高考数学一轮复习专题讲座 45页

高三一轮复习讲座一 ---- 集合与简易逻辑 一、复习要求 1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义； 2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法； 3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法； 4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系； 5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。 二、学习指导 1、集合的概念： （1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2）集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集； ②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表 示开口向上，以 y 轴为对称轴的抛物线； （3）集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如 N+={0，1，2，3，…}；②描述法。 2、两类关系： （1）元素与集合的关系，用或表示； （2）集合与集合的关系，用  ，  ，=表示，当 A B 时，称 A 是 B 的子集；当 A B 时，称 A 是 B 的真子集。 3、集合运算 （1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A 且 x∈B}，A∪B={x|x∈A，或 x∈B}，CUA=｛x|x∈U， 且 x A｝，集合 U 表示全集； （2）运算律，如 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）， CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）， CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。 4、命题： （1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题； （2）复合命题的形式：p 且 q，p 或 q，非 p； （3）复合命题的真假：对 p 且 q 而言，当 q、p 为真时，其为真；当 p、q 中有一个为假时， 其为假。对 p 或 q 而言，当 p、q 均为假时，其为假；当 p、q 中有一个为真时，其为真；当 p 为真时，非 p 为假；当 p 为假时，非 p 为真。 （3）四种命题：记“若 q 则 p”为原命题，则否命题为“若非 p 则非 q”，逆命题为“若 q 则 p“，逆否命题为”若非 q 则非 p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种 命题为真的个数只能是偶数个。 5、充分条件与必要条件 （1）定义：对命题“若 p 则 q”而言，当它是真命题时，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要 条件，当它的逆命题为真时，q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件，两种命题均为真时，称 p 是 q 的充要条件； （2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次， 结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不 必要条件。从集合角度看，若记满足条件 p 的所有对象组成集合 A，满足条件 q 的所有对象组成 集合 q，则当 A B 时，p 是 q 的充分条件。B A 时，p 是 q 的充分条件。A=B 时，p 是 q 的充要 条件； （3）当 p 和 q 互为充要时，体现了命题等价转换的思想。 6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。 7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。 三、典型例题 例 1、已知集合 M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求 M∩N。 解题思路分析： 在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N 均为数集，不能误认 为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1，x∈ R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R} ∴ M∩N=M={y|y≥1} 说明：实际上，从函数角度看，本题中的 M，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地， 集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数 y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合 {（x，y）|y=x2+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线 y=x2+1 上的所有点，属于 图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。 例 2、已知集合 A={x|x2-3x+2=0}，B+{x|x2-mx+2=0}，且 A∩B=B，求实数 m 范围。 解题思路分析： 化简条件得 A={1，2}，A∩B=B  B A 根据集合中元素个数集合 B 分类讨论，B=φ ，B={1}或{2}，B={1，2} 当 B=φ 时，△=m2-8<0 ∴ 22m22  当 B={1}或{2}时，      02m2402m1 0 或 ，m 无解 当 B={1，2}时，      221 m21 ∴ m=3 综上所述，m=3 或 22m22  说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要 方面，如本题当 B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。 例 3、用反证法证明：已知 x、y∈R，x+y≥2，求 证 x、y 中至少有一个大于 1。 解题思路分析： 假设 x<1 且 y<1，由不等式同向相加的性质 x+y<2 与已知 x+y≥2 矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ x、y 中至少有一个大于 1 说明；反证法的理论依据是：欲证“若 p 则 q”为真，先证“若 p 则非 q”为假，因在条件 p 下，q 与非 q 是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若 p 则非 q”为假时， “若 p 则 q”一定为真。 例 4、若 A 是 B 的必要而不充分条件，C 是 B 的充要条件，D 是 C 的充分而不必要条件，判 断 D 是 A 的什么条件。 解题思路分析： 利用“ ”、“  ”符号分析各命题之间的关系 D C B A ∴ D A，D 是 A 的充分不必要条件 说明：符号“ ”、“ ”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。 例 5、求直线：ax-y+b=0 经过两直线1：2x-2y-3=0 和2：3x-5y+1=0 交点的充要条件。 解题思路分析： 从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。 由      01y5x3 03y2x2 得1，2 交点 P（ 4 11,4 17 ） ∵ 过点 P ∴ 0b4 11 4 17a  ∴ 17a+4b=11 充分性：设 a，b 满足 17a+4b=11 ∴ 4 a1711b  代入方程： 04 a1711yax  整理得： 0) 4 17x(a) 4 11y(  此方程表明，直线恒过两直线 04 17x,04 11y  的交点（ 4 11,4 17 ） 而此点为1 与2 的交点 ∴ 充分性得证 ∴ 综上所述，命题为真 说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“ ”，双向传输，同时证明 充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。 四、同步练习 （一） 选择题 1、设 M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与 M 的关系是 A、{a}=M B、M  {a} C、{a}  M D、M  {a} 2、已知全集 U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且 A∩B=φ ，则 a 的取值范围是 A、 [0，2] B、（ -2，2） C、（ 0，2] D、（ 0，2） 3、已知集合 M={x|x=a2-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b2-b，b∈R}，则 M，N 的关系是 A、 M N B、M N C、M=N D、不确定 4、设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则 A∪B 中的元素个数是 A、11 B、10 C、16 D、15 5、集合 M={1，2，3，4，5}的子集是 A、15 B、16 C、31 D、32 6、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是 A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真 C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真 7、“ α ≠β ”是 cosα ≠cosβ ”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 8、集合 A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3+1，∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是 A、S  B A B、S=B A C、S B=A D、S  B=A 9、方程 mx2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是 A、00 时，f(x)>1，且对任意的 a、b∈R，有 f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的 x∈R，恒有 f(x)>0； （3）证明：f(x)是 R 上的增函数； （4）若 f(x)·f(2x-x2)>1，求 x 的取值范围。 分析： （1）令 a=b=0，则 f(0)=[f(0)]2 ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 （2）令 a=x，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ )x(f 1)x(f  由已知 x>0 时，f(x)>1>0 当 x<0 时，-x>0，f(-x)>0 ∴ 0)x(f 1)x(f  又 x=0 时，f(0)=1>0 ∴ 对任意 x∈R，f(x)>0 （3）任取 x2>x1，则 f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴ 1)xx(f)x(f)x(f)x(f )x(f 1212 1 2  ∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在 R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x) 又 1=f(0)，f(x)在 R 上递增 ∴ 由 f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0b>c B、a>c>b C、b>c>a D、c>b>a 2、方程 x)2x(loga  （a>0 且 a≠1）的实数解的个数是 A、0 B、1 C、2 D、3 3、 |x1|)3 1(y  的单调减区间是 A、（ -∞，1） B、（ 1，+∞） C、（ -∞，-1）∪（1，+∞） D、（ -∞，+∞） 9、函数 )12x4x(logy 2 2 1  的值域为 A、 （-∞，3] B、（ -∞，-3] C、（ -3，+∞） D、（ 3，+∞） 10、 函数 y=log2|ax-1|（a≠b）的图象的对称轴是直线 x=2，则 a 等于 A、 2 1 B、 2 1 C、2 D、-2 6、有长度为 24 的材料用一矩形场地，中间加两隔墙，要使矩形的面积最大，则隔壁的长 度为 A、 3 B、4 C、6 D、12 （二） 填空题 7、已知定义在 R 的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x)，且当 0≤x≤1 时，f(x)=x，则 )2 15(f =__________。 8、 已知 y=loga(2-x)是 x 的增函数，则 a 的取值范围是__________。 9、 函数 f(x)定义域为[1，3]，则 f(x2+1)的定义域是__________。 10、函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)，且 f(0)=3，则 f(bx)与 f(cx)的大小关系是 __________。 11、已知 f(x)=log3x+3，x∈[1，9]，则 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是__________。 12、已知 A={y|y=x2-4x+6，y∈N}，B={y|y=-x2-2x+18，y∈N}，则 A∩B 中所有元素的和是 __________。 13、若φ (x)，g(x)都是奇函数，f(x)=mφ (x)+ng(x)+2 在（0，+∞）上有最大值，则 f(x) 在（-∞，0）上最小值为__________。 14、函数 y=log2(x2+1)（x>0）的反函数是__________。 15、求值： bcacabcbcaba xx1 1 xx1 1 xx1 1       =__________。 （三） 解答题 16、若函数 cx 1ax)x(f 2   的值域为[-1，5]，求 a，c。 17、设定义在[-2，2]上的偶函数 f(x)在区间[0，2]上单调递减，若 f(1-m)3； （2）求 a 的取值范围。 高三一轮复习讲座三 ----数 列 一、复习要求 11、 等差数列及等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式及性质； 2、一般数列的通项及前 n 项和计算。 二、学习指导 1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的 对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或 其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。 研究数列，首先研究对应法则——通项公式：an=f(n)，n∈N+，要能合理地由数列前 n 项写 出通项公式，其次研究前 n 项和公式 Sn：Sn=a1+a2+…an，由 Sn 定义，得到数列中的重要公式：       2nSS 1nSa 1nn 1 n 。 一般数列的 an 及 Sn,，除化归为等差数列及等比数列外，求 Sn 还有下列基本题型：列项相 消法，错位相消法。 