高考数学复习专题练习第7讲 立体几何中的向量方法（一） 8页

第7讲 立体几何中的向量方法（一）‎ 一、选择题 ‎1．已知直线l1的方向向量是a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a·b＝0，则x＋y的值是(　　)‎ A．－3或1　　　　　　　 B．3或－1‎ C．－3 D．1‎ 解析 由题意知|a|＝＝6，得x＝±4.‎ 由a·b＝4＋4y＋2x＝0得x＝－2y－2，当x＝4时，y＝－3，∴x＋y＝1；当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝－3，综上x＋y＝－3或1.‎ 答案 A ‎2．已知正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)‎ A．2 B. C. D．1‎ 解析 连接AC交BD于O，连结OE，由题意得AC1∥OE，∴AC1∥平面BED，直线AC1到平面BED的距离等于点A到平面BED的距离，也等于点C到平面BED的距离，作CH⊥OE于H，则CH＝OE＝1为所求，故选D.‎ 答案 D ‎3．如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F、G分别是线段AE、BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－[来源:Z,xx,k.Com]‎ 解析 如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F、G分别是线段AE、BC的中点．‎ 以C为原来建立空间直角坐标系Cxyz，‎ A(0,2,0)，B(2,0,0)，D(0,0,2)，G(1,0,0)，F(0,2,1)，‎ ＝(0，－2,2)，＝(－1,2,1)，‎ ‎∴||＝2，||＝，·＝－2，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝－.‎ ‎∴直线AD与GF所成角的余弦值为.‎ 答案 A ‎4．已知正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 (　　)．‎ A．2 B. C. D．1‎ 解析　连接AC，交BD于点O，连接EO，过点O作OH⊥AC1于点H，因为AB＝2，所以AC＝2，又CC1＝2，所以OH＝sin 45°＝1.‎ 答案　D ‎5．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.，－，4 B.，－，4‎ C.，－2,4 D．4，，－15‎ 解析　∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，＝(3,1,4)，‎ 则解得 答案　B ‎6．正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B 的中点，则||为 (　　)．‎ A.a B.a C.a D.a 解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.‎ ‎ 设M(x，y，z)，‎ ‎∵点M在AC1上且＝，‎ ‎∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)‎ ‎∴x＝a，y＝，z＝.‎ 得M，‎ ‎∴||＝ ＝a.‎ 答案　A 二、填空题 ‎7. 若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量n＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.‎ 解析 ＝，[来源:学_科_网]‎ ＝，‎ 由 得 所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．‎ 答案 2∶3∶(－4)‎ ‎8．如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A‎1M与DN所成的角的大小是________．‎ 解析 连结D‎1M，则D‎1M为A‎1M在平面DCC1D1上的射影，在正方形DCC1D1中，∵M、N分别是CD、CC1的中点，∴D‎1M⊥DN，由三垂线定理得A‎1M⊥DN.即异面直线A‎1M与DN所成的角为90°.‎ 答案 90°‎ ‎9．长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________．‎ 解析 建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ 答案 ‎10．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，P为正方形A1B‎1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足＝λ的实数λ的有____________个．‎ 解析　建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中点坐标为 ，又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，‎ ‎∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.‎ 答案　2‎ 三、解答题 ‎11．已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M、N分别为BB1、C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量．‎ 解　以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．‎ 设正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，‎ M，N.‎ ‎∴＝，＝.‎ 设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ ‎∴ 令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．‎ ‎12．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．‎ ‎(1)求证：EF⊥CD；‎ ‎(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．‎ ‎(1)证明　如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F.‎ ＝，＝(0，a,0)．‎ ‎∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD.‎ ‎(2)解　设G(x,0，z)，则＝，‎ 若使GF⊥平面PCB，则由 ·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝；‎ 由·＝·(0，－a，a)‎ ‎＝2＋a＝0，‎ 得z＝0.‎ ‎∴G点坐标为，即G点为AD的中点．‎ ‎13．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．‎ ‎(1)证明：CD⊥平面PAE；‎ ‎(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．‎ 解　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4，3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)．‎ ‎(1)易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)．‎ 因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.‎ ‎(2)由题设和(1)知，·分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈， ‎〉|＝|cos〈，〉|，‎ 即＝.‎ 由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h)，‎ 又＝(4,0，－h)，‎ 故＝.‎ 解得h＝.‎ 又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，‎ 所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.‎ ‎14．如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．‎ ‎(1)求点C到平面A1ABB1的距离；‎ ‎(2)若AB1⊥A‎1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值．‎ 解 (1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB.又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD＝＝.‎ ‎(2) 如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直．以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.‎ 设直三棱柱的高为h，则A(－2,0,0)，A1(－2,0，h)，B1(2，0，h)，C(0，，0)，C1(0，，h)，从而＝(4,0，h)，＝(2，，－h)，‎ 由⊥，有8－h2＝0，h＝2.‎ 故＝(－2,0,2)，＝(0,0,2)，＝(0，，0)，‎ 设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m⊥，m⊥，即 取z1＝1，得m＝(，0,1)．‎ 设平面C1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n⊥，n⊥，即 取x2＝1，得n＝(1,0,0)，所以cos〈m，n〉＝＝＝.‎ 所以二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值为.‎