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- 2021-06-25 发布
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浙江省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练
立体几何
一、选择、填空题
1、(温州市2019届高三8月适应性测试)某几何体的三视图如图所示(单位:),该几何体的体积(单位:)是( )
A. B. C. D.
2、(金丽衢十二校2019届高三第一次联考)己知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A、 B、 C、 D、
3、(浙江省名校协作体2019届高三上学期第一次联考)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )
A. B. 4 C. 2 D.
4、(七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积为 ,表面积为 .
5、(温州九校2019届高三第一次联考)已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若则 B.若则
C.若则 D.若则
6、(嘉兴市2019届高三上学期期末检测)某几何体的三视图如图所示(单位: cm ),则该几何体的体积(单位: cm 3)是
A、36 B、54 C、72 D、108
7、(丽水、衢州、湖州三地市2019届高三上学期期末)如图,正四面体ABCD中,E,F分别是线段AC的三等分点,P是线段AB的中点,G是直线BD的动点,则( )
A.存在点G,使PG⊥EF成立
B.存在点G,使FG⊥EP成立
C.不存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立
D.不存在点G,使平面EFG⊥平面ABD成立
8、(宁波市2019届高三上学期期末考试)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
9、(台州市2019届高三上学期期末质量评估)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,M为AB的中点,将△ADM沿DM翻折.在翻折过程中,当二面角A—BC—D的平面角最大时,其正切值为
A. B. C. D.
10、(浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考)如图,在三棱柱中,点在平面内运动,使得二面角的平面角与二面角的平面角互余,则点的轨迹是
A.一段圆弧 B.椭圆的一部分 C.抛物线 D.双曲线的一支
11、(绍兴市2019届高三3月适应性考试)如图,在三棱柱中,两两互相垂直,,是线段上的点,平面与平面所成(锐)二面角为,当最小时,
A. B. C. D.
12、(杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模))《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍(音meng,底面为矩形的屋脊状的几何体),下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示,则此刍甍的体积等于( )
A.3 B.5 C.6 D. 12
13、(稽阳联谊学校2019届高三4月联考)在阿基米德的墓碑上刻着一副“圆柱容球”的几何图形,它的三视图如图所示,记球的体积为,圆柱的体积为,球的表面积为,圆柱的全面积为,则下列结论正确的是
A., B.,
C., D.,
14、(绍兴市上虞区2019届高三第二次(5月)教学质量调测)已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图,若正三棱柱绕着它的一条侧棱所在直线旋转,则它的侧视图可以为
15、(台州市2019届高三4月调研)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为
A. B. C. D.
16、(温州市2019届高三2月高考适应性测试)在正四面体 ABCD 中,P,Q分别是棱 AB,CD的中点,E,F分别是直线AB,CD上的动点,M 是EF 的中点,则能使点 M 的轨迹是圆的条件是(▲ )
A、PE+QF=2 B、PE•QF=2 C、PE=2QF D、PE2+QF2=2
17、(温州市2019届高三8月适应性测试)设是两个不同的平面,是两条不同的直线,下列说法正确的是( )
A. 若,,则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若,,,则
参考答案:
1、C 2、B 3、B
4、,.提示:该几何体为圆锥的一半,且底面向上放置。所以表面积由底面半圆,侧面的一半,和轴截面的面积组成。所以其体积为,表面积为,其中,,.
5、C
6、A 7、C 8、D 9、B 10、D
11、B 12、B 13、B 14、B 15、B
16、D 17、D
二、解答题
1、(温州市2019届高三8月适应性测试)如图,已知三棱锥中,,,侧面为矩形,。将绕翻折至,使在平面内。
(1) 求证:平面;
(2) 求直线与平面所成的角的正弦值.
2、(金丽衢十二校2019届高三第一次联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1,点M,E分别是PA,PD的中点
(1) 求证:CE//平面BMD
(2) 点Q为线段BP中点,求直线PA与平面CEQ所成角的余弦值
3、(浙江省名校协作体2019届高三上学期第一次联考)如图,在三棱锥中,和均为等腰三角形,且,.
(1) 判断是否成立,并给出证明;
(2) 求直线与平面所成角的正弦值.
4、(七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考)如图,已知四棱锥,底面为矩形, 且侧面平面,侧面平面,为正三角形,
(I)求证:;
(II)求直线与平面所成角的正弦值.
5、(温州九校2019届高三第一次联考)如图,将矩形沿折成二面角,其中为的中点,已知.,为的中点。
(1) 求证平面;
(2)求与平面所成角的正弦值
6、(嘉兴市2019届高三上学期期末检测)如图,多面体 PABCDA1B1C1D1 由正方体 ABCD - A1B1C1D1 和四棱锥 P - ABCD 组
成.正方体 ABCD - A1B1C1D1 棱长为 2,四棱锥 P - ABCD 侧棱长都相等,高为 1.
(Ⅰ)求证: B1C ⊥ 平面 PCD ;
(Ⅱ)求二面角 B - PB1 - C 的余弦值.
7、(丽水、衢州、湖州三地市2019届高三上学期期末)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1.BC=CD=2,AB∥CD,∠ADC=.
(Ⅰ)求证:PD⊥AB;
(Ⅱ)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值.
8、(宁波市2019届高三上学期期末考试)如图所示,四面体中,是正三角形,是直角三角形,是的中点,且,
(I)求证:平面;
(II)过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部
分,求二面角的余弦值.
9、(台州市2019届高三上学期期末质量评估)如图,四棱锥中,垂直平面,,,,为的中点.
(Ⅰ) 证明:平面平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
10、(浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考)在三棱台中,是等边三角形,二面角的平面角为,.
(I)求证:;
(II)求直线与平面所成角的正弦值.
