2020学年高二数学下学期期末考试试题 文人教版 21页

‎2019学年高二数学下学期期末考试试题 文 一、选择题（共12小题）‎ ‎1.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）‎ A．336 B．509 C．1326 D．3603‎ ‎2.已知复数（是虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）.‎ 年份 ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 芳香度 ‎1.3‎ ‎1.8‎ ‎5.6‎ ‎7.4‎ ‎9.3‎ 由最小二乘法得到回归方程，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为（ ）‎ A．6.1 B．6.28 C．6.5 D．6.8 ‎ ‎4.把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析，丙是第一名的概率是（ ）‎ - 21 -‎ A． B． C． D．‎ ‎6.设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（ ）‎ A．-1 B．-2 C．1 D．2‎ ‎7.某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（ ）‎ A．24 B．30 C．32 D．35‎ ‎8.“”是“函数存在零点”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9.已知函数在时有极值0，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎10.已知、分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于、两点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）‎ - 21 -‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12.设，是离心率为5的双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）‎ A． B． C．24 D．48‎ 二、填空题（共4小题）‎ ‎13.已知双曲线和椭圆焦点相同，则该双曲线的方程为 ．‎ ‎14.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.‎ 甲说：我在1日和3日都有值班；‎ 乙说：我在8日和9日都有值班；‎ 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是 ．‎ ‎15.在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为 ．‎ ‎16.已知定义在上的函数在导函数为，若，且当时，，则满足不等式的实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题：‎ ‎17.有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：‎ 直径分组 甲基地频数 ‎10‎ ‎30‎ ‎120‎ ‎175‎ ‎125‎ ‎35‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎35‎ ‎115‎ ‎165‎ ‎110‎ ‎60‎ ‎10‎ - 21 -‎ 乙基地频数 ‎（1）根据以上统计数据完成下面列联表，并回答是否有以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关？”‎ 甲基地 乙基地 合计 优质品 ‎_________‎ ‎_________‎ ‎_________‎ 非优质品 ‎_________‎ ‎_________‎ ‎_________‎ 合计 ‎_________‎ ‎_________‎ ‎_________‎ ‎（2）求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）记甲基地直径在范围内的五个桔柚分别为、、、、，现从中任取二个，求含桔柚的概率.‎ 附：，.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎18.