2、等差数列 （1）定义，{an}为等差数列  an+1-an=d（常数），n∈N+ 2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N+）； （2）通项公式：an=an+(n-1)d，an=am+(n-m)d； 前 n 项和公式： 2 )aa(nd2 )1n(nnaS n1 1n  ； （3）性质：an=an+b，即 an 是 n 的一次型函数，系数 a 为等差数列的公差； Sn=an2+bn，即 Sn 是 n 的不含常数项的二次函数； 若{an}，{bn}均为等差数列，则{an±nn},{  k 1i ka },{kan+c}（k，c 为常数）均为等差数列； 当 m+n=p+q 时，am+an=ap+aq，特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…； 当 2n=p+q 时，2an=ap+aq； 当 n 为奇数时，S2n-1=(2n-1)an；S 奇= 2 1n  a 中，S 偶= 2 1n  a 中。 3、等比数列 （1）定义： n 1n a a  =q（q 为常数，an≠0）； an 2=an-1an+1（n≥2，n∈N+）； （2）通项公式：an=a1qn-1，an=amqn-m; 前 n 项和公式：         1qq1 qaa q1 )q1(a 1qna S n1 n 1 1 n ； （3）性质 当 m+n=p+q 时，aman=apaq，特例：a1an=a2an-1=a3an-2=…， 当 2n=p+q 时，an 2=apaq，数列{kan}，{   k 1i ia }成等比数列。 4、等差、等比数列的应用 （1）基本量的思想：常设首项、公差及首项、公比为基本量，借助于消元思想及解方程组 思想等； （2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算； （3）若{an}为等差数列，则{ naa }为等比数列（a>0 且 a≠1）； 若{an}为正数等比数列，则{logaan}为等差数列（a>0 且 a≠1）。 三、典型例题 例 1、已知数列{an}为等差数列，公差 d≠0，其中 1ka ， 2ka ，…， nka 恰为等比数列，若 k1=1，k2=5，k3=17，求 k1+k2+…+kn。 解题思路分析： 从寻找新、旧数列的关系着手 设{an}首项为 a1，公差为 d ∵ a1，a5，a17 成等比数列 ∴ a5 2=a1a17 ∴（a1+4d）2=a1(a1+16d) ∴ a1=2d 设等比数列公比为 q，则 3a d4a a aq 1 n 1 5  对 nka 项来说， 在等差数列中： 1 n n1k a2 1kd)1k(aa n  在等比数列中： 1n 1 1n 1k 3aqaa n   ∴ 132k 1n n   ∴ n)331(2)132()132()132(kkk 1n1n10 n21    1n3n  注：本题把 k1+k2+…+kn 看成是数列{kn}的求和问题，着重分析{kn}的通项公式。这是解决数 列问题的一般方法，称为“通项分析法”。 例 2、设数列{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 S7=7，S15=75,Tn 为数列{ n Sn } 的前 n 项和，求 Tn。 解题思路分析： 法一：利用基本元素分析法 设{an}首项为 a1，公差为 d，则        75d2 1415a15S 7d2 67a7S 115 17 ∴      1d 2a1 ∴ 2 )1n(n2Sn  ∴ 2 5 2 n 2 1n2n Sn  此式为 n 的一次函数 ∴ { n Sn }为等差数列 ∴ n4 an4 1T 2 n  法二：{an}为等差数列，设 Sn=An2+Bn ∴      75B1515AS 7B77AS 2 15 2 7 解之得：        2 5B 2 1A ∴ n2 5n2 1S 2 n  ，下略 注：法二利用了等差数列前 n 项和的性质 例 3、正数数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 1aS2 nn  ，求： （1）数列{an}的通项公式； （2）设 1nn n aa 1b   ，数列{bn}的前 n 项的和为 Bn，求证：Bn 2 1 . 解题思路分析： （I）涉及到 an 及 Sn 的递推关系，一般都用 an=Sn-Sn-1（n≥2）消元化归。 ∵ 1aS2 nn  ∴ 4Sn=(an+1)2 ∴ 4Sn-1=(an-1+1)2（n≥2） ∴ 4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2 ∴ 4an=an 2-an-1 2+2an-2an-1 整理得：(an-1+an)(an-an-1-2)=0 ∵ an>0 ∴ an-an-1=2 ∴ {an}为公差为 2 的等差数列 在 中，令 n=1，a1=1 ∴ an=2n-1 （II） )1n2 1 1n2 1(2 1 )1n2)(1n2( 1bn  ∴ 2 1 a2 1 2 1)a 1 a 1(2 1)]a 1 a 1()a 1 a 1()a 1 a 1[(2 1B 1n1n11nn3221 n    注：递推是学好数列的重要思想，例本题由 4Sn=(an+1)2 推出 4Sn-1=(an-1+1)2，它其实就是函 数中的变量代换法。在数列中一般用 n-1，n+1 等去代替 n，实际上也就是说已知条件中的递推 关系是关于 n 的恒等式，代换就是对 n 赋值。 例 4、等差数列{an}中，前 m 项的和为 77（m 为奇数），其中偶数项的和为 33，且 a1-am=18， 求这个数列的通项公式。 分析： 利用前奇数项和和与中项的关系 令 m=2n-1，n∈N+ 则      33a)1n(S 77a)1n2(S n n1n2 偶 ∴ 33 77 1n 1n2   ∴ n=4 ∴ m=7 ∴ an=11 ∴ a1+am=2an=22 又 a1-am=18 ∴ a1=20，am=2 ∴ d=-3 ∴ an=-3n+23 例 5、设{an}是等差数列， na n )2 1(b  ，已知 b1+b2+b3= 8 21，b1b2b3= 8 1 ，求等差数列的通项 an。 解题思路分析： ∵ {an}为等差数列 ∴ {bn}为等比数列 从求解{bn}着手 ∵ b1b3=b2 2 ∴ b2 3= 8 1 ∴ b2= 2 1 ∴         4 1bb 8 17bb 21 31 ∴      8 1b 2b 3 1 或      2b 8 1b 2 1 ∴ n231n n 2)4 1(2b   或 5n21n n 248 1b   ∵ na n )2 1(b  ∴ n 2 1n bloga  ∴ an=2n-3 或 an=-2n+5 注：本题化归为{bn}求解，比较简单。若用{an}求解，则运算量较大。 例 6、已知{an}是首项为 2，公比为 2 1 的等比数列，Sn 为它的前 n 项和， （1）用 Sn 表示 Sn+1； （2）是否存在自然数 c 和 k，使得 2cS cS k 1k   成立。 解题思路分析： （1）∵ ) 2 11(4S nn  ∴ 2S2 1) 2 11(4S n1n1n   （2） 0Sc )2S2 3(c 2cS cS k k k 1k     （*） ∵ 4) 2 11(4S kk  ∴ 0S2 12)2S2 3(S kkk  ∴ 式（*） kk Sc2S2 3  ① ∵ Sk+1>Sk ∴ 12S2 32S2 3 1k  又 Sk<4 ∴ 由①得：c=2 或 c=3 当 c=2 时 ∵ S1=2 ∴ k=1 时，c0，d= 02lg  ∴ {an}是递减数列，且 Sn 必为最大值 设       0a 0a 1k k ∴      0)2lg(k2 0)2lg)(1k(2 ∴      2.13k 2.14k ∴ k=14 ∴ (Sn)max=S14=14.35 四、同步练习 （一）选择题 1、已知 a，b，a+b 成等差数列，a，b，ab 成等比数列，且 01 B、18 D、08 2、设 a>0，b>0，a，x1，x2，b 成等差数列，a，y1，y2，b 成等比数列，则 x1+x2 与 y1+y2 的 大小关系是 A、x1+x2≤y1+y2 B、x1+x2≥y1+y2 C、x1+x2y1+y2 12、 已知 Sn 是{an}的前 n 项和，Sn=Pn（P∈R，n∈N+），那么数列{an} A、 是等比数列 B、当 P≠0 时是等比数列 C、 当 P≠0，P≠1 时是等比数列 D、不是等比数列 13、 {an}是等比数列，且 an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，则 a3+a5 等于 A、5 B、10 C、15 D、20 14、 已知 a，b，c 成等差数列，则二次函数 y=ax2+2bx+c 的图象与 x 轴交点个数是 A、 0 B、1 C、2 D、1 或 2 15、 设 m∈N+，log2m 的整数部分用 F(m)表示，则 F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是 A、 8204 B、8192 C、9218 D、8021 7、若 x 的方程 x2-x+a=0 和 x2-x+b=0（a≠b）的四个根可组成首项为 4 1 的等差数列，则 a+b 的值为 A、 8 3 B、 24 11 C、 24 13 D、 72 31 8、 在 100 以内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数和是 A、1557 B、1473 C、1470 D、1368 9、从材料工地运送电线杆到 500m 以外的公路，沿公路一侧每隔 50m 埋栽一根电线杆，已 知每次最多只能运 3 根，要完成运载 20 根电线杆的任务，最佳方案是使运输车运行 A、 11700m B、14700m C、14500m D、14000m 10、已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差 d<0，则使前 n 项和 Sn 取最大值的正整数 n 是 A、4 或 5 B、5 或 6 C、6 或 7 D、8 或 9 （二）填空题 11、已知数列{an}满足 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)，则它的前 n 项和 Sn=______。 12、设等差数列{an}共有 3n 项，它的前 2n 项之和为 100，后 2n 项之和为 200，则该等差数 列的中间 n 项的和等于________。 13、设数列{an}，{bn}（bn>0），n∈N+满足 n blgblgblgan n21   （n∈N+），则{an}为 等差数列是{bn}为等比数列的________条件。 14、长方体的三条棱成等比数列，若体积为 216cm3，则全面积的最小值是______cm2。 15、若不等于 1 的三个正数 a，b，c 成等比数列，则(2-logba)(1+logca)=________。 （三）解答题 16、已知一个等比数列首项为 1，项数是偶数，其奇数项之和为 85，偶数项之和为 170，求 这个数列的公比和项数。 17、已知等比数列{an}的首项为 a1>0，公比 q>-1（q≠1），设数列{bn}的通项 bn=an+1+an+2（n ∈N+），数列{an},{bn}的前 n 项和分别记为 An，Bn，试比较 An 与 Bn 大小。 18、数列{an}中，a1=8，a4=2 且满足 an+2=2an+1-an（n∈N+） （1）求数列{an}通项公式； （2）设 Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求 Sn； （3）设 )a12(n 1b n n  （n∈N+）Tn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整数 m，使得对于任意的 n ∈N+，均有 32 mTn  成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由。 高三一轮复习讲座四 ----三角函数 一、复习要求 16、 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念； 2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等； 3、三角函数的图象及性质。 二、学习指导 1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于 3600 的角。 这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在 x 轴正 半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念， 凡是与终边α 相同的角，都可以表示成 k·3600+α 的形式，特例，终边在 x 轴上的角集合{α | α =k·1800，k∈Z}，终边在 y 轴上的角集合{α |α =k·1800+900，k∈Z}，终边在坐标轴上的角 的集合{α |α =k·900，k∈Z}。 在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。 弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。 在弧度制下，扇形弧长公式=|α |R，扇形面积公式 ||R2 1R2 1S 2   ，其中α 为弧所对圆心 角的弧度数。 2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定 义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。 设 P(x，y)是角α 终边上任一点（与原点不重合），记 22 yx|OP|r  ，则 r ysin  ， r xcos  ， x ytan  ， y xcot  。 利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即 t2 k 与α 之间函数值关系（k∈Z）， 其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数 关系。 3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地 正 用 、 逆 用 、 变 用 。 如 倍 角 公 式 ： cos2 α =2cos2 α -1=1-2sin2 α ， 变 形 后 得 2 2cos1sin,2 2cos1cos 22  ，可以作为降幂公式使用。 三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。 4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性 的定义：设 T 为非零常数，若对 f(x)定义域中的每一个 x，均有 f(x+T)=f(x)，则称 T 为 f(x) 的周期。当 T 为 f(x)周期时，kT（k∈Z，k≠0）也为 f(x)周期。 三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作 图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。 5、本章思想方法 （1）等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题； （2）数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题； （3）分类讨论。 三、典型例题 例1、 已知函数 f(x)= )xcosx(sinlog 2 1  （1）求它的定义域和值域； （2）求它的单调区间； （3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性。 分析： （1）x 必须满足 sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及  4 5k2x4k2 ，k∈Z ∴ 函数定义域为 )4 5k2,4k2(  ，k∈Z ∵ )4xsin(2xcosxsin  ∴ 当 x∈ )4 5k2,4k2(  时， 1)4xsin(0  ∴ 2cosxsin0  ∴ 2 12logy 2 1  ∴ 函数值域为[  ,2 1 ） （3）∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 ∴ f(x)不具备奇偶性 （4）∵ f(x+2π )=f(x) ∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π 注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分 sinx-cosx 的符号； 以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分 sinx+cosx 的符号，如图。 