11、(绍兴市2019届高三3月适应性考试)四棱锥中,,四边形
是矩形,且,上的动点,是线段的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若直线与平面所成角为,求的长.
12、(杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模))如图,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,,,,点P在线段DF上.
(1)证明:AF⊥平面ABCD.
(2)若二面角的余弦值为,求PF的长度.
13、(稽阳联谊学校2019届高三4月联考)在四棱锥中,平面,,,,,为棱上的点.
(I)若,求证:平面.
(Ⅱ)若是的中点,求直线与平面所成角的正弦值.
14、(绍兴市上虞区2019届高三第二次(5月)教学质量调测)已知等腰直角三角形,,分别是的中 点,沿将折起(如图),连接.
(Ⅰ)设点为的中点,求证:面;
(Ⅱ)设为的中点,当折成二面角为时,求与面所成
角的正弦值.
15、(台州市2019届高三4月调研)如图棱锥的底面是菱形,,,侧面垂直 于底面,且是正三角形.
(I)求证:;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
16、(温州市2019届高三2月高考适应性测试)在三棱锥 D - ABC中,AD^DC,AC^CB,AB=2AD=2DC=2,且平面 ABD ^ 平面 BCD ,E 为 AC 的中点.
( I)证明: AD ^ BC ;
( II)求直线 DE 与平面 ABD 所成的角的正弦值.
参考答案:
1、
2、
3、
4、解:(Ⅰ)因为,所以平面;…2分
又因为平面且平面平面,由线面平行的性质定理知.…7分
(Ⅱ)过作交于,所以.因为侧面平面,侧面平面,所以平面,过作交于,连接,所以即为直线与平面所成角.…10分
又因为,所以,于是在中,
解法二:以的中点为原点,建立空间坐标系,设,则,,设与面所成的角为,由题意点在面的射影必在轴
上,且由是边长为2的正三角形得,所以
,…10分
设平面的一个法向量为,则
,解得,
因为 ,
设平面的一个法向量为,则
,解得,…12分
,
所以,,设直线与平面所成角为,于是.…15分
19. 5、(I)取的中点,连结,易得所以四边形是平行四边形,因此…………4分
又平面,所以//平面 …………6分
(II)取的中点中点,连结,由,所以,又,所以平面,所以,又,所以平面,所以平面平面…………8分
又,所以平面…………9分
所以,又,所以平面…………10分
所以是与平面所成角………12分
又,所以…………14分
所以…………15分
另解:如图建立空间直角坐标系,则
设由
即…………9分
得,…………10分
所以,,,
,,
设平面的法向量,由,得,所以取…………12分
设与平面所成角为,则…………14分
…………15分
6、
7、
8、
9、(Ⅰ)证明: PC⊥平面ABCD,故PC⊥AC. ………………2分
又AB=2,CD=1,AD⊥AB,所以AC=BC=.
故AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC. ………………4分
所以AC⊥平面PBC,所以平面ACE⊥平面PBC. …………………………6分
(Ⅱ)解: PC⊥平面ABCD,故PC⊥CD.又PD=2,所以PC=. …………8分
在平面ACE内,过点P作PF垂直CE,垂足为F.
由(Ⅰ)知平面ACE⊥平面PBC,所以PF垂直平面ACE. …………10分
由面积法得:即.
又点E为AB的中点,.
所以. ……………………………………12分
又点E为AB的中点,所以点P到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等.
连结BD交AC于点G,则GB=2DG.
所以点D到平面ACE的距离是点B到平面ACE的距离的一半,即.
所以直线与平面所成角的正弦值为.……………………15分
A
B
C
D
P
E
(第19题)
x
y
z
F
另解:如图,取AB的中点F,如图建立坐标系.
因为,所以.所以有:
,,,,,
. …………9分
.,.
设平面ACE的一个法量为n,则
取,得,.
即n. …………13分
设直线与平面所成角为,则
n,. …………15分
10、(I)证明:设,与交于点,取棱的中点,
连结.
因,,
故. ………………………2分
又是棱的中点,
故.
同理
又平面,且,
因此平面,
又平面, ………………………4分
所以; ………………………6分
(II)方法一:
作,垂足为.
因平面,
故平面,
从而为直线与平面所成的角. ……………………10分
不妨设,则,, ……………………13分
所以. ……………………15分
方法二:如图,以为原点建立空间直角坐标系, ……………………8分
由(I),为二面角的平面角,则,
设,,则点 , , ,.
设为平面,即平面的一个法向量,
由 ,得, ………10分
令,则,即. ……12分
设是直线与平面所成的角,
则. …………15分
11、
12、
13、
14、解:(Ⅰ)由题意可知,∥,即,于是,面,从而面,
因此. …………3分
另一方面,由是中点得:. …………5分
面. …………7分
(Ⅱ)不妨设等腰直角三角形的直角边长为.由二面角为可知是等边三角形,. …………9分
因为∥,故∥面,即点到面的距离等于点到面的距离.而为之中点,于是点到面的距离为. …………11分
计算得:, …………13分
所以与面所成角的正弦值为. …………15分
15、
16、解:(I)法一:过做,(其中与都不重合,否则,若与重合,则与矛盾;若与重合,则,与矛盾)
面面
面
,又
面
法二:参见第(II)问的法三
(II)法一:做,则,由(1)知:面
即与面所成角,且
法二:由(I)知:,且
记的中点为,的中点为
是的中点,,
面
面面
即与面所成角,且
法三:由(I)知平面,,以为原点,分别以射线为轴,轴的正半轴,建立空间直角坐标系
由题意知:
∴,
∵平面的法向量为,
设与面所成角为
∴
法四:以为坐标原点,为轴,建立空间直角坐标系
则,设,面的法向量为,面的法向量为,则,即,则
,
,即与面所成角的正弦值为.