已知椭圆：的左焦点左顶点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ） 已知，是椭圆上的两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点.若，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.‎ ‎19.某市春节期间7家超市广告费支出（万元）和销售额（万元）数据如表：‎ 超市 广告费支出 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎19‎ 销售额 ‎19‎ ‎32‎ ‎40‎ ‎44‎ ‎552‎ ‎53‎ ‎54‎ ‎（Ⅰ）若用线性回归模型拟合与的关系，求与的线性回归方程.‎ - 21 -‎ ‎（Ⅱ） 若用二次函数回归模型拟合与的关系，可得回归方程：，经计算二次函数回归模型和线性回归模型的分别约为0.93和0.75，请用说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测超市广告费支出3万元时的销售额.‎ 参考数据：，，，.‎ 参考公式：，.‎ ‎20.已知抛物线：上的点到其焦点的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ） 已知直线不过点且与相交于，两点，且直线与直线的斜率之积为1，证明：过定点.‎ ‎21.已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ） 设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求，的值；‎ ‎（2）当时，在区间上至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.‎ - 21 -‎ 高二文科升级考试数学试题答案 一、选择题 ‎1-5: BBABB 6-10: ACABA 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 14. 6日和11日 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17、解：（1）由以上统计数据填写2×2列联表如下：‎ 甲基地 乙基地 合计 优质品 ‎420‎ ‎390‎ ‎810‎ 非优质品 ‎80‎ ‎110‎ ‎190‎ 合计 ‎500‎ ‎500‎ ‎1000‎ 计算K2==≈5.848＞3.841，‎ 所以有95%的把握认为：“桔柚直径与所在基地有关”；‎ ‎（2）甲基地桔柚的优质品率为=84%，乙基地桔柚的优质品率为=78%，‎ 所以甲基地桔柚的优质品率较高，‎ 甲基地的500个桔柚直径的样本平均数为 ‎=×（62×10+68×30+74×120+80×175+86×125+92×35+98×5）‎ ‎=1.24+4.08+17.76+28.0+21.5+6.44+0.98‎ ‎=80；‎ ‎（3）依题意：记“从甲基地直径在[95，101]的五个桔柚A，B，C，D，E中任取二个，含桔柚A”为事件N；‎ 实验包含的所有基本事件为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），‎ ‎（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10种；‎ 事件N包含的结果有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E）共4种；‎ 所求事件的概率为：．‎ ‎18、解：（Ⅰ）由题意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得b2=42﹣22=12，‎ - 21 -‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ时，AP，BP的斜率之和为0，‎ 设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为﹣k，‎ 设A（x1，y1）B（x2，y2），PA的方程为y﹣3=k（x﹣2）．‎ 联立消y得（3+4k2）x2+8（3k﹣k2）x+4（4k2+9﹣12k）﹣48=0‎ 所以，‎ 同理，‎ 所以，，‎ 所以kAB===，‎ 所以AB的斜率为定值．