例2、 化简 )cos1(2sin12  ，α ∈（π ，2π ） 分析： 凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式 ∵ 222 )2cos2(sin2cos2sin22cos2sinsin1  2cos4)12cos21(2)cos1(2 22  ∴ 原式= |2cos|2|2cos2sin|2  ∵ α ∈（π ，2π ） ∴ ),2(2  ∴ 02cos  当  2 3,4 9 22 时， 02cos2sin  ∴ 原式= 2sin2  当  22 3,24 3 时， 02cos2sin  ∴ 原式= )2arctan2sin(522cos42sin2  ∴ 原式=        22 3)2arctan2sin(52 2 3 2sin2 注： 1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化 1 为 2cos2sin 22  ，是欲擒故纵原则。一般地有 |cossin|2sin1  ， |cos|22cos1  ， |sin|22cos1  。 2 、三角函数式 asinx+bcosx 是 基 本 三 角 函 数 式 之 一 ， 引 进 辅 助 角 ， 将 它 化 为 )xsin(ba 22  （取 a barctan ）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的 sin±cosx，± sinx± 3 cosx，要熟练掌握变形结论。 例3、 求 00202 10sin2 1) 140cos 1 140sin 3(  。 分析： 原式= 00202 0202 10sin2 1 140cos140sin 140sin140cos3  16 160sin 200sin16 80cos80sin 200sin8 10sin2 1 80sin4 1 200sin80sin4 10sin2 1 )40cos40sin( )140sin140cos3)(140sin140cos3( 0 0 00 0 002 00 0200 0000      注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平 方差公式。 例 4、已知 00<α <β <900，且 sinα ，sinβ 是方程  0202 40cosx)40cos2(x 2 1 =0 的 两个实数根，求 sin(β -5α )的值。 分析： 由韦达定理得 sinα +sinβ = 2 cos400，sinα sinβ =cos2400- 2 1 ∴ sinβ -sinα = )40cos1(2sinsin4)sin(sin)sin(sin 0222  040sin2 又 sinα +sinβ = 2 cos400 ∴        000 000 5sin)40sin240cos2(2 1sin 85sin)40sin240cos2(2 1sin ∵ 00<α <β < 900 ∴      0 0 5 85 ∴ sin(β -5α )=sin600= 2 3 注：利用韦达定理变形寻找与 sinα ，sinβ 相关的方程组，在求出 sinα ，sinβ 后再利用 单调性求α ，β 的值。 例 5、（ 1）已知 cos(2α +β )+5cosβ =0，求 tan(α +β )·tanα 的值； （2）已知 5cos3sin cossin2   ，求  2sin42cos3 的值。 分析： （1）从变换角的差异着手。 ∵ 2α +β =(α +β )+α ，β =(α +β )-α ∴ 8cos[(α +β )+α ]+5cos[(α +β )-α ]=0 展开得： 13cos(α +β )cosα -3sin(α +β )sinα =0 同除以 cos(α +β )cosα 得：tan(α +β )tanα = 3 13 （2）以三角函数结构特点出发 ∵ 3tan 1tan2 cos3sin cossin2    ∴ 53tan 1tan2   ∴ tanθ =2 ∴ 5 7 tan1 tan8tan33 cossin cossin8)sin(cos32sin42cos3 2 2 22 22      注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。 例 6、已知函数 2 xsin 2 xsin 24 a)x(f   （a∈(0，1)），求 f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调 性。 分析： 对三角函数式降幂 8 1x2cos 2 x2cos1 4 1xsin4 1)xsin2 1( 2 xcos2 xsin)2 xsin1(2 xsin2 xsin2 xsin 22 222224   ∴ f(x)= 8 1x2cos a  令 8 1x2cos8 1u  则 y=au ∴ 00，φ >0），在一个周期内，当 x= 8  时，ymax=2；当 x= 8 5 时， ymin=-2，则此函数解析式为 A、 )42 xsin(2y  B、 )4x2sin(2y  C、 )4xsin(2y  D、 )8x2sin(2y  4、已知   tan1 1tan =1998，则  2tan2sec 的值为 A、1997 B、1998 C、1999 D、2000 5、已知 tanα ，tanβ 是方程 04x33x 2  两根，且α ，β )2,2(  ，则α +β 等于 A、  3 2 B、  3 2 或 3  C、 3  或 3 2 D、 3  6、若 3yx  ，则 sinx·siny 的最小值为 A、-1 B、- 2 1 C、 4 3 D、 4 1 7、函数 f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是 A、5.5 B、6.5 C、7 D、8 8、若θ ∈（0，2π ]，则使 sinθ β ，则 sinα >sinβ B、函数 y=sinx·cotx 的单调区间是 )2k2,2k2(  ，k∈Z C、函数 x2sin x2cos1y  的最小正周期是 2π D、函数 y=sinxcos2φ -cosxsin2x 的图象关于 y 轴对称，则 42 k  ，k∈Z 10、函数 )x2cosx2(sinlog)x(f 3 1  的单调减区间是 A、 )8k,4k(  B、 ]8k,8k(  B、 )8 3k,8k(  D、 )8 5k,8k(  k∈Z （二） 填空题 11、函数 f(x)=sin(x+θ )+ 3 cos(x-θ )的图象关于 y 轴对称，则θ =________。 12、已知α +β = 3  ，且 3 (tanα tanβ +c)+tanα =0（c 为常数），那么 tanβ =______。 13、函数 y=2sinxcosx- 3 (cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为________。 14、已知(x-1)2+(y-1)2=1，则 x+y 的最大值为________。 15、函数 f(x)=sin3x 图象的对称中心是________。 （三） 解答题 16、已知 tan(α -β )= 2 1 ，tanβ = 7 1 ，α ，β ∈（-π ，0），求 2α -β 的值。 17、是否存在实数 a，使得函数 y=sin2x+acosx+ 2 3a8 5  在闭区间[0， 2  ]上的最大值是 1？ 若存在，求出对应的 a 值。 18、已知 f(x)=5sinxcosx- 35 cos2x+ 32 5 （x∈R） （1）求 f(x)的最小正周期； （2）求 f(x)单调区间； （3）求 f(x)图象的对称轴，对称中心。 高三一轮复习讲座五 ----平面向量 一、复习要求 18、 向量的概念； 2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义， 运算律； 3、向量运算的运用 二、学习指导 1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向 量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时 甚至更简捷。 向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几 何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。 19、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的 结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、 坐标语言。 主要内容列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法  OA+  OB=  OC  OB- =  AB 记 =(x1,y1)，  OB=(x1,y2) 则 +  OB=(x1+x2,y1+y2)  OB- =（x2-x1,y2-y1） + = 实数与向量 的乘积 =λ  a λ ∈R 记 =(x,y) 则λ =(λ x,λ y) 两个向量 的数量积 ·  b =| ||  b | cos< ,  b > 记 =(x1,y1),  b =(x2,y2) 则 ·  b =x1x2+y1y2 20、 运算律 加法： +  b = + ，( + )+  c = +( +  c ) 实数与向量的乘积：λ ( + )=λ +λ ；(λ +μ ) =λ +μ ，λ (μ )=(λμ) 两 个 向 量 的 数 量 积 ： · = · ；(λ )· = ·(λ )=λ ( · )， ( + )· = · + ·  c 说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则， 正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如( ± )2= 22 bba2a   21、 重要定理、公式 （1）平面向量基本定理；如果 1  e + 2  e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内 任一向量 ，有且只有一对数数λ 1，λ 2，满足 =λ 1 1e  +λ 2 2e  ，称λ 1 λ +λ 2 为 ， 的线性组合。 根据平面向量基本定理，任一向量 与有序数对(λ 1,λ 2)一一对应，称(λ 1,λ 2)为 在基 底{ ， }下的坐标，当取{ ， }为单位正交基底{  i ，  j }时定义(λ 1，λ 2)为向量 的 平面直角坐标。 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A(x，y)， 则 =（x,y）；当向量起点不在原点时，向量  AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若 A（x1,y1）， B（x2,y2），则  AB=(x2-x1,y2-y1) （2）两个向量平行的充要条件 符号语言：若  a ∥  b ， ≠  0 ，则 =λ 坐标语言为：设 =（x1,y1）， =(x2,y2)，则 ∥  (x1,y1)=λ (x2,y2)，即      21 21 yy xx ， 或 x1y2-x2y1=0 在这里，实数λ 是唯一存在的，当 与 同向时，λ >0；当 与 异向时，λ <0。 |λ |= |b| |a|   ，λ 的大小由 及 的大小确定。因此，当 ， 确定时，λ 的符号与大小就确定了。 这就是实数乘向量中λ 的几何意义。 （3）两个向量垂直的充要条件 符号语言： ⊥ · =0 坐标语言：设 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 ⊥ x1x2+y1y2=0 （4）线段定比分点公式 如图，设   21 PPPP 则定比分点向量式：   21 11 1 OPOPOP    定比分点坐标式：设 P（x,y）， P1（x1,y1）， P2（x2,y2） 则           1 yyy 1 xxx 21 21 特例：当λ =1 时，就得到中点公式： )OPOP(2 1OP 21   ，         2 yyy 2 xxx 21 1 21 1 实际上，对于起点相同，终点共线三个向量  OP ， 1OP  ， 2OP  （O 与 P1P2 不共线），总有 =u +v ，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为 1。 （5）平移公式： ①点平移公式，如果点 P（x，y）按 =（h，k）平移至 P’（x’，y’），则      ky'y hx'x 分别称（x，y），（x’，y’）为旧、新坐标， 为平移法则 在点 P 新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标 ②图形平移：设曲线C：y=f(x)按 =（h，k）平移，则平移后曲线C’对应的解析式为y-k=f(x-h) 当 h，k 中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移 利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质 （6）正弦定理，余弦定理 正弦定理： R2Csin c Bsin b Asin a  余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosc 定理变形：cosA= bc2 acb 222  ，cosB= ac2 bac 222  ，cosC= ab2 cba 222  正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本，理解用向量法 推导正、余弦定理的重要思想方法。 5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平 行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。 三、典型例题 例 1、如图，  OA，  OB为单位向量， 与 夹角为 1200，  OC 与 的夹角为 450， |  OC |=5，用 ， 表示  OC 。 分析： 以 ， 为邻边，  OC 为对角线构造平行四边形 把向量  OC在 ， 方向上进行分解，如图，设  OE =λ ，  OD=μ ，λ >0，μ >0 则  OC=λ +μ ∵ |  OA|=|  OB|=1 ∴ λ =|  OE |，μ =|  OD| △OEC 中，∠E=600，∠OCE=750，由 000 45sin |CE| 60sin |OC| 75sin |OE|   得： 6 )623(5 60sin 75sin|OC||OE| 0 0    3 65 60sin 45sin|OC||CE| 0 0    ∴ 3 65,6 )623(5  ∴   OB3 65OA6 )623(5OC 说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通 过构造平行四边形来处理 例 2、已知△ABC 中，A（2，-1）， B（3，2）， C（-3，-1）， BC 边上的高为 AD，求点 D 和向 量  AD坐标。 分析： 用解方程组思想 设 D（x，y），则  AD=（x-2，y+1） ∵  BC =（-6，-3），  AD·  BC =0 ∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即 2x+y-3=0 ① ∵  BD =(x-3，y-2)， ∥  BD ∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即 x-2y+1=0 ② 由①②得：      1y 1x ∴ D（1，1），  AD=（-1，2） 例 3、求与向量  a = 3( ，-1）和  b =（1， 3 ）夹角相等，且模为 2 的向量  c 的坐标。 