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  • 2021-06-25 发布

浙江省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练:立体几何

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浙江省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练 立体几何 一、选择、填空题 ‎1、(温州市2019届高三8月适应性测试)某几何体的三视图如图所示(单位:),该几何体的体积(单位:)是( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎2、(金丽衢十二校2019届高三第一次联考)己知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ ‎ A、    B、  C、   D、‎ ‎3、(浙江省名校协作体2019届高三上学期第一次联考)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )‎ A. ‎ B. 4 C. 2 D. ‎ ‎4、(七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积为 ,表面积为 .‎ ‎5、(温州九校2019届高三第一次联考)已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是( )‎ ‎ A.若则 B.若则 ‎ ‎ C.若则 D.若则 ‎ ‎6、(嘉兴市2019届高三上学期期末检测)某几何体的三视图如图所示(单位: cm ),则该几何体的体积(单位: cm 3)是 ‎ A、36 B、54 C、72 D、108‎ ‎7、(丽水、衢州、湖州三地市2019届高三上学期期末)如图,正四面体ABCD中,E,F分别是线段AC的三等分点,P是线段AB的中点,G是直线BD的动点,则(  )‎ A.存在点G,使PG⊥EF成立 ‎ B.存在点G,使FG⊥EP成立 ‎ C.不存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立 ‎ D.不存在点G,使平面EFG⊥平面ABD成立 ‎8、(宁波市2019届高三上学期期末考试)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎9、(台州市2019届高三上学期期末质量评估)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,M为AB的中点,将△ADM沿DM翻折.在翻折过程中,当二面角A—BC—D的平面角最大时,其正切值为 A. B. C. D. ‎ ‎10、(浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考)如图,在三棱柱中,点在平面内运动,使得二面角的平面角与二面角的平面角互余,则点的轨迹是 A.一段圆弧 B.椭圆的一部分 C.抛物线 D.双曲线的一支 ‎ ‎11、(绍兴市2019届高三3月适应性考试)如图,在三棱柱中,两两互相垂直,,是线段上的点,平面与平面所成(锐)二面角为,当最小时,‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、(杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模))《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍(音meng,底面为矩形的屋脊状的几何体),下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示,则此刍甍的体积等于( )‎ A.3 B.5 C.6 D. 12‎ ‎13、(稽阳联谊学校2019届高三4月联考)在阿基米德的墓碑上刻着一副“圆柱容球”的几何图形,它的三视图如图所示,记球的体积为,圆柱的体积为,球的表面积为,圆柱的全面积为,则下列结论正确的是 A., B., ‎ C., D.,‎ ‎14、(绍兴市上虞区2019届高三第二次(5月)教学质量调测)已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图,若正三棱柱绕着它的一条侧棱所在直线旋转,则它的侧视图可以为 ‎15、(台州市2019届高三4月调研)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 A. B. C. D.‎ ‎16、(温州市2019届高三2月高考适应性测试)在正四面体 ABCD 中,P,Q分别是棱 AB,CD的中点,E,F分别是直线AB,CD上的动点,M 是EF 的中点,则能使点 M 的轨迹是圆的条件是(▲ )‎ ‎ A、PE+QF=2 B、PE•QF=2 C、PE=2QF D、PE2+QF2=2‎ ‎17、(温州市2019届高三8月适应性测试)设是两个不同的平面,是两条不同的直线,下列说法正确的是( )‎ A. 