‎ ‎19、解：（Ⅰ）∵=708，‎ ‎∴回归系数为=，‎ ‎；‎ ‎∴y关于x的线性回归方程是； ‎ ‎（Ⅱ）∵R2分别约为0.93和0.75，且0.75＜0.93，‎ ‎∴二次函数回归模型更合适； ‎ 当x=3万元时，+5x+20=﹣0.17×32+5×3+20=33.47，‎ ‎∴预测A超市销售额为33.47万元． ‎ ‎20、【解答】解：（Ⅰ）由题意，得2pm=1，即．‎ - 21 -‎ 由抛物线的定义，得．‎ 由题意，．解得，或p=2（舍去）．‎ 所以C的方程为y2=x．‎ ‎（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然k≠0），则直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣1），则y=kx+1﹣k．‎ 由消去y并整理得k2x2+[2k（1﹣k）﹣1]x+（1﹣k）2=0．‎ 设A（x1，y1），由韦达定理，得，即.=．所以．‎ 由题意，直线PB的斜率为．‎ 同理可得，即B（（k2﹣1）2，k﹣1）．‎ 若直线l的斜率不存在，则．解得k=1，或k=﹣1．‎ 当k=1时，直线PA与直线PB的斜率均为1，A，B两点重合，与题意不符；‎ 当k=﹣1时，直线PA与直线PB的斜率均为﹣1，A，B两点重合，与题意不符．‎ 所以，直线l的斜率必存在．‎ 直线l的方程为[x﹣（k﹣1）2]，即．‎ 所以直线l过定点（0，﹣1）．‎ 证法二：由（1），得P（1，1）．‎ 若l的斜率不存在，则l与x轴垂直．‎ 设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），．‎ 则==．‎ ‎（x1﹣1≠0，否则，x1=1，则A（1，1），或B（1，1），直线l过点P，与题设条件矛盾）‎ - 21 -‎ 由题意，，所以x1=0．这时A，B两点重合，与题意不符．‎ 所以l的斜率必存在．‎ 设l的斜率为k，显然k≠0，设l：y=kx+t，‎ 由直线l不过点P（1，1），所以k+t≠1．‎ 由消去y并整理得k2x2+（2kt﹣1）x+t2=0．‎ 由判别式△=1﹣4kt＞0，得．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，‎ 则==．‎ 由题意，．‎ 故（k2﹣1）x1x2+（kt﹣k+1）③‎ 将①②代入③式并化简整理得，即1﹣t2﹣kt﹣k=0．‎ 即（1+t）（1﹣t）﹣k（t+1）=0，即（1+t）（1﹣t﹣k）=0．‎ 又k+t≠1，即1﹣t﹣k≠0，所以1+t=0，即t=﹣1．‎ 所以l：y=kx﹣1．显然l过定点（0，﹣1）．‎ 证法三：由（1），得P（1，1）．‎ 设l：x=ny+t，由直线l不过点P（1，1），所以n+t≠1．‎ 由消去x并整理得y2﹣ny﹣t=0．‎ 由题意，判别式△=n2+4t＞0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=n①，y1y2=﹣t②‎ - 21 -‎ 则==．‎ 由题意，y1y2+（y1+y2）+1=1，即y1y2+（y1+y2）=0③‎ 将①②代入③式得﹣t+n=0，即t=n．‎ 所以l：x=n（y+1）．显然l过定点（0，﹣1）．‎ ‎21、【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c，由已知条件得：‎ ‎，解得b=﹣3，c=d=0；‎ ‎∴f（x）=x3﹣3x2‎ ‎（2）由已知条件得：f（x）﹣g（x）=0在[﹣2，1]上有两个不同的解；‎ 即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2，1]有两个不同的解；‎ 即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2，1]上有两个不同解．‎ 令h（x）=x3﹣3x2﹣9x+1，h′（x）=3x2﹣6x﹣9，x∈[﹣2，1]；‎ 解3x2﹣6x﹣9＞0得：﹣2≤x＜﹣1；解3x2﹣6x﹣9＜0得：﹣1＜x≤1；‎ ‎∴h（x）max=h（﹣1）=6，又f（﹣2）=﹣1，f（1）=﹣10，∴h（x）min=﹣10；‎ m=h（x）在区间[﹣2，1]上有两个不同的解，∴﹣1≤m＜6．‎ ‎∴实数m的取值范围是[﹣1，6）．