分析： 用解方程组思想 法一：设 =（x，y），则 · = 3 x-y， · =x+ 3 y ∵ < ， >=< ， > ∴ |c||b| cb |c||a| ca      ∴ y3xyx3  即 y)32(x  ① 又| |= 2 ∴ x2+y2=2 ② 由①②得         2 13y 2 13x 或         2 13y 2 13x （舍） ∴ = )2 13,2 13(  法二：从分析形的特征着手 ∵ | |=| |=2 · =0 ∴ △AOB 为等腰直角三角形，如图 ∵ |  OC |= 2 ，∠AOC=∠BOC ∴ C 为 AB 中点 ∴ C（ 2 13,2 13  ） 说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。 例 4、在△OAB 的边 OA、OB 上分别取点 M、N，使 |  OM|∶|  OA|=1∶3，|  ON|∶|  OB|=1∶ 4，设线段 AN 与 BM 交于点 P，记  OA= ，  OB= ，用 ， 表示向量  OP 。 分析： ∵ B、P、M 共线 ∴ 记  BP =s  PM ∴   a)s1(3 sbs1 1OA)s1(3 sOBs1 1OMs1 sOBs1 1OP ① 同理，记   PNtAP ∴  OP =   b)t1(4 tat1 1 ② ∵  a ,  b 不共线 ∴ 由①②得         )t1(4 t s1 1 )s1(3 s t1 1 解之得：         3 8t 2 9s ∴   b11 2a11 8OP 说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如 s，t）是常用技巧之一。平面向量基 本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于 s，t 的方程。 例 5、已知长方形 ABCD，AB=3，BC=2，E 为 BC 中点，P 为 AB 上一点 （1）利用向量知识判定点 P 在什么位置时，∠PED=450； （2）若∠PED=450，求证：P、D、C、E 四点共圆。 分析： 利用坐标系可以确定点 P 位置 如图，建立平面直角坐标系 则 C（2，0）， D（2，3）， E（1，0） 设 P（0，y） ∴  ED=（1，3），  EP =（-1，y） ∴ 1y|EP|,10|ED| 2    ED·  EP =3y-1 代入 cos450= |EP||ED| EPED    解之得 2 1y  （舍），或 y=2 ∴ 点 P 为靠近点 A 的 AB 三等分处 （3）当∠PED=450 时，由（1）知 P（0，2） ∴  PD=（2，1），  EP =（-1，2） ∴  EP ·  PD=0 ∴ ∠DPE=900 又∠DCE=900 ∴ D、P、E、C 四点共圆 说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求 出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。 四、同步练习 （一） 选择题 1、平面内三点 A（0，-3）， B（3，3）， C（x，-1），若  AB∥  BC ，则 x 的值为： A、 -5 B、-1 C、1 D、5 2、平面上 A（-2，1）， B（1，4）， D（4，-3）， C 点满足 2 1AC    CB ，连 DC 并延长至 E， 使|  CE |= 4 1 |  ED|，则点 E 坐标为： A、（-8， 3 5 ） B、（ 3 11,3 8 ） C、（ 0，1） D、（ 0，1）或（2， 3 11） 2、点（2，-1）沿向量 平移到（-2，1），则点（-2，1）沿 平移到： 3、A、（ 2，-1） B、（ -2，1） C、（ 6，-3） D、（ -6，3） 4、△ABC 中，2cosB·sinC=sinA，则此三角形是： A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、以上均有可能 5、设 ， ，  c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则： ①(  a ·  b )  c -( · )  b =0 ②| |-|  b |<| -  b | ③( ·  c ) -(  c ·  a )  b 不与  c 垂直 ④(3 +2  b )·(3 -2  b )=9| |2-4  b |2 中， 真命题是： A、①② B、②③ C、③④ D、②④ 6、△ABC 中，若 a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，则∠C 度数是： A、600 B、450 或 1350 C、1200 D、300 7、△OAB 中，  OA=  a ，  OB= ，  OP =  p ，若 = ) |b| b |a| a(t      ，t∈R，则点 P 在 A、∠AOB 平分线所在直线上 B、线段 AB 中垂线上 C、AB 边所在直线上 D、AB 边的中线上 8、正方形 PQRS 对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，且 =（0，3），  OS =（4， 0），则  RM = A、（ 2 1,2 7  ） B、（ 2 1,2 7 ） C、（ 7，4） D、（ 2 7,2 7 ） （二） 填空题 9、已知{ 1e  ， 2e  |是平面上一个基底，若 = +λ ，  b =-2λ - ，若  a ，  b 共线， 则λ =__________。 10、已知| |= 36 ，| |=1， · =-9，则 与 的夹角是________。 11、设 ， 是两个单位向量，它们夹角为 600， 则(2 - )·(-3 +2 )=____________。 12、把函数 y=cosx 图象沿 )Zk()1,2k2(b   平移，得到函数___________的图象。 （三） 解答题 13、设 =（3，1），  OB=（-1，2），  OC⊥ ，  BC ∥  OA，试求满足  OD+ =  OC 的 的坐标，其中 O 为坐标原点。 14、若 + =（2，-8）， - =（-8，16），求 、 及 与 夹角θ 的余弦值。 15、已知| |= 2 ，| |=3， 和 夹角为 450，求当向量 +λ 与λ + 夹角为锐角 时，λ 的取值范围。 高三一轮复习讲座六 ----不等式 一、复习要求 22、 不等式的概念及性质； 2、不等式的证明； 3、不等式的解法； 4、不等式的应用。 二、学习指导 1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有： （1）对称性或反身性：a>b  bb，b>c，则 a>c； （3）可加性：a>b a+c>b+c，此法则又称为移项法则； （4）可乘性：a>b，当 c>0 时，ac>bc；当 c<0 时，acb，c>d，则 a+c>b+d； （2）正数同向相乘：若 a>b>0，c>d>0，则 ac>bd。 特例：（3）乘方法则：若 a>b>0，n∈N+，则 nn ba  ； （4）开方法则：若 a>b>0，n∈N+，则 n 1 n 1 ba  ； （5）倒数法则：若 ab>0，a>b，则 b 1 a 1  。 掌握不等式的性质，应注意： （1）条件与结论间的对应关系，如是“ ”符号还是“  ”符号； （2）不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。 2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得 a2+b2≥2ab（a，b∈R），该不等式可推广为 a2+b2≥2|ab|；或变形为|ab|≤ 2 ba 22  ； 当 a，b≥0 时，a+b≥ ab2 或 ab≤ 2 2 ba       . 在具体条件下选择适当的形式。 3、不等式的证明： （1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； （2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； （3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。 4、 不等式的解法： 解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要 恒等。 一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。利用 序轴标根法可以解分式及高次不等式。 含参数的不等式应适当分类讨论。 5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过 程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。 用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。 研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。 三、典型例题 例1、 已知 f(x)=ax2-c，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求 f(3)的取值范围。 分析： 从条件和结论相互化归的角度看，用 f(1)，f(2)的线性组合来表示 f(3)，再利用不等式的 性质求解。 设 f(3)=mf(1)+nf(2) ∴ 9a-c=m(a-c)+n(4a-c) ∴ 9a-c=(m+4n)a-(m+n)c ∴      1nm 9n4m ∴         3 8n 3 5m ∴ f(3)= )2(f3 8)1(f3 5  ∵ -4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5 ∴ 3 5 ≤ )1(f3 5 ≤ 3 20, 3 8 ≤ )2(f3 8 ≤ 3 40 ∴ -1≤f(3)≤20 说明： 1、本题也可以先用 f(1)，f(2)表示 a，c，即 a= 3 1 [f(2)-f(1)]，c= 3 1 [f(2)-4f(1)]，然后 代入 f(3)，达到用 f(1)，f(2)表示 f(3)的目的。 2、本题典型错误是从-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5 中解出 a，c 的范围，然后再用不等式的 运算性质求 f(3)=9a-c 的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现 了不等价变形。 23、 本题还可用线性规划知识求解。 例2、 设 a>0，b>0，求证： a b b a  ≥ ba  。 分析： 法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性 证明的步骤。 左-右= ab ba)ba() a 1 b 1)(ba( a ab b baba a b b a  ab ba)ba( 2  ≥0 ∴ 左≥右 法二：基本不等式 根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。 ∵ b b a  ≥ a2 a a b  ≥ b2 ∴ 两式相加得： a b b a  ≥ ba  例3、 设实数 x，y 满足 y+x2=0，00，y>0，a>0 ∴ 由 by ay  >0 得 y-b>0 ∴ x+y≥ baab2  当且仅当         1y b x a byby ab ，即      abax abby 时，等号成立 途径二：令  2cosx a ，  2siny b ，  ∈（0， 2  ） ∴    2 2 seca cos ax ，  2cscby ∴ x+y=  2222 cotbtanaba)cot1(b)tan1(a ≥ ab2ba  当且仅当      1y b x a cotbtana 时，等号成立 说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。 例 5、已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b （1）解关于 a 的不等式 f(1)>0； （2）当不等式 f(x)>0 的解集为（-1，3）时，求实数 a，b 的值。 分析： （1）f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3 ∵ f(1)>0 ∴ a2-6a+3-b<0 △=24+4b 当 b≤-6 时，△≤0 ∴ f(1)>0 的解集为φ ； 当 b>-6 时， 6b3a6b3  ∴ f(1)>0 的解集为 6b3a6b3|x  （2）∵ 不等式-3x2+a(6-a)x+b>0 的解集为（-1，3） ∴ f(x)>0 与不等式(x+1)(x-3)<0 同解 ∵ 3x2-a(6-a)x-b<0 解集为（-1，3） ∴         3 b3 3 )a6(a2 解之得      9b 33a 例 6、设 a，b∈R，关于 x 方程 x2+ax+b=0 的实根为α ，β ，若|a|+|b|<1，求证： |α |<1，|β |<1。 解题思路分析： 在不等式、方程、函数的综合题中，通常以函数为中心。 法一：令 f(x)=x2+ax+b 则 f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0 f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>0 又∵ 0<|a|≤|a|+|b|<1 ∴ -10 ∴ |α |<1 同理：|β |<1 说明：对绝对值不等式的处理技巧是适度放缩，如|a|-|b|≤|a+b|及|b|-|a|≤|a±b|的选 择等。 例 7、某人乘坐出租车从 A 地到乙地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为 10 元，每 km 价 1.2 元的出租车；第二种方案，乘起步价为 8 元，每 km 价 1.4 元的出租车，按出租车管理条 例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从 A 地到 B 地选择哪一种方 案比较适合？ 分析： 设 A 地到 B 地距离为 mkm，起步价内行驶的路为 akm 显然，当 m≤a 时，选起步价为 8 元的出租车比较合适 当 m>a 时，设 m=a+x（x>0），乘坐起步价为 10 元的出租车费用为 P(x)元，乘坐起步价为 8 元的出租车费用为 Q(x)元，则 P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x ∵ P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x) ∴ 当 x>0 时，P(x)Q(x)，此时选起步价为 8 元的出租车比较合适 当 x=10 时，此时两种出租车任选 四、同步练习 （一）选择题 1、“ a>0 且 b>0”是“ 2 ba  ≥ ab ”的 A、充分而非必要条件 B、必要而非充要条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件 2、设 a<0，则关于 x 的不等式 42x2+ax-a2<0 的解集为 A、（ 6 a,7 a  ） B、（ 7 a,6 a ） C、（ a7 2,7 a  ） D、φ 24、 若 00，f(x)= ) x 1x()x 1x( 2) x 1x()x 1x( 3 33 6 66   ，则 A、f(x)≤2 B、f(x)≥10 C、f(x)≥6 D、f(x)≤3 26、 已知 )2a(2a 1ap  ， 2a4a2 2q  （a>2），则 A、 p>q B、p2h C、|a-b|h 28、 关于 x 的方程 9x+(a+4)·3x+4=0 有解，则实数 a 的取值范围是 A、 （-∞，-8]∪[0，+∞） B、（ -∞，-4） B、 [-8，4） D、（ -∞，-8] 29、 若 a>0，b>0，且 2a+b=1，则 S=2 ab -4a2-b2 的最大值是 A、 2 12  B、 12  C、 2 12  D、 12  （二）填空题 30、 设 a>0，b>0，a，b 是常数，则当 x>0 时，函数 f(x)= x )bx)(ax(  的最小值是______。 10、周长为 12  的直角三角形面积的最大值为__________。 