2015年浙江省高考数学试卷（文科） 11页

‎2015年浙江省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（　　）‎ A．[3，4） B．（2，3] C．（﹣1，2） D．（﹣1，3]‎ ‎2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）‎ A．8cm3 B．12cm3 C． D．‎ ‎3．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　）‎ A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m ‎ C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m ‎5．（5分）函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（　　）‎ A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz ‎7．（5分）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（　　）‎ A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 ‎8．（5分）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．则（　　）‎ A．若t确定，则b2唯一确定 B．若t确定，则a2+2a唯一确定 C．若t确定，则sin唯一确定 D．若t确定，则a2+a唯一确定 ‎　‎ 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）‎ ‎9．（6分）计算：log2=　　，2=　　．‎ ‎10．（6分）已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=　　，d=　　．‎ ‎11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是　　，最小值是　　．‎ ‎12．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=　　，f（x）的最小值是　　．‎ ‎13．（4分）已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||=　　．‎ ‎14．（4分）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是　　．‎ ‎15．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　　．‎ ‎　‎ ‎2015年浙江省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（　　）‎ A．[3，4） B．（2，3] C．（﹣1，2） D．（﹣1，3]‎ ‎【分析】求出集合P，然后求解交集即可．‎ ‎【解答】解：集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1或x≥3}，‎ Q={x|2＜x＜4}，‎ 则P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）．‎ 故选：A．‎ ‎2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）‎ A．8cm3 B．12cm3 C． D．‎ ‎【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．‎ ‎【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，‎ 所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．‎ 故选：C．‎ ‎3．（5分）（2015•浙江）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可．‎ ‎【解答】解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．‎ 如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，‎ 所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．‎ 故选：D．‎ ‎4．（5分）（2015•浙江）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　）‎ A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m ‎【分析】A根据线面垂直的判定定理得出A正确；‎ B根据面面垂直的性质判断B错误；‎ C根据面面平行的判断定理得出C错误；‎ D根据面面平行的性质判断D错误．‎ ‎【解答】解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；‎ 对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；‎ 对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；‎ 对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．‎ 故选：A．‎ ‎5．（5分）（2015•浙江）函数f（x）=﹣（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x趋向于0时，f（x）＞0，结合所给的选项，得出结论．‎ ‎【解答】解：对于函数f（x）=﹣（﹣x）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，‎ 且满足f（﹣x）=﹣（﹣+x）cosx=（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．‎ 故排除A、B．‎ 当x=π，f（x）＞0，故排除D，‎ 但是当x趋向于0时，f（x）＞0，‎ 故选：C．‎ ‎6．（5分）（2015•浙江）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（　　）‎ A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz ‎【分析】作差法逐个选项比较大小可得．‎ ‎【解答】解：∵x＜y＜z且a＜b＜c，‎ ‎∴ax+by+cz﹣（az+by+cx）‎ ‎=a（x﹣z）+c（z﹣x）‎ ‎=（x﹣z）（a﹣c）＞0，‎ ‎∴ax+by+cz＞az+by+cx；‎ 同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz）‎ ‎=b（z﹣x）+c（x﹣z）‎ ‎=（z﹣x）（b﹣c）＜0，‎ ‎∴ay+bz+cx＜ay+bx+cz；‎ 同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx）‎ ‎=a（z﹣y）+b（y﹣z）‎ ‎=（z﹣y）（a﹣b）＜0，‎ ‎∴az+by+cx＜ay+bz+cx，‎ ‎∴最低费用为az+by+cx 故选：B ‎7．