若,,则 B. 若,则 C. 若,则 ‎ D. 若,,,则 参考答案:‎ ‎1、C  2、B  3、B  ‎ ‎4、,.提示:该几何体为圆锥的一半,且底面向上放置。所以表面积由底面半圆,侧面的一半,和轴截面的面积组成。所以其体积为,表面积为,其中,,.‎ ‎5、C ‎6、A  7、C  8、D  9、B  10、D ‎11、B  12、B  13、B  14、B  15、B ‎16、D  17、D 二、解答题 ‎1、(温州市2019届高三8月适应性测试)如图,已知三棱锥中,,,侧面为矩形,。将绕翻折至,使在平面内。‎ (1) 求证:平面;‎ (2) 求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎2、(金丽衢十二校2019届高三第一次联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1,点M,E分别是PA,PD的中点 (1) 求证:CE//平面BMD (2) 点Q为线段BP中点,求直线PA与平面CEQ所成角的余弦值 ‎3、(浙江省名校协作体2019届高三上学期第一次联考)如图,在三棱锥中,和均为等腰三角形,且,.‎ (1) 判断是否成立,并给出证明;‎ (2) 求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎4、(七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考)如图,已知四棱锥,底面为矩形, 且侧面平面,侧面平面,为正三角形,‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎5、(温州九校2019届高三第一次联考)如图,将矩形沿折成二面角,其中为的中点,已知.,为的中点。‎ (1) 求证平面;‎ ‎(2)求与平面所成角的正弦值 ‎6、(嘉兴市2019届高三上学期期末检测)如图,多面体 PABCDA1B1C1D1 由正方体 ABCD - A1B1C1D1 和四棱锥 P - ABCD 组 成.正方体 ABCD - A1B1C1D1 棱长为 2,四棱锥 P - ABCD 侧棱长都相等,高为 1.‎ ‎(Ⅰ)求证: B1C ⊥ 平面 PCD ;‎ ‎(Ⅱ)求二面角 B - PB1 - C 的余弦值.‎ ‎7、(丽水、衢州、湖州三地市2019届高三上学期期末)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1.BC=CD=2,AB∥CD,∠ADC=.‎ ‎(Ⅰ)求证:PD⊥AB;‎ ‎(Ⅱ)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值.‎ ‎8、(宁波市2019届高三上学期期末考试)如图所示,四面体中,是正三角形,是直角三角形,是的中点,且,‎ ‎(I)求证:平面;‎ ‎(II)过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部 分,求二面角的余弦值.‎ ‎9、(台州市2019届高三上学期期末质量评估)如图,四棱锥中,垂直平面,,,,为的中点. ‎ ‎(Ⅰ) 证明:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎10、(浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考)在三棱台中,是等边三角形,二面角的平面角为,.‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)求直线与平面所成角的正弦值. ‎ ‎11、(绍兴市2019届高三3月适应性考试)四棱锥中,,四边形 是矩形,且,上的动点,是线段的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若直线与平面所成角为,求的长.‎ ‎12、(杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模))如图,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,,,,点P在线段DF上.‎ ‎(1)证明:AF⊥平面ABCD.‎ ‎(2)若二面角的余弦值为,求PF的长度. ‎ ‎13、(稽阳联谊学校2019届高三4月联考)在四棱锥中,平面,,,,,为棱上的点.‎ ‎(I)若,求证:平面.‎ ‎(Ⅱ)若是的中点,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎14、(绍兴市上虞区2019届高三第二次(5月)教学质量调测)已知等腰直角三角形,,分别是的中 点,沿将折起(如图),连接.‎ ‎ (Ⅰ)设点为的中点,求证:面;‎ ‎ (Ⅱ)设为的中点,当折成二面角为时,求与面所成 ‎ 角的正弦值.‎ ‎15、(台州市2019届高三4月调研)如图棱锥的底面是菱形,,,侧面垂直 于底面,且是正三角形.‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎16、(温州市2019届高三2月高考适应性测试)在三棱锥 D - ABC中,AD^DC,AC^CB,AB=2AD=2DC=2,且平面 ABD ^ 平面 BCD ,E 为 AC 的中点.