11、记 S= 12 1 22 1 12 1 2 1 11101010        ，则 S 与 1 的大小关系是__________。 12、不等式|x2-2x+3|<|3x-1|的解集为__________。 （三）解答题 13、要使不等式 yx  ≤ yxk  对所有正数 x，y 都成立，试问 k 的最小值是多少？ 14、解关于 x 的不等式 0 2xx xa 2    15、已知 a≠0，求证： |a|2 |ba| 22  ≥ 2 |b| 2 |a|  16、已知不等式 )1a(log3 11alog6 11 1n2 1 2n 1 1n 1 n 1 a1a   对 n∈N+都成立， 试求实数 a 的取值范围。 17、若 a 是正实数，2a2+3b2=10，求 2b2a  的最值。 18、商店经销某商品，年销售量为 D 件，每件商品库存费用为 I 元，每批进货量为 Q 件， 每次进货所需费用为 S 元，现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量平均为 2 Q 件，问每 批进货量 Q 为多大时，整个费用最省？ 高三一轮复习讲座七 ----直线和圆的方程 一、复习要求 31、 直线方程的五种表现形式，如何求直线方程；二元一次不等式的几何意义及运用。 2、圆的方程三种形式，如何求圆的方程。 3、直线和圆位置关系的研究。 二、学习指导 2、曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。借助于平面直角坐标系，形和数可以得到 高度的统一，它们最基本的对应关系是点和有序数对的一一对应。当点运动形成轨迹时， 对应坐标便会满足一个方程。当曲线 C 和方程 F(x，y)=0 满足如下关系时：①曲线 C 上 点的坐标都是方程 F(x，y)=0 的解；②以方程 F(x，y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上， 则称曲线 C 为方程 F(x，y)=0 表示的曲线；方程 F(x，y)=0 是曲线 C 表示的方程。从集 合角度看，点集（曲线）与方程解集相等。解析几何研究的内容就是给定曲线 C，如何 求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形。坐 标法是几何问题代数化的重要方法。 2、直线的倾斜角α 和斜率 k 是描述直线位置的重要参数，它们之间关系是正切函数关系：k=tan α ，α ∈[0， ),2()2   ，当α = 2  时，直线斜率不存在，否则由α 求出唯一的 k 与之对应。 当已知 k，求倾斜角α 时：k≥0 时，α =arctank；k<0 时，α =π +arctank。或：k=0 时， α =0；k≠0 时，cotα = k 1 ,α =arccot k 1 。 由正切函数可知，当α ∈（0， 2  ）， α 递增时，斜率 k→+∞。当α ∈（ 2  ，π ）， α 递减 时，斜率 k→-∞。 当涉及到斜率参数时，通常对 k 是否存在分类讨论。 3、直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程 Ax+By+C=0（A2+B2≠0）一一对应。 从几何条件看，已知直线上一点及直线方向与已知直线上两点均可确定直线；从对应方程 看，直线方程两种典型形式：点斜式（斜截式），两点式（截距式），因此求直线方程，常用待 定系数法。即根据题意，选择方程的适当形式；由已知条件，列关于参数的方程（组）。 当点 P(x0，y0)在直线 Ax+By+C=0 上时，其坐标满足方程 Ax0+By0+C=0；当 P 不在直线 Ax+By+C=0 上时，Ax0+By0+C≠0，即 Ax0+By0+C>0 或 Ax0+By0+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义：二元 一次不等式 Ax+By+C>0（或<0）表示直线 Ax+By+C=0 上方或下方区域，其具体位置的确定常用原 点（0，0）代入检验。利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划 的内容。 因直线与二元一次方程 Ax+By+C=0（A2+B2≠0）一一对应，即由有序数组（A，B，C）确定， 因此研究直线与直线之间的位置关系就是考察直线对应的数组间关系。 设直线1：A1x+B1y+C1=0（A1 2+B1 2≠0），直线2：A2x+B2y+C2=0（A2 2+B2 2≠0） 则：1∥2      1221 1221 CACA BABA 1 与2 相交  A1B2≠A2B1 其夹角公式为 21 21 kk1 kktan   ，其中 k1，k2 分别表示1 及2 斜率，当1 或2 斜率不存在时， 画图通过三角形求解，1 与2 夹角为θ ∈（0， 2  ] 特例：1⊥2 A1A2+B1B2=0（此时不能用夹角公式求解） 利用点 P(x0，y0)到直线：Ax+By+C=0 的距离公式 d= 22 00 Ba CByAx   可以求出两平行直线： Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0（C1≠C2）间的距离 d= 22 21 BA |CC|   。 4、当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数。含参数方程中有两种特殊情形，它 们的对应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线系。 在点斜式方程 y-y0=k(x-x0)中，当（x0，y0）确定，k 变化时，该方程表示过定点（x0，y0） 的旋转直线系，当 k 确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系。 这些直线系还有其它表示形式： （1）已知直线：Ax+By+C=0，则 方程 Ax+By+m=0（m 为参数）表示与平行的直线系；方程-Bx+Ay+n=0（n 为参数）表示与 垂直的直线系。 （2）已知直线1：A1x+B1y+C=1=0，直线2：A2x+B2y+C2=0，则方程 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0 表示过1 与2 交点的直线系（不含2） 掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，不仅可以加深数形结合的思想，还可以优化解 题思想。 5、圆与二元二次方程一一对应，这些二元二次方程方程特征为：（1）二次项中无 xy 交叉 项；（2）x2，y2 项前面系数相等；（3）x，y 的一次项系数 D，E 及常数项 F 满足 D2+E2-4F>0。 圆方程常见形式：（1）标准式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R>0），其中（a，b）为圆心，R 为半径； （2）一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0；（ 3）参数式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R>0）的参数式为：x=a+Rcos θ ，y=b+Rsinθ ，其中θ 为参数，表示旋转角，参数式常用来表示圆周上的点。 求圆方程的原理与求直线方程完全类似。 直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而不采用方程组理论（△法）。 6、对称是平面几何的基本变换。在掌握点关于点及直线对称的基础上，理解曲线与曲线之 间的中心对称及轴对称。善于利用对称的知识解题。 7、本章主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数与方程，等价变换等。 三、典型例题 例 1、已知定点 P（6，4）与定直线1：y=4x，过 P 点的直线与1 交于第一象限 Q 点，与 x 轴正半轴交于点 M，求使△OQM 面积最小的直线方程。 分析：直线是过点 P 的旋转直线，因此是选其斜率 k 作为参数，还是选择点 Q（还是 M） 作为参数是本题关键。 通过比较可以发现，选 k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参 数。 设 Q（x0，4x0）， M（m，0） ∵ Q，P，M 共线 ∴ kPQ=kPM ∴ m6 4 x6 x44 0 0   解之得： 1x x5m 0 0  ∵ x0>0，m>0 ∴ x0-1>0 ∴ 1x x10mx2x4|OM|2 1S 0 2 0 00OMQ  令 x0-1=t，则 t>0 )2t 1t(10t )1t(10S 2  ≥40 当且仅当 t=1，x0=11 时，等号成立 此时 Q（11，44），直线：x+y-10=0 评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数 S△OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此 目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率 k，截距 b，角度θ ，点的坐标都 是常用参数，特别是点参数。 例 2、已知△ABC 中，A（2，-1）， B（4，3）， C（3，-2），求： （1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。 分析： （1）∵ kBC=5 ∴ BC 边上的高 AD 所在直线斜率 k= 5 1 ∴ AD 所在直线方程 y+1= 5 1 (x-2) 即 x+5y+3=0 （2）∵ AB 中点为（3，1）， kAB=2 ∴ AB 中垂线方程为 x+2y-5=0 （3）设∠A 平分线为 AE，斜率为 k，则直线 AC 到 AE 的角等于 AE 到 AB 的角。 ∵ kAC=-1，kAB=2 ∴ k21 k2 k1 1k    ∴ k2+6k-1=0 ∴ k=-3- 10（舍），k=-3+ 10 ∴ AE 所在直线方程为( 10-3)x-y-2 10+5=0 评注：在求角 A 平分线时，必须结合图形对斜率 k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这类 问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求 AE 所在直线方程，设 P(x，y)为直线 AE 上任 一点，则 P 到 AB、AC 距离相等，得 2 |1yx| 5 |5yx2|  ，化简即可。还可注意到，AB 与 AC 关于 AE 对称。 例 3、（1）求经过点 A（5，2）， B（3，2），圆心在直线 2x-y-3=0 上圆方程； （2）设圆上的点 A（2，3）关于直线 x+2y=0 的对称点仍在这个圆上，且与直线 x-y+1=0 相 交的弦长为 22 ，求圆方程。 分析：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定 义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。 （1）法一：从数的角度 若选用标准式：设圆心 P（x，y），则由|PA|=|PB|得：(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2 又 2x0-y0-3=0 两方程联立得：      5y 4x 0 0 ，|PA|= ∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10 若选用一般式：设圆方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心（ 2 E,2 D  ） ∴           03)2 E()2 D(2 0FE2D323 0FE2D525 22 22 解之得：       31F 10E 8D 法二：从形的角度 AB 为圆的弦，由平几知识知，圆心 P 应在 AB 中垂线 x=4 上，则由      4x 03yx2 得圆心 P （4，5） ∴ 半径 r=|PA|= 10 显然，充分利用平几知识明显降低了计算量 （2）设 A 关于直线 x+2y=0 的对称点为 A’ 由已知 AA’为圆的弦 ∴ AA’对称轴 x+2y=0 过圆心 设圆心 P（-2a，a），半径为 R 则 R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2 又弦长 22 dR222  ， 2 |1aa2|d  ∴ 2 )1a3(2R 2 2  ∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+ 2 )1a3( 2 ∴ a=-7 或 a=-3 当 a=-7 时，R= 52；当 a=-3 时，R= 244 ∴ 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244 例 4、已知方程 x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0 表示一个圆，（1）求实数 m 取值范围； （2）求圆半径 r 取值范围；（3）求圆心轨迹方程。 分析：（1）m 满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0，即 7m2-6m-1<0 ∴ 1m7 1  （3）半径 r= 7 16)7 3m(71m6m7 22  ∵ ∴ 7 3m  时， 7 74rmax  ∴ 02，b>2，（ 1）求证：(a-2)(b-2)=2；（ 2）求线段 AB 中点的轨迹方程；（3） 求△AOB 面积的最小值。 17、已知两圆 x2+y2=4 和 x2+(y-8)2=4，（ 1）若两圆分别在直线 y= 2 5 x+b 两侧，求 b 取值范 围；（2）求过点 A（0，5）且和两圆都没有公共点的直线的斜率 k 的范围。 18、当 01 时，点 P 轨迹是双曲线；当 e=1 时，点 P 轨迹是抛 物线。 （2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF1|+|PF2|=2a，2a>|F1F2|>0，F1、F2 为定点}，双 曲线{P|||PF1|-|PF2||=2a，|F1F2|>2a>0，F1，F2 为定点}。 （3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变 而改变。 ①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短 轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。 ②定量： 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 焦 距 2c 长轴长 2a —— 实轴长 —— 2a 短轴长 2b 焦点到对应 准线距离 P=2 c b 2 p 通径长 2· a b 2 2p 离心率 a ce  1 基本量关系 a2=b2+c2 C2=a2+b2 （4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在 x 轴上的方程如下： 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 标准方程 1 b y a x 2 2 2 2  1 b y a x 2 2 2 2  y2=2px（p>0） （a>b>0） （a>0，b>0） 顶 点 （±a，0） （0，±b） （±a，0） （0，0） 焦 点 （±c，0） （ 2 p ，0） 准 线 X=± c a 2 x= 2 p 中 心 （0，0） 有界性 |x|≤a |y|≤b |x|≥a x≥0 焦半径 P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2 分别为左、右焦点 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 P 在右支时： |PF1|=a+ex0 |PF2|=-a+ex0 P 在左支时： |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0 |PF|=x0+ 总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合， 既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。 