考试 考点58 中难
已知半圆的参数方程为,其中为参数,且.
(1)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求半圆的极坐标方程;
(2)在(1)的条件下,设是半圆上的一点,且,试写出点的极坐标.
18.(本题满分12分)
【来源】辽宁省鞍山市2017届高三下学期第一次质量检测 考点58 中难
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(, 为参数),在以为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数,射线与曲线交于点.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点, 在曲线上,求的值.
19. (本题满分12分)【2017课标II,理22】 考点58 中难
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为。
(1)M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹
的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值。
20.(本题满分12分)【2017课标1,理22】考点59 易
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为
.
(1)若a=−1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.
21.(本题满分12分)【2017课标3,理22】 考点59 中难
在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M为l3与C的交点,求M的极径.
22.(本题满分12分)
【来源】河北省石家庄市高三数学一模考试 考点59 难
在平面直角坐标系,将曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的,得到曲线,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的参数方程;
(Ⅱ)过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于、和、,且点在第一象限,当四边形的周长最大时,求直线的普通方程.
参考答案
1.【答案】B
【解析】在极坐标系中,作出点与点,可得两点之间的距离为,故选B.
2.【答案】D
【解析】依次取,结合图形可知只有满足,选D.
3.【答案】A
【解析】根据,得:
解得,选A.
4.【答案】.
【解析】由得即,所以曲线是圆心为,半径为的圆,所以曲线关于直线对称,关于点对称.
5.【答案】C
【解析】圆的普通方程为,直线的直角坐标方程为,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,即,故选.
6.【答案】A
【解析】曲线的直角坐标方程即,曲线的直角坐标方程即,两曲线均为圆,圆心分别,所以线段的中垂线为两圆心连线,其直角坐标方程为,化为极坐标方程得,故选A.
7.【答案】D
【解析】在平面直角坐标系下,表示直线,=1表示半圆
,由于的取值不确定,所以直线与半圆的位置关系不确定,选D.
8.【答案】D
【解析】将直线化为普通方程为,曲线的直角坐标方程为;圆心到直线的距离,根据圆中特殊三角形,则,故选D.
9.【答案】B
【解析】或,所以表示的曲线是两条射线
10.【答案】B
【解析】,故直线的方程为 ,所以倾斜角的正切值为,所以,所以直线倾斜角的余弦值为 .
11.【答案】D
【解析】将圆的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程和,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d=5,要使切线长最小,必须直线l上的点到圆心的距离最小,此最小值即为圆心到直线的距离d,求出d,由勾股定理可求切线长的最小值.
12.【答案】B【解析】实数满足的区域为椭圆及其内部,椭圆的参数方程为
(为参数),记目标函数,易知
,故.设椭圆上的点,则,其中,所以的最大值为12,故选B.
13.【答案】2
【解析】直线为 ,圆为 ,因为
,所以有两个交点
14.【答案】1
【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为 ,整理为 ,圆心,点是圆外一点,所以的最小值就是.
15.【答案】
【解析】利用同角三角函数的基本关系,消去参数,参数方程 (为参数)化为普通方程可得,表示抛物线的一部分,故其准线方程为.
16.【答案】
【解析】曲线(为参数,且)的普通方程为,它是半圆,单位圆在右边的部分,作直线,如图,它过点时,,当它在下方与圆相切时,,因此所求范围是.
17.【答案】(1), .(2)
【解析】(1)根据半圆的参数方程,其中为参数,且,得圆的普通方程为: ,
所以,半圆的极坐标方程为: , .
(2)因为,所以令, ,
则解得.故点的极坐标为.
18. 【答案】(1)(2)
【解析】(Ⅰ)将及对应的参数,代入,得,即,
所以曲线的方程为(为参数),或.设圆的半径为,由题意,圆的方程为,(或).将点代入,得,即.
(或由,得,代入,得),
所以曲线的直角坐标方程为.
(Ⅱ)因为点, 在曲线上,所以,
,所以 .
19.【答案】(1);(2) 。
【解析】
(2)设点B的极坐标为,由题设知,于是面积
当时,S取得最大值。
所以面积的最大值为。
20.
(2)直线的普通方程为,故上的点到的距离为
.
当时,的最大值为.由题设得,所以;
当时,的最大值为.由题设得,所以.
综上,或.
21.【答案】(1) ;(2)
【解析】
设,由题设得,消去k得.
所以C的普通方程为.
22.【答案】(1) (为参数).(2)
【解析】(Ⅰ) , (为参数).
(Ⅱ)设四边形的周长为,设点,
,
且, ,
所以,当()时, 取最大值,
此时,所以, , ,
此时, , 的普通方程为.