‎ ‎( I)证明: AD ^ BC ;‎ ‎( II)求直线 DE 与平面 ABD 所成的角的正弦值.‎ 参考答案:‎ ‎1、‎ ‎2、‎ ‎3、‎ ‎4、解:(Ⅰ)因为,所以平面;…2分 又因为平面且平面平面,由线面平行的性质定理知.…7分 ‎(Ⅱ)过作交于,所以.因为侧面平面,侧面平面,所以平面,过作交于,连接,所以即为直线与平面所成角.…10分 又因为,所以,于是在中,‎ 解法二:以的中点为原点,建立空间坐标系,设,则,,设与面所成的角为,由题意点在面的射影必在轴 上,且由是边长为2的正三角形得,所以 ‎,…10分 设平面的一个法向量为,则 ‎,解得,‎ 因为 ,‎ 设平面的一个法向量为,则 ‎,解得,…12分 ‎,‎ 所以,,设直线与平面所成角为,于是.…15分 19. ‎5、(I)取的中点,连结,易得所以四边形是平行四边形,因此…………4分 又平面,所以//平面 …………6分 ‎(II)取的中点中点,连结,由,所以,又,所以平面,所以,又,所以平面,所以平面平面…………8分 又,所以平面…………9分 所以,又,所以平面…………10分 所以是与平面所成角………12分 又,所以…………14分 所以…………15分 另解:如图建立空间直角坐标系,则 设由 即…………9分 得,…………10分 所以,,,‎ ‎,,‎ 设平面的法向量,由,得,所以取…………12分 设与平面所成角为,则…………14分 ‎…………15分 ‎6、‎ ‎7、‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8、‎ ‎ ‎ ‎9、(Ⅰ)证明: PC⊥平面ABCD,故PC⊥AC. ………………2分 又AB=2,CD=1,AD⊥AB,所以AC=BC=. ‎ 故AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC. ………………4分 所以AC⊥平面PBC,所以平面ACE⊥平面PBC. …………………………6分 ‎(Ⅱ)解: PC⊥平面ABCD,故PC⊥CD.又PD=2,所以PC=. …………8分 在平面ACE内,过点P作PF垂直CE,垂足为F.‎ 由(Ⅰ)知平面ACE⊥平面PBC,所以PF垂直平面ACE. …………10分 由面积法得:即.‎ 又点E为AB的中点,.‎ 所以. ……………………………………12分 又点E为AB的中点,所以点P到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等.‎ 连结BD交AC于点G,则GB=2DG.‎ 所以点D到平面ACE的距离是点B到平面ACE的距离的一半,即.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.……………………15分 A B C D P E ‎(第19题)‎ x y z F 另解:如图,取AB的中点F,如图建立坐标系.‎ 因为,所以.所以有:‎ ‎,,,,,‎ ‎. …………9分 ‎.,.‎ 设平面ACE的一个法量为n,则 取,得,.‎ 即n. …………13分 设直线与平面所成角为,则 n,. …………15分 ‎10、(I)证明:设,与交于点,取棱的中点,‎ 连结.‎ 因,,‎ 故. ………………………2分 又是棱的中点,‎ 故.‎ 同理 又平面,且,‎ 因此平面,‎ 又平面, ………………………4分 所以; ………………………6分 ‎(II)方法一:‎ 作,垂足为.‎ 因平面,‎ 故平面,‎ 从而为直线与平面所成的角. ……………………10分 不妨设,则,, ……………………13分 所以. ……………………15分 方法二:如图,以为原点建立空间直角坐标系, ……………………8分 由(I),为二面角的平面角,则,‎ 设,,则点 , , ,.‎ 设为平面,即平面的一个法向量,‎ 由 ,得, ………10分 令,则,即. ……12分 设是直线与平面所成的角,‎ 则. …………15分 ‎11、‎ ‎12、‎ ‎13、‎ ‎ ‎ ‎14、解:(Ⅰ)由题意可知,∥,即,于是,面,从而面,‎ 因此. …………3分 另一方面,由是中点得:. …………5分 面. …………7分 ‎(Ⅱ)不妨设等腰直角三角形的直角边长为.由二面角为可知是等边三角形,. …………9分 因为∥,故∥面,即点到面的距离等于点到面的距离.而为之中点,于是点到面的距离为. …………11分 计算得:, …………13分 所以与面所成角的正弦值为. …………15分 ‎15、‎ ‎16、解:(I)法一:过做,(其中与都不重合,否则,若与重合,则与矛盾;若与重合,则,与矛盾)‎ 面面 面 ‎ ,又 ‎ 面 法二:参见第(II)问的法三 ‎(II)法一:做,则,由(1)知:面 即与面所成角,且 法二:由(I)知:,且 记的中点为,的中点为 ‎ 是的中点,, ‎ 面 面面 即与面所成角,且 法三:由(I)知平面,,以为原点,分别以射线为轴,轴的正半轴,建立空间直角坐标系 由题意知:‎ ‎∴,‎ ‎∵平面的法向量为,‎ 设与面所成角为 ‎∴‎ 法四:以为坐标原点,为轴,建立空间直角坐标系 则,设,面的法向量为,面的法向量为,则,即,则 ‎,‎ ‎,即与面所成角的正弦值为.‎