34、 直线和圆锥曲线位置关系 （1）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为 0）。 其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种 情形；后一种情形下，消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。 直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情 况；后一种情形下，消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。 （2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。 4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求 范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。 三、典型例题 例1、 根据下列条件，求双曲线方程。 （1）与双曲线 116 y 9 x 22  有共同渐近线，且过点（-3， 32 ）； （2）与双曲线 14 y 16 x 22  有公共焦点，且过点（ 23 ，2）。 分析：法一：（1）双曲线 的渐近线为 x3 4y  令 x=-3，y=±4，因 432  ，故点（-3， 32 ）在射线 x3 4y  （x≤0）及 x 轴负半轴之 间， ∴ 双曲线焦点在 x 轴上 设双曲线方程为 1 b y a x 2 2 2 2  ，（ a>0，b>0）         1 b )32( a )3( 3 4 a b 2 2 2 2 解之得：      4b 4 9a 2 2 ∴ 双曲线方程为 14 y 4 9 x 22  （2）设双曲线方程为 1 b y a x 2 2 2 2  （a>0，b>0） 则      1 b 2 a )23( 20ba 2 2 2 2 22 解之得：      8b 12a 2 2 ∴ 双曲线方程为 18 y 12 x 22  法二：（1）设双曲线方程为  16 y 9 x 22 （λ ≠0） ∴  16 )32( 9 )3( 22 ∴ 4 1 ∴ 双曲线方程为 14 y 4 9 x 22  （3）设双曲线方程为 1k4 y k16 x 22          0k4 0k16 ∴ 1k4 2 k16 )23( 22  解之得：k=4 ∴ 双曲线方程为 18 y 12 x 22  评注：与双曲线 共渐近线的双曲线方程为  2 2 2 2 b y a x （λ ≠0），当λ >0 时， 焦点在 x 轴上；当λ <0 时，焦点在 y 轴上。与双曲线 共焦点的双曲线为 1 kb y ka x 2 2 2 2     （a2+k>0，b2-k>0）。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题 质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。 例 2、设 F1、F2 为椭圆 14 y 9 x 22  的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知 P、F1、F2 是一个直 角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求 |PF| |PF| 2 1 的值。 解题思路分析： 当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。 法一：当∠PF2F1=900 时，由         5c )c2(|PF||PF| 6|PF||PF| 2 22 2 2 1 21 得： 3 14|PF| 1  ， 3 4|PF| 2  ∴ 2 7 |PF| |PF| 2 1  当∠F1PF2=900 时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2 ∴ 2|PF| |PF| 2 1  法二：当∠PF2F1=900， 5x P  ∴ 3 4yP  ∴ P（ 3 4,5  ） 又 F2（ 5 ，0） ∴ |PF2|= 3 4 ∴ |PF1|=2a-|PF2|= 3 14 当∠F1PF2=900，由      14 y 9 x )5(yx 22 222 得： P（ 55 4,55 3  ）。下略。 评注：由|PF1|>|PF2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。 例 3、设点 P 到 M（-1，0）， N（1，0）的距离之差为 2m，到 x 轴、y 轴的距离之比为 2，求 m 取值范围。 分析：根据题意，从点 P 的轨迹着手 ∵ ||PM|-|PN||=2m ∴ 点 P 轨迹为双曲线，方程为 1 m1 y m x 2 2 2 2    （|m|<1） ① 又 y=±2x（x≠0） ② ①②联立得： 2 22 2 m51 )m1(mx   将此式看成是 2 22 m51 )m1(m   关于 x 的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到 m 的取值 范围。 根据双曲线有界性：|x|>m，x2>m2 ∴ 2 2 22 m m51 )m1(m    又 00 ∴ 5 5|m|  且 m≠0 ∴ )5 5,0()0,5 5(m  评注：利用双曲线的定义找到点 P 轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑 利用函数思想，建立函数关系式。 例 4、已知 x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不 同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线方程。 分析：选择适当的直线方程形式，把条件“是圆的切线”“切点 M 是弦 AB 中点”翻译为关 于参数的方程组。 法一：当斜率不存在时，x=-1 满足； 当斜率存在时，设：y=kx+b 与⊙O 相切，设切点为 M，则|OM|=1 ∴ 1 1k |b| 2   ∴ b2=k2+1 ① 由      1y)1x( bkxy 22 得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0 当 k≠±1 且△>0 时，设 A（x1，y1）， B（x2，y2），则中点 M（x0，y0）， 20221 k1 kb1x, k1 )kb1(2xx     ∴ y0=kx0+b= 2k1 bk   ∵ M 在⊙O 上 ∴ x0 2+y0 2=1 ∴ (1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2 ② 由①②得：         33 2b 3 3k 或         33 2b 3 3k ∴ ： 33 2x3 3y  或 33 2 3 3y  法二：设 M（x0，y0），则切线 AB 方程 x0x+y0y=1 当 y0=0 时，x0=±1，显然只有 x=-1 满足； 当 y0≠0 时， 00 0 y 1xy xy  代入(x-1)2-y2=1 得：(y0 2-x0 2)x2+2(x0-y0)2x-1=0 ∵ y0 2+x0 2=1 ∴ 可进一步化简方程为：(1-2x0 2)x2+2(x0 2+x0-1)x-1=0 由中点坐标公式及韦达定理得： 2 0 0 2 0 0 x21 1xxx   ∴ 即 2x0 3-x0 2-2x0+1=0 解之得：x0=±1(舍)，x0= 2 1 ∴ y0= 2 3 。下略 评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参 数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。 例 5、A、B 是抛物线 y2=2px（p>0）上的两点，且 OA⊥OB， （1）求 A、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积； （2）求证：直线 AB 过定点； （3）求弦 AB 中点 P 的轨迹方程； （4）求△AOB 面积的最小值； （5）O 在 AB 上的射影 M 轨迹方程。 分析： 设 A（x1,y1）， B（x2,y2），中点 P（x0,y0） （1） 2 2 OB 1 1 OA x yk,x yk  ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1 ∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y1 2=2px1，y2 2=2px2 ∴ 0yyp2 y p2 y 21 2 2 2 1  ∵ y1≠0，y2≠0 ∴ y1y2=-4p2 ∴ x1x2=4p2 （2）∵ y1 2=2px1，y2 2=2px2 ∴ （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) ∴ 2121 21 yy p2 xx yy   ∴ 21 AB yy p2k  ∴ 直线 AB： )xx(yy p2yy 1 21 1  ∴ 21 1 1 21 yy px2yyy px2y  ∴ 21 211 2 1 21 yy yypx2y yy px2y   ∵ 2 211 2 1 p4yy,px2y  ∴ 21 2 21 yy p4 yy px2y   ∴ )p2x(yy p2y 21  ∴ AB 过定点（2p，0），设 M（2p，0） （3）设 OA∶y=kx，代入 y2=2px 得：x=0，x= 2k p2 ∴ A（ k p2, k p2 2 ） 同理，以 k 1 代 k 得 B（2pk2，-2pk） ∴         )kk 1(Py ) k 1k(px 0 2 2 0 ∵ 2)k k k 1( k 1k 2 2 2  ∴ 2)p y(p x 200  即 y0 2=px0-2p2 ∴ 中点 M 轨迹方程 y2=px-2p2 （4） |)y||y(|p|)y||y(||OM|2 1SSS 2121BOMAOMAOB   ≥ 2 21 p4|yy|p2  当且仅当|y1|=|y2|=2p 时，等号成立 评注：充分利用（1）的结论。 （5）法一：设 H（x3,y3），则 3 3 OH x yk  ∴ 3 3 AB y xk  ∴ AB： )xx(y xyy 3 3 3 3  即 33 3 3 x)yy(x yx  代入 y2=2p 得 0px2x p2yx py2y 3 3 2 3 3 32  由（1）知，y1y2=-4p2 ∴ 2 3 3 2 3 p4px2x py2  整理得：x3 2+y3 2-2px3=0 ∴ 点 H 轨迹方程为 x2+y2-4x=0（去掉（0，0）） 法二：∵ ∠OHM=900，又由（2）知 OM 为定线段 ∴ H 在以 OM 为直径的圆上 ∴ 点 H 轨迹方程为(x-p)2+y2=p2，去掉（0，0） 例 6、设双曲线 12 yx 2 2  上两点 A、B，AB 中点 M（1，2） （1）求直线 AB 方程； （2）如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点，那么 A、B、C、D 是否共圆，为什 么？ 分析：法一：显然 AB 斜率存在 设 AB：y-2=k(x-1) 由      12 yx k2kxy 2 2 得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 当△>0 时，设 A（x1,y1）， B（x2,y2） 则 2 21 k2 )k2(k 2 xx   ∴ k=1，满足△>0 ∴ 直线 AB：y=x+1 法二：设 A（x1,y1）， B（x2,y2） 则         12 yx 12 yx 2 22 2 2 12 1 两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)= 2 1 (y1-y2)(y1+y2) ∵ x1≠x2 ∴ 21 21 21 21 yy )xx(2 xx yy    ∴ 12 12k AB  ∴ AB：y=x+1 代入 12 yx 2 2  得：△>0 评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。 在利用点差法时，必须检验条件△>0 是否成立。 （2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所 有条件。 本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心 设 A、B、C、D 共圆于⊙OM，因 AB 为弦，故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上；又 CD 为弦，故圆 心 M 为 CD 中点。因此只需证 CD 中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD| 由      12 yx 1xy 2 2 得：A（-1，0）， B（3，4） 又 CD 方程：y=-x+3 由      12 yx 3xy 2 2 得：x2+6x-11=0 设 C（x3,y3）， D（x4,y4）， CD 中点 M（x0,y0） 则 63xy,32 xxx 00 43 0  ∴ M（-3，6） ∴ |MC|=|MD|= 2 1 |CD|= 102 又|MA|=|MB|= 102 ∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| ∴ A、B、C、D 在以 CD 中点，M（-3，6）为圆心， 102 为半径的圆上 评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。 四、同步练习 （一）选择题 1、方程 |2yx|)1y(3)1x(3 22  表示的曲线是 A、 椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、不能确定 2、把椭圆 19 y 25 x 22  绕它的左焦点顺时针方向旋转 2  ，则所得新椭圆的准线方程是 A、 4 41y,4 9y  B、 4 41x,4 9x  C、 4 9y,4 41y  D、 4 9x,4 41x  3、方程 04yx)1yx( 22  的曲线形状是 A、圆 B、直线 C、圆或直线 D、圆或两射线 4、F1、F2 是椭圆 1 b y a x 2 2 2 2  （a>b>0）的两焦点，过 F1 的弦 AB 与 F2 组成等腰直角三角形 ABF2，其中∠BAF2=900，则椭圆的离心率是 A、 2 B、 36  C、 3 D、 6 5、若方程 11m y 2|m| x 22  表示焦点在 y 轴上的双曲线，则它的半焦距 C 的取值范围是 A、（ 0，1） B、（ 1，2） C、（ 1，+∞） D、与 m 有关 6、以抛物线 y2=2px（p>0）的焦半径|PF|为直径的圆与 y 轴位置关系是 A、相交 B、相切 C、相离 D、以上三种均有可能 7、直线 y=kx-2 交抛物线 y2=8x 于 A、B 两点，若 AB 中点横坐标为 2，则|AB|为 A、 15 B、 152 C、 42 D、 152 8、已知圆 x2+y2=1，点 A（1，0），△ABC 内接于圆，∠BAC=600，当 BC 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 A、x2+y2= 2 1 B、x2+y2= 4 1 C、x2+y2= )2 1x(2 1  D、x2+y2= )4 1x(4 1  （二）填空题 9、已知 A（4，0）， B（2，2）是椭圆 19 y 25 x 22  内的点，M 是椭圆上的动点，则|MA|+|MB| 的最大值是____________。 10、椭圆 19 y 8log x 2 a 2  的离心率为 2 1 ，则 a=__________。 11、高 5 米和 3m 的旗竿在水平地面上，如果把两旗竿底部的坐标分别定为 A（-5，0）， B （5，0），则地面上杆顶仰角相等的点的轨迹是__________。 12、若 x，y∈R,且 3x2+2y2=6，则 x2+y2 最大值是________，最小值是________。 