‎ ‎22、【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣+n，‎ 故f′（0）=n﹣m，即n﹣m=﹣3，‎ 又∵f（0）=m，故切点坐标是（0，m），‎ ‎∵切点在直线y=﹣3x+2上，‎ 故m=2，n=﹣1；‎ ‎（2）∵f（x）=+x，∴f′（x）=，‎ 当m≤0时，f′（x）＞0，‎ 故函数f（x）在（﹣∞，1）递增，‎ 令x0=a＜0，此时f（x）＜0，符合题意，‎ 当m＞0时，即0＜m＜e时，则函数f（x）在（﹣∞，lnm）递减，在（lnm，+∞）递增，‎ ‎①当lnm＜1即0＜m＜e时，则函数f（x）在（﹣∞，lnm）递减，在（lnm，1]递增，‎ - 21 -‎ f（x）min=f（lnm）=lnm+1＜0，解得：0＜m＜，‎ ‎②当lnm＞1即m≥e时，函数f（x）在区间（﹣∞，1）递减，‎ 则函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的最小值是f（1）=+1＜0，解得：m＜﹣e，无解，‎ 综上，m＜，即m的范围是（﹣∞，）． ‎ - 21 -‎ ‎ ‎ 高二文科升级考试数学试题答案 一、 选择题：‎ ‎1、B【解答】解：由题意满七进一，可知该图示为七进制数，‎ 化为十进制数为1×73+3×72+2×7+5=509．‎ 故选：B．‎ ‎2、B ‎【解答】解：∵=，‎ ‎∴，‎ 故选：B．‎ ‎3、A【解答】解：由表中数据：==4，‎ 回归方程=1.03x+1.13，‎ ‎∴=1.03×4+1.13=5.26，‎ ‎∴==5.26，‎ 解得：？=6.1．‎ 故选：A．‎ ‎4、B ‎【解答】解：如图，‎ 要使硬币完全落在托盘上，则硬币圆心在托盘内以6为边长的正方形内，‎ 硬币在托盘上且没有掉下去，则硬币圆心在托盘内，‎ 由测度比为面积比可得，硬币完全落在托盘上的概率为P=．‎ 故选：B．‎ ‎5、B【解答】解：∵甲和乙都不可能是第一名，‎ - 21 -‎ ‎∴第一名只可能是丙、丁或戊，‎ 又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响，‎ ‎∴这三个人获得第一名是等概率事件，‎ ‎∴丙是第一名的概率是．‎ 故选：B．‎ ‎6、A【解答】解：y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）==﹣1，‎ 故选：A．‎ ‎7、C【解答】解：由分层抽样的方法可设样本中有高中三个年级学生人数为x人，‎ 则，解得：x=32‎ 故选：C．‎ ‎8、 A ‎【解答】解：∵m＜0，函数f（x）=m+log2x（x≥1），‎ 又x≥1，log2x≥0，∵y=log2x在x≥1上为增函数，求f（x）存在零点，‎ 要求f（x）＜0，必须要求m＜0，‎ ‎∴f（x）在x≥1上存在零点；‎ 若m=0，代入函数f（x）=m+log2x（x≥1），‎ 可得f（x）=log2x，令f（x）=log2x=0，可得x=1，‎ f（x）的零点存在，‎ ‎∴“m＜0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点”充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎9、B【解答】解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2 ‎ ‎∴f′（x）=3x2+6mx+n 依题意可得即：，‎ 解得，或，‎ 当m=1，n=3时函数f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0，‎ 函数在R上单调递增，函数无极值，舍去，‎ - 21 -‎ 椭圆，m=2，n=9，‎ 则a=9，c=77，‎ 所以椭圆的离心率为：．‎ 故选：B．‎ ‎10、A【解答】解：F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，‎ 半焦距为半径的圆交双曲线右支于A、B两点，且△F1AB为等边三角形，‎ 则A（，），代入双曲线方程可得：，‎ 即：e2﹣，可得e2﹣=4，‎ 即e4﹣8e2+4=0．可得e2=4+2，‎ ‎∴e=．‎ 故选：A．‎ ‎11、B【解答】解：y′=3x2﹣≥﹣，tanα≥﹣，‎ ‎∴α∈[0，）∪[，π），‎ 故选：B．‎ ‎12、【解答】解：∵设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，‎ ‎∴e===5，‎ 解得a2=1，‎ ‎∴c=5，‎ ‎∴|F1F2|=2c=10，‎ ‎∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则|PF1|=|PF2|=x，‎ 由双曲线的性质知x﹣x=2，解得x=6．‎ ‎∴|PF1|=8，|PF2|=6，‎ - 21 -‎ ‎∴∠F1PF2=90°，‎ ‎∴△PF1F2的面积=×6×8=24．‎ 故选：C．