（5分）（2015•浙江）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（　　）‎ A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 ‎【分析】根据题意，∠PAB=30°为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧面与平面α的交线，则答案可求．‎ ‎【解答】解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．‎ 此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，‎ 再由斜线段AB与平面α所成的角为60°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．‎ 故可知动点P的轨迹是椭圆．‎ 故选：C．‎ ‎8．（5分）（2015•浙江）设实数a，b，t满足|a+1|=|sinb|=t．则（　　）‎ A．若t确定，则b2唯一确定 B．若t确定，则a2+2a唯一确定 C．若t确定，则sin唯一确定 D．若t确定，则a2+a唯一确定 ‎【分析】根据代数式得出a2+2a=t2﹣1，sin2b=t2‎ ‎，运用条件，结合三角函数可判断答案．‎ ‎【解答】解：∵实数a，b，t满足|a+1|=t，‎ ‎∴（a+1）2=t2，‎ a2+2a=t2﹣1，‎ t确定，则t2﹣1为定值．‎ sin2b=t2，‎ A，C不正确，‎ ‎∴若t确定，则a2+2a唯一确定，‎ 故选：B 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）‎ ‎9．（6分）（2015•浙江）计算：log2=　　，2=　　．‎ ‎【分析】直接利用对数运算法则化简求值即可．‎ ‎【解答】解：log2=log2=﹣；‎ ‎2===3．‎ 故答案为：；．‎ ‎10．（6分）（2015•浙江）已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=　　，d=　﹣1　．‎ ‎【分析】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣a1，再由条件2a1+a2=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．‎ ‎【解答】解：由a2，a3，a7成等比数列，‎ 则a32=a2a7，‎ 即有（a1+2d）2=（a1+d）（a1+6d），‎ 即2d2+3a1d=0，‎ 由公差d不为零，‎ 则d=﹣a1，‎ 又2a1+a2=1，‎ 即有2a1+a1+d=1，‎ 即3a1﹣a1=1，‎ 解得a1=，d=﹣1．‎ 故答案为：，﹣1．‎ ‎11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是　π　，最小值是　　．‎ ‎【分析】由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1‎ ‎=+sin2x+1‎ ‎=sin（2x﹣）+．‎ ‎∴最小正周期T=，最小值为：．‎ 故答案为：π，．‎ ‎12．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=　　，f（x）的最小值是　2﹣6　．‎ ‎【分析】由分段函数的特点易得f（f（﹣2））=的值；分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值，比较可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得f（﹣2）=（﹣2）2=4，‎ ‎∴f（f（﹣2））=f（4）=4+﹣6=﹣；‎ ‎∵当x≤1时，f（x）=x2，‎ 由二次函数可知当x=0时，函数取最小值0；‎ 当x＞1时，f（x）=x+﹣6，‎ 由基本不等式可得f（x）=x+﹣6≥2﹣6=2﹣6，‎ 当且仅当x=即x=时取到等号，即此时函数取最小值2﹣6；‎ ‎∵2﹣6＜0，∴f（x）的最小值为2﹣6‎ 故答案为：﹣；2﹣6‎ ‎13．（4分）（2015•浙江）已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||=　　．‎ ‎【分析】根据数量积得出1，2夹角为60°，＜，1＞=＜，2＞=30°，运用数量积的定义判断求解即可．‎ ‎【解答】解：∵1，2是平面单位向量，且1•2=，‎ ‎∴1，2夹角为60°，‎ ‎∵向量满足•1=•=1‎ ‎∴与1，2夹角相等，且为锐角，‎ ‎∴应该在1，2夹角的平分线上，‎ 即＜，1＞=＜，2＞=30°，‎ ‎||×1×cos30°=1，‎ ‎∴||=‎ 故答案为：‎ ‎14．（4分）（2015•浙江）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是　15　．‎ ‎【分析】由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞‎ ‎0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由x2+y2≤1，‎ 可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，‎ 则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10，‎ 令z=﹣3x﹣4y+10，得，‎ 如图，‎ 要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线在y轴上的截距最小，‎ 由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．‎ 则，即z=15或z=5．‎ 由题意可得z的最大值为15．‎ 故答案为：15．　‎ ‎15．（4分）（2015•浙江）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　　．‎ ‎【分析】设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．‎ ‎【解答】解：设Q（m，n），由题意可得，‎ 由①②可得：m=，n=，代入③可得：，‎ 可得，4e6+e2﹣1=0．‎ 即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，‎ 可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0‎ 解得e=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