13、抛物线 y2=2x 上到直线 x-y+3=0 距离最短的点的坐标为__________。 （三）解答题 14、求以达原点与圆 x2+y2-4x+3=0 相切的两直线为渐近线且过椭圆 4x2+y2=4 两焦点的双曲 线方程。 15、已知 P（x，y）为平面上的动点且 x≥0，若 P 到 y 轴距离比到点（1，0）距离小 1 （1）求点 P 轨迹 C 的方程； （2）设过 M（m，0）的直线交双曲线 C 于 A、B 两点，问是否存在这样的 m，使得以线段 AB 为直径的圆恒过原点。 16、设抛物线 y2=4ax（a>0）的焦点为 A，以 B（a+4，0）为圆心，|BA|为半径，在 x 轴上 方画圆，设抛物线与半圆交于不同两点 M、N，点 P 是 MN 中点 （1）求|AM|+|AN|的值； （2）是否存在这样的实数 a，恰使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列？若存在，求出 a；若不存 在，说明理由。 17、设椭圆中心为 0，一个焦点 F（0，1），长轴和短轴长度之比为 t （1）求椭圆方程； （2）设过原点且斜率为 t 的直线与椭圆在 y 轴右边部分交点为 Q，点 P 在该直线上，且 1tt|OQ| |OP| 2  ，当 t 变化时，求点 P 轨迹。 18、已知抛物线 y2=2px（p>0），过动点 M（a，0）且斜率为 1 的直线与该抛物线交于不同 两点 A、B，|AB|≤2p， （1）求 a 取值范围； （2）若线段 AB 垂直平分线交 x 同于点 N，求△NAB 面积的最大值。 高三一轮复习讲座九 ----立体几何 一、复习要求 空间几何图形的证明及计算。 二、学习指导 1、 空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结。如下图： 条件 结论 线线平行 线面平行 面面平行 垂直关系 线线平行 如果 a∥b，b∥ 如果 a∥α ，a 如果α ∥β ，α 如果 a⊥α ，b⊥ c，那么 a∥c β ，β ∩α =b， 那么 a∥b ∩γ =a，β ∩γ =b，那么 a∥b α ，那么 a∥b 线面平行 如果 a∥b，a  α ，b α ，那么 a∥α —— 如果α ∥β ，a α ，那么α ∥β —— 面面平行 如果 a α ，b α ，c β ，d β ，a∥c，b∥d， a∩b=P，那么α ∥β 如果 a α ，b α ,a∩b=P,a∥ β ,b∥β ，那么 α ∥β 如果α ∥β ，β ∥γ ，那么α ∥ γ 如果 a⊥α ，a⊥ β ，那么α ∥β 条件 结论 线线垂直 线面垂直 面面垂直 平行关系 线线垂直 二垂线定理及逆 定理 如果 a⊥α ，b α ，那么 a⊥b 如果三个平面两 两垂直，那么它 们交线两两垂直 如果 a∥b，a⊥ c，那么 b⊥c 线面垂直 如果 a⊥b，a⊥ c，b α ，c α ，b∩c=P，那 么 a⊥α —— 如果α ⊥β ，α ∩β =b，a α ,a ⊥b，那么 a⊥β 如果 a⊥α ，b∥ a，那么 b⊥α 面面垂直 定义（二面角等 于 900） 如果 a⊥α ，a β ，那么β ⊥α —— —— 2、 空间元素位置关系的度量 （1）角：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相 交直线所成的角。 异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。 直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。 二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积 射影法。 （2）距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。 异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离 和面面距离。 线面距离，面面距离常化归为点面距离。 3、 两个重要计算公式 （1）cosθ =cosθ 1·cosθ 2 其中θ 1 为斜线 PA 与平面α 所成角，即为∠PAO，θ 2 为 PA 射 影 AO 与α 内直线 AB 所成的角，θ 为∠PAB。 显然，θ >θ 1，θ >θ 2 （2）异面直线上两点间距离公式 设异面直线 a，b 所成角为θ 则 EF2=m2+n2+d2±2mncosθ 4、棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂 直的性质解题，在正棱锥中，要熟记由高 PO，斜高 PM，侧棱 PA，底 面外接圆半径 OA，底面内切圆半径 OM，底面正多边形半边长 OM，构 成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。 5、球是由曲面围成的旋转体。研究球，主要抓球心和半径。 6、立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要 熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形。 三、典型例题 例 1、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别为棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点，O 为 AC 与 BD 的交点（如图），求证：（1）EG∥平面 BB1D1D；（ 2）平面 BDF∥平面 B1D1H；（ 3）A1O⊥平 面 BDF；（ 4）平面 BDF⊥平面 AA1C。 解析： （1）欲证 EG∥平面 BB1D1D，须在平面 BB1D1D 内找一条与 EG 平行的直线，构造 辅助平面 BEGO’及辅助直线 BO’，显然 BO’即是。 （2）按线线平行 线面平行 面面平行的思路，在平面 B1D1H 内寻找 B1D1 和 O’H 两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面 BDF，O’H∥平面 BDF。 （3）为证 A1O⊥平面 BDF，由三垂线定理，易得 BD⊥A1O，再寻 A1O 垂直于平面 BDF 内的另一 条直线。 猜想 A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2 A1O⊥OF。 （4）∵ CC1⊥平面 AC ∴ CC1⊥BD 又 BD⊥AC ∴ BD⊥平面 AA1C 又 BD 平面 BDF ∴ 平面 BDF⊥平面 AA1C 例 2、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为 DD1 中点，O 为底面 ABCD 的中心，P 为棱 A1B1 上任意 一点，则直线 OP 与直线 AM 所成的角是 A、 6  B、 4  C、 3  D、 2  解析： 取 P 点的特殊点 A1，连 OA1，在底面上过 O 作 OE⊥AD 于 E，连 A1E ∵ OE⊥平面 ADD1A1，AM⊥A1E 根据三垂线定理，得：AM⊥OA1 ∴ 选 D 评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路 例 3、如图，三棱锥 D—ABC 中，平面 ABD、平面 ABC 均为等腰直角三角形，∠ABC= ∠BAD=900，其腰 BC=a，且二面角 D—AB—C=600。 （1）求异面直线 DA 与 BC 所成的角； （2）求异面直线 BD 与 AC 所成的角； （3）求 D 到 BC 的距离； （4）求异面直线 BD 与 AC 的距离。 解析： （1）在平面 ABC 内作 AE∥BC，从而得∠DAE=600 ∴ DA 与 BC 成 600 角 （2）过 B 作 BF∥AC，交 EA 延长线于 F，则∠DBF 为 BD 与 AC 所成的角 由△DAF 易得 AF=a，DA=a，∠DAF=1200 ∴ DF2=a2+a2-2a2·( 2 1 )=3a2 ∴ DF= 3 a △DBF 中，BF=AC= 2 a ∴ cos∠DBF= 4 1 ∴ 异面直线 BD 与 AC 成角 arccos 4 1 （3）∵ BA⊥平面 ADE ∴ 平面 DAE⊥平面 ABC 故取 AE 中点 M，则有 DM⊥平面 ABC；取 BC 中点 N，由 MN⊥BC，根据三垂线定理，DN⊥BC ∴ DN 是 D 到 BC 的距离 在△DMN 中，DM= 2 3 a，MN=a ∴ DN= 2 7 a （4）∵ BF  平面 BDF，AC  平面 BDF，AC∥BF ∴ AC∥平面 BDF 又 BD 平面 BDF ∴ AC 与 BD 的距离即 AC 到平面 BDF 的距离 ∵ BDFBDFA Sh3 1V   ， ADFBBDFA VV   ∴ ADFBDF SAB3 1Sh3 1   2 ADF 2 BDF a4 3a2 3a2 1DMAF2 1S a4 15 4 15a2a22 1DBFsinBFBD2 1S     由 a5 5 S SABh BDF ADF    ，即异面直线 BD 与 AC 的距离为 a5 5 评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法。 例 4、如图，在 600 的二面角α —CD—β 中，AC α ，BD β ，且 ACD=450，tg∠BDC=2，CD=a， AC= 2 x，BD= 5 x，当 x 为何值时，A、B 的距离最小？并求此距离。 解析： 作 AE⊥CD 于 E，BF⊥CD 于 F，则 EF 为异面直线 AE、BF 的公垂段，AE 与 BF 成 600 角，可求得|AB|= 22 aax4x7  ，当 x= 7 a2 时，|AB|有最小值 a7 21 。 评注：转化为求异面直线上两点间距离的最小值。 例 5、如图，斜三棱柱 ABC—A’B’C’中，底面是边长为 a 的正三角形，侧棱长为 b，侧棱 AA’ 与底面相邻两边 AB、AC 都成 450 角，求此三棱柱的侧面积和体积。 解析： 在侧面 AB’内作 BD⊥AA’于 D 连结 CD ∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=450 ∴ △DAB≌△DAC ∴ ∠CDA=∠BDA=900，BD=CD ∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’ ∴ △DBC 是斜三棱柱的直截面 在 Rt△ADB 中，BD=AB·sin450= a2 2 ∴ △DBC 的周长=BD+CD+BC=( 2 +1)a，△DBC 的面积= 4 a 2 ∴ S 侧=b(BD+DC+BC)=( 2 +1)ab ∴ V= DBCS ·AA’= 4 ba 2 评注：求斜棱柱的侧面积有两种方法，一是判断各侧面的形状，求各侧面的面积之和，二 是求直截面的周长与侧棱的乘积，求体积时同样可以利用直截面，即 V=直截面面积×侧棱长。 例 6、在三棱锥 P—ABC 中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积 VP-ABC。 解析： 取 PC 和 AB 的中点 M 和 N ∴ AMBAMBCAMBPABCP SPC3 1VVV   在△AMB 中，AM2=BM2=172-82=25×9 ∴ AM=BM=15cm，MN2=152-92=24×6 ∴ S△AMB= 2 1 ×AB×MN= 2 1 ×18×12=108(cm2) ∴ VP-ABC= 3 1 ×16×108=576(cm3) 评注：把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法，这样 分割的结果，一方面便于求体积，另一方面便于利用体积的相关性质，如等底等高的锥 体的体积相等，等底的两个锥体的体积的比等于相应高的比，等等。 同步练习 （一）选择题 1、1∥2，a，b 与1，2 都垂直，则 a，b 的关系是 A、平行 B、相交 C、异面 D、平行、相交、异面都有可能 2、异面直线 a，b，a⊥b，c 与 a 成 300，则 c 与 b 成角范围是 A、[600，900] B、[300，900] C、[600，1200] D、[300，1200] 3、正方体 AC1 中，E、F 分别是 AB、BB1 的中点，则 A1E 与 C1F 所成的角的余弦值是 A、 2 1 B、 2 2 C、 5 2 D、 5 21 4、在正△ABC 中，AD⊥BC 于 D，沿 AD 折成二面角 B—AD—C 后，BC= 2 1 AB，这时二面角 B —AD—C 大小为 A、600 B、900 C、450 D、1200 5、一个山坡面与水平面成 600 的二面角，坡脚的水平线（即二面角的棱）为 AB，甲沿山坡 自 P 朝垂直于 AB 的方向走 30m，同时乙沿水平面自 Q 朝垂直于 AB 的方向走 30m，P、Q 都是 AB 上的点，若 PQ=10m，这时甲、乙 2 个人之间的距离为 A、 m720 B、 m1010 C、 m330 D、 m1910 6、E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 CD 的中点，EF 交 BD 于 O，以 EF 为棱将正方形折成 直二面角如图，则∠BOD= A、1350 B、1200 C、1500 D、900 7、三棱锥 V—ABC 中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，侧面与底面 ABC 所成的二面角分别为α ， β ，γ （都是锐角），则 cosα +cosβ +cosγ 等于 A、1 B、2 C、 D、 2 3 8、正 n 棱锥侧棱与底面所成的角为α ，侧面与底面所成的角为β ，tanα ∶tanβ 等于 A、 nsin  B、 ncos  C、 n 2sin  D、 n 2cos  9、一个简单多面体的各面都是三角形，且有 6 个顶点，则这个简单多面体的面数是 A、4 B、6 C、8 D、10 10、三棱锥 P—ABC 中，3 条侧棱两两垂直，PA=a，PB=b，PC=c，△ABC 的面积为 S，则 P 到平面 ABC 的距离为 A、 S abc B、 S2 abc C、 S3 abc D、 S6 abc 11、三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V，P、Q 分别为 AA1、CC1 上的点，且满足 AP=C1Q，则四棱 锥 B—APQC 的体积是 A、 V2 1 B、 V3 1 C、 V4 1 D、 V3 2 12、多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF∥AB，EF= 2 3 ，EF 与面 AC 的 距离为 2，则该多面体的体积为 A、 2 9 B、5 C、6 D、 2 15 （二）填空题 13、已知异面直线 a 与 b 所成的角是 500，空间有一定点 P，则过点 P 与 a，b 所成的角都是 300 的直线有________条。 14、线段 AB 的端点到平面α 的距离分别为 6cm 和 2cm，AB 在α 上的射影 A’B’的长为 3cm， 则线段 AB 的长为__________。 15、正 n 棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围是____________。 16、如果一个简单多面体的每个面都是奇数的多边形，那么它的面数是__________。 （三）解答题 17、如图，在斜边为 AB 的直角三角形 ABC 中，过 A 作 AP⊥平面 ABC，AE⊥PB 于 E，AF⊥PC 于 F，CG⊥AB 于 G，CD⊥PB 于 D。 （1）求证∠AEF=∠CDG；（ 2）求△AEF 面积的最大值。 18、等边三角形 ABC 的边长为 a，沿平行 BC 的线段 PQ 折起，使平面 APQ⊥平面 PBCQ，设点 A 到直线 PQ 的距离为 x，AB 的长为 d （1）x 为何值时，d2 取得最小值，最小值是多少？ （2）若∠BAC=θ ，求 cosθ 的最小值。 19、如图，ABCD 是矩形，其 4 个顶点在平面α 的同一侧，且它们在平面α 内的射影分别为 A’，B’，C’，D’，直线 A’B 与 C’D’不重合， （1）求证：A’B’C’D’是平行四边形； （2）在怎样的条件下，A’B’C’D’是矩形？并证明你的结论。 20、正三棱锥 V—ABC 的底面边长为 a，侧棱与底面所成的角等于θ （θ > 4  ），过底面一边 作此棱锥的截面，当截面与底面所成二面角为何值时，截面面积最小？并求出最小值。 