‎ 一、 填空题：‎ ‎13、【解答】解：根据题意，椭圆焦点的在x轴上，且其焦点坐标为（±2，0），‎ 若双曲线和椭圆焦点相同，‎ 则有m+1=8，解可得m=7；‎ 则双曲线的方程为：﹣y2=1；‎ 故答案为：﹣y2=1．‎ ‎14、【解答】解：由题意，1至12的和为78，‎ 因为三人各自值班的日期之和相等，‎ 所以三人各自值班的日期之和为26，‎ 根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，‎ 据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，‎ 故答案为：6日和11日 ‎15、【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．‎ ‎∵﹣1≤log（x+）≤1‎ ‎∴≤x+≤2‎ 解得0≤x≤，‎ ‎∵0≤x≤2‎ - 21 -‎ ‎∴0≤x≤‎ ‎∴所求的概率为：P==．‎ 故答案为：．‎ ‎16、【解答】解：由f（x）=f（2﹣x），得函数关于x=1对称，‎ 当x＞1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，‎ 不妨设f（x）=﹣（x﹣1）2，‎ 则不等式f（m+1）≤f（2m）等价为﹣（m+1﹣1）2≤﹣（2m﹣1）2，‎ 即﹣m2≤﹣4m2+4m﹣1，‎ 即3m2﹣4m+1≤0，‎ 得≤m≤1，‎ 故实数m的取值范围是[，1]，‎ 故答案为：[，1]，‎ 一、 解答题：‎ ‎17、【解答】解：（1）由以上统计数据填写2×2列联表如下：‎ 甲基地 乙基地 合计 优质品 ‎420‎ ‎390‎ ‎810‎ 非优质品 ‎80‎ ‎110‎ ‎190‎ 合计 ‎500‎ ‎500‎ ‎1000‎ 计算K2==≈5.848＞3.841，‎ 所以有95%的把握认为：“桔柚直径与所在基地有关”；‎ ‎（2）甲基地桔柚的优质品率为=84%，乙基地桔柚的优质品率为=78%，‎ 所以甲基地桔柚的优质品率较高，‎ 甲基地的500个桔柚直径的样本平均数为 ‎=×（62×10+68×30+74×120+80×175+86×125+92×35+98×5）‎ ‎=1.24+4.08+17.76+28.0+21.5+6.44+0.98‎ ‎=80；‎ - 21 -‎ ‎（3）依题意：记“从甲基地直径在[95，101]的五个桔柚A，B，C，D，E中任取二个，含桔柚A”为事件N；‎ 实验包含的所有基本事件为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），‎ ‎（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10种；‎ 事件N包含的结果有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E）共4种；‎ 所求事件的概率为：．‎ ‎18、【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得b2=42﹣22=12，‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ时，AP，BP的斜率之和为0，‎ 设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为﹣k，‎ 设A（x1，y1）B（x2，y2），PA的方程为y﹣3=k（x﹣2）．‎ 联立消y得（3+4k2）x2+8（3k﹣k2）x+4（4k2+9﹣12k）﹣48=0‎ 所以，‎ 同理，‎ 所以，，‎ 所以kAB===，‎ 所以AB的斜率为定值．‎ ‎19、【解答】解：（Ⅰ）∵=708，‎ ‎∴回归系数为=，…（3分）‎ ‎；…（5分）‎ - 21 -‎ ‎∴y关于x的线性回归方程是；…（6分）‎ ‎（Ⅱ）∵R2分别约为0.93和0.75，且0.75＜0.93，‎ ‎∴二次函数回归模型更合适；…（9分）‎ 当x=3万元时，+5x+20=﹣0.17×32+5×3+20=33.47，‎ ‎∴预测A超市销售额为33.47万元．…（12分）‎ ‎20、【解答】解：（Ⅰ）由题意，得2pm=1，即．‎ 由抛物线的定义，得．‎ 由题意，．解得，或p=2（舍去）．‎ 所以C的方程为y2=x．‎ ‎（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然k≠0），则直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣1），则y=kx+1﹣k．‎ 由消去y并整理得k2x2+[2k（1﹣k）﹣1]x+（1﹣k）2=0．‎ 设A（x1，y1），由韦达定理，得，即.=．所以．‎ 由题意，直线PB的斜率为．‎ 同理可得，即B（（k2﹣1）2，k﹣1）．‎ 若直线l的斜率不存在，则．解得k=1，或k=﹣1．‎ 当k=1时，直线PA与直线PB的斜率均为1，A，B两点重合，与题意不符；‎ 当k=﹣1时，直线PA与直线PB的斜率均为﹣1，A，B两点重合，与题意不符．‎ 所以，直线l的斜率必存在．‎ 直线l的方程为[x﹣（k﹣1）2]，即．‎ - 21 -‎ 所以直线l过定点（0，﹣1）．‎ 证法二：由（1），得P（1，1）．‎ 若l的斜率不存在，则l与x轴垂直．‎ 设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），．‎ 则==．‎ ‎（x1﹣1≠0，否则，x1=1，则A（1，1），或B（1，1），直线l过点P，与题设条件矛盾）‎ 由题意，，所以x1=0．这时A，B两点重合，与题意不符．‎ 所以l的斜率必存在．‎ 设l的斜率为k，显然k≠0，设l：y=kx+t，‎ 由直线l不过点P（1，1），所以k+t≠1．‎ 由消去y并整理得k2x2+（2kt﹣1）x+t2=0．‎ 由判别式△=1﹣4kt＞0，得．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，‎ 则==．‎ 由题意，．‎ 故（k2﹣1）x1x2+（kt﹣k+1）③‎ 将①②代入③式并化简整理得，即1﹣t2﹣kt﹣k=0．‎ 即（1+t）（1﹣t）﹣k（t+1）=0，即（1+t）（1﹣t﹣k）=0．‎ 又k+t≠1，即1﹣t﹣k≠0，所以1+t=0，即t=﹣1．‎ 所以l：y=kx﹣1．显然l过定点（0，﹣1）．‎ - 21 -‎ 证法三：由（1），得P（1，1）．‎ 设l：x=ny+t，由直线l不过点P（1，1），所以n+t≠1．‎ 由消去x并整理得y2﹣ny﹣t=0．‎ 由题意，判别式△=n2+4t＞0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=n①，y1y2=﹣t②‎ 则==．‎ 由题意，y1y2+（y1+y2）+1=1，即y1y2+（y1+y2）=0③‎ 将①②代入③式得﹣t+n=0，即t=n．‎ 所以l：x=n（y+1）．显然l过定点（0，﹣1）．‎ ‎21、【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c，由已知条件得：‎ ‎，解得b=﹣3，c=d=0；‎ ‎∴f（x）=x3﹣3x2‎ ‎（2）由已知条件得：f（x）﹣g（x）=0在[﹣2，1]上有两个不同的解；‎ 即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在区间[﹣2，1]有两个不同的解；‎ 即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2，1]上有两个不同解．‎ 令h（x）=x3﹣3x2﹣9x+1，h′（x）=3x2﹣6x﹣9，x∈[﹣2，1]；‎ 解3x2﹣6x﹣9＞0得：﹣2≤x＜﹣1；解3x2﹣6x﹣9＜0得：﹣1＜x≤1；‎ ‎∴h（x）max=h（﹣1）=6，又f（﹣2）=﹣1，f（1）=﹣10，∴h（x）min=﹣10；‎ m=h（x）在区间[﹣2，1]上有两个不同的解，∴﹣1≤m＜6．‎ ‎∴实数m的取值范围是[﹣1，6）．‎ ‎22、【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣+n，‎ 故f′（0）=n﹣m，即n﹣m=﹣3，‎ 又∵f（0）=m，故切点坐标是（0，m），‎ ‎∵切点在直线y=﹣3x+2上，‎ 故m=2，n=﹣1；‎ - 21 -‎ ‎（2）∵f（x）=+x，∴f′（x）=，‎ 当m≤0时，f′（x）＞0，‎ 故函数f（x）在（﹣∞，1）递增，‎ 令x0=a＜0，此时f（x）＜0，符合题意，‎ 当m＞0时，即0＜m＜e时，则函数f（x）在（﹣∞，lnm）递减，在（lnm，+∞）递增，‎ ‎①当lnm＜1即0＜m＜e时，则函数f（x）在（﹣∞，lnm）递减，在（lnm，1]递增，‎ f（x）min=f（lnm）=lnm+1＜0，解得：0＜m＜，‎ ‎②当lnm＞1即m≥e时，函数f（x）在区间（﹣∞，1）递减，‎ 则函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的最小值是f（1）=+1＜0，解得：m＜﹣e，无解，‎ 综上，m＜，即m的范围是（﹣∞，）．‎ - 21 -‎