高三一轮复习讲座十 ----排列、组合、二项式定理和概率 一、复习要求 1、排列数、组合数的计算、化简、证明等；会解排列、组合应用题，掌握常见应用题的处 理思路。 2、掌握二项式定理，会用展开式通项求有关展开式的问题。 3、理解随机事件的概率，会求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件和 相互独立事件同时发生的概率。 二、复习指导 1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数 公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不 过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分 步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理， 重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。比较复杂的问题，常先分类再分步。 2、排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列（既取又排）个 数的公式，组合数是研究组合（只取不排）个数的公式，是否有序是它们之间的本质区别。 排列数公式： )!mn( !n)]1m(n[)2n)(1n(nAm n   ，当 m=n 时， !n12)1n(nAm n   ，其中 m，n∈N+，m≤n，规定 0!=1 组合数公式： )!mn(!m !n !m )]1m(n[)2n)(1n(n A AC m m m nm n   组合数性质： m 1n 1m n m n mn n m n CCC,CC    ，规定 1C0 n  ，其中 m，n∈N+，m≤n 3、处理排列组合应用题的规律 （1）两种思路：直接法，间接法 （2）两种途径：元素分析法，位置分析法 （3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要完成什么样的事件是 前提 （4）基本题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法，均匀分组法，逆向思考法 等 4、二项式定理 nn n rrnr n 1n1 n n0 n n bCbaCbaCaC)ba(    通项公式 r1nr n1r baCT    ，r=0，1，2，…，n 二项式系数的性质： （1）对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 n n 0 n CC  ， rn n r n 2n n 2 n 1n n 1 n CC,,CC,CC    ； （2）增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值， 当 n 是偶数时，中间一项 2 n nC 最大；当 n 是奇数时，中间两项 2 1n nC  ， 2 1n nC  相等，且为最大值； （3）   5 n 3 n 1 n 4 n 2 n 0 n nn n 2 n 1 n 0 n CCCCCC,2CCCC 5、概率 （1）概率是频率的近似值，两者是不同概念 （2）等可能事件中概率 n m)A(P  ，P(A)∈[0，1] （3）互斥事件 A，B 中有一个发生的概率：加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 特例： AB  时， 1)A(P)A(P  ，即对立事件的概率和为 1 （4）相互独立事件 A，B 同时发生的概率 P(A·B)=P(A)P(B) （5）事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=Cn kPk(1-P)n-k，其中 P 为事件 A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第 k+1 项 三、典型例题 例 1、用 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色（如图），要求在①，②，③，④个区域中相 邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色。 （1）若 n=6，为甲着色时共有多少种不同方法？ （2）若为乙着色时共有 120 种不同方法，求 n。 解：完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数， 再由乘法原理确定决的着色方法数。因此 （1）为①着色有 6 种方法，为②着色有 5 种方法，为③着色有 4 种方法，为④着色也只有 4 种方法。 ∴ 共有着色方法 6×5×4×4=480 种 （2）与①的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是 n(n-1)(n-2)(n-3) 由 n(n-1)(n-2)(n-3)=120 ∴ （n2-3n）(n2-3n+2)-120=0 即(n2-3n)2+2(n2-3n)-12×10=0 ∴ n2-3n-10=0 ∴ n=5 例 2、计算下列各题： （1） !5!6 AA2 6 6 5 7   （2） 3 100 97 100 98 100 A)CC(  （3） 2 10 2 4 2 3 2 2 CCCC   解：（1）原式= 7 36 !5)16( !5)667( !5!6 !6!7    （2）原式= 6 1 A 1ACAC 3 3 3 101 3 101 3 101 98 101  （3）原式= 2 10 2 5 2 4 3 4 2 10 2 4 2 3 3 3 CC)CC(CC)CC(   = 165CCC)CC( 3 11 2 10 2 6 2 5 3 5   例 3、按以下要求分配 6 本不同的书，各有几种分法？ （1）平均分给甲、乙、丙三人，每人 2 本； （2）平均分成三份，每份 2 本； （3）甲、乙、丙三人一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本； （4）分成三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本； （5）甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另二人每人得 1 本； （6）分成三份，一份 4 本，另两份每份 1 本； （7）甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本（均只要求列式） 解：（1） 2 2 2 4 2 6 CCC  ； （2） 3 3 2 22 4 2 6 A CCC  （3） 3 3 3 3 2 5 1 6 ACCC  （4） 3 3 2 5 1 6 CCC  （5） 3 32 2 1 1 1 2 4 6 A A CCC  （6） 2 2 4 41 5 1 6 A CCC  （7） 4 4 1 5 1 6 CCC  评注：有关排列组合混合题常常是先组合再排列。 例 4、四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有 （ ） A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种 解：从 10 个点中任取 4 个点有 4 10C 种取法，其中 4 点共面的情况有三类。第一类，取出的 4 个点位于四面体的同一个面内，有 4 6C4 种；第二类，取任一条棱上的 3 个点及该棱对棱的中点， 这 4 点共面，有 6 种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相 对的两条棱），它的 4 个点共面，有 3 种。以上三种情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有 14136C4C 4 6 4 10  （种） 例 5、求(4+2x+x2)(2-x)7 的展开式中 x5 的系数。 解：(4+2x+x2)(2-x)7=(8-x3)(x-2)6 =(8-x3)[(x6-2C6 1x5+(-2)2C6 2x4+(-2)3C6 3x3+(-2)4C6 4x2+…] ∴ 含 x5 的项为-2×8×C6 1·x5-(-2)4C6 4x5=-336x5 ∴ x5 的系数为-336 例 6、已知 n 4 ) x2 1x(  的展开式前三项中的 x 的系数成等差数列。 （1）求展开式里所有的 x 的有理项； （2）求展开式里系数最大的项。 解：（1）∵ )1n(n8 1)2 1(C,2 n 2 1C,1C 22 n 1 n 0 n  由题设可知 08n9n),1n(n8 112 n2 2  解得 n=8 或 n=1（舍去） 当 n=8 时，通项 r 4 34rr 8 r4r8r 81r x2C)x2()x(CT    据题意， 4 r34  必为整数，从而可知 r 必为 4 的倍数，而 0≤r≤8 ∴ r=0，4，8，故 x 的有理项为 4 1 xT  ， x8 35T5  ， 29 x256 1T  （3）设第 r+1 项的系数 tr+1 最大，显然 tr+1>0，故有 r 1r t t  ≥1 且 1r 2r t t   ≤1 ∵ r2 r9 2C 2C t t 1r1r 8 rr 8 r 1t       由 r2 r9  ≥1 得 r≤3 又∵ )1r(2 r8 2C 2C t t rr 8 )1r(1r 8 1r 2r         由 )1r(2 r8   ≤1 得：r≥2 ∴ r=2 或 r=3 所求项为 2 5 3 x7T  和 4 7 4 x7T  例 7、设 a>1，n∈N，且 n≥2，求证： n 1a1a n  证明：设 x1a n  ，则(x+1)n=a 欲证原不等式，即证 nx<(x+1)n-1，其中 x>0 ∵ 1xC1xCxCxC)1x( 1n n 1n n 1n1 n n0 n n    即(x+1)n>nx+1，原不等式成立。 评注：由于(a+b)n 的展开式共有 n+1 项，故可通过对某些项的取舍来达到近似计算或证明 不等式的目的。 例 8、盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品，4 只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只， 试求下列事件的概率： （1）取到的 2 只都是次品； （2）取到的 2 只中正品、次品各一只； （3）取到的 2 只中至少有一只正品。 解：从 6 只灯泡中有放回地任取两只，共有 62=36 种不同取法 （1）取到的 2 只都是次品情况为 22=4 种，因而所求概率为 9 1 36 4  （2）由于取到的 2 只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品； 及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率为 9 4 36 42 36 24P  （3）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件， 因而所求概率为 9 8 9 11P  例 9、甲、乙两人独立地破译 1 个密码，他们能译出的密码的概率分别为 3 1 和 4 1 ，求： （1）恰有 1 人译出的密码的概率； （2）至多 1 人译出的密码的概率； （3）若达到译出的密码的概率为 100 99 ，至少需要多少个乙这样的人。 解：记“甲译出密码”为事件 A，“甲译不出密码”这事件 A ；记“乙译出密码”为事件 B， “乙译不出密码”为事件 B ；“两人都译出密码”为事件 C，“两人都译不出密码”为事件 D；“恰 有 1 人译出密码”为事件 E；“至多 1 人译出密码”为事件 F。 （1）“恰有 1 人译出密码”是包括 2 种情况：一种是 BA  ，另一种是 BA  。这两种情况不 能同时发生，是互斥的。 ∴ 12 5 4 1)3 11()4 11(3 1)B(P)A(P)B(P)A(P)BB(P)BA(P)E(P  （2）“至多 1 人译出密码”包括两种情况：“2 人都译不出密码”或“恰有 1 人译出密码”， 即事件 D+E，且事件 D、E 是互斥的 ∴ 12 11 12 5 2 1)BA(P)BA(P)BA(P)E(P)D(P)F(P  （3）n 个乙这样的人都译不出密码的概率为 n)4 11(  ，根据题意得： 100 99)4 11(1 n  解得：n=16 例 10、某数学家有两盒火柴，每盒都有 n 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从 中抽出一根，求他发现用完一盒时另一盒还有 r 根（1≤r≤n）的概率。 解析：由题意知：数学家共用了 2n-r 根火柴，其中 n 根取自一盒火柴，n-r 根取自另一盒 火柴。 由于数学家取火柴时，每次他在两盒中任取一盒并从中抽取一根，故他用完的那一盒取出 火柴的概率是 2 1 ，他不从此盒中取出一根火柴的概率也是 2 1 。 由于所取的 2n-r 根火柴，有 n 根取自用完的那一盒的概率为： rn2n rn2 rnnn rn2 )2 1(C)2 11()2 1(C      四、同步练习 （一）选择题 1、某一排共 12 个座位，现甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右两旁都有空座位， 且三人的顺序是甲必须在另两人之间，则不同的座法共有 A、60 种 B、112 种 C、242 种 D、672 种 2、某同学从 6 门课中选学 2 门，其中有 2 门课上课时间有冲突，另有 2 门不 允许同时选学，则该同学可选学的方法总数有 A、8 种 B、13 种 C、12 种 D、9 种 3、如图，在某城市中，M、N 两地间有整齐的道路网，若规定只能向东或向 北两个方向沿图中的矩形的边前进，则从 M 到 N 不同的走法共有 A、13 种 B、15 种 C、25 种 D、10 种 4、将 n 个不同的小球放入 n 个不同的盒子里，恰好有一个空盒的放法种数是 A、 1n 1n 2 n 1 n ACC   B、 1 1n 1n n 1 n ACC   C、 1 1n 1n n AA   D、 1n 1n 2 n AC   5、若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a8x8+a9x9，则 a1+a2+…+a8 的值为 A、-1 B、-2 C、-512 D、510 6、 54 )1x()1x(  展开式中，x4 的系数为 A、-40 B、10 C、40 D、45 7、 1003 )32(  的展开式中无理项的个数是 A、84 B、85 C、86 D、87 8、 8 4 ) x2 1x(  的展开式中系数最大的项是 A、第 3 项 B、第 4 项 C、第 2 或第 3 项 D、第 3 或第 4 项 9、掷三颗骰子（各面上分别标以数字 1 到 6 的均匀正方体玩具），恰有一颗骰子出 1 点或 6 点的概率是 A、 27 8 B、 27 19 C、 9 4 D、 9 5 10、一工人看管三台机床，在一小时内甲、乙、丙三台机床需要工人照看的概率分别是 0.9， 0.8 和 0.85，那么在一小时中至少有一台机床不需要照看的概率是 A、0.003 B、0.612 C、0.388 D、0.027 11、在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概 率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 P 的取值范围是 A、[0.4，1] B、（ 0，0.4] C、（ 0，0.6] D、[0.6，1） 12、一批零件 10 个，其中有 8 个合格品，2 个次品，每次任取一个零件装配机器，若第一 次取得合格品的概率是 P1，第二次取得合格品的概率是 P2，则 A、P1>P2 B、P1=P2 C、P10） 15、1 （三）解答题 16、 4 1c,5a  17.[-1， 2 1 ] 18、（ 1） 2a )2t( )4t(tlogS   （t≥1） （2）在[1，+∞）上是减函数 （3）t=1 时， 9 5logS anax  19、（ 1）a=1； （2）当 02 时，-1Bn；当 2 51q  ，q≠1 时，An 6 8511 且λ ≠1 高三一轮复习讲座六 ----不等式参考答案 （一）选择题 1、A 2、A 3、B 4、C 5、A 6、A 7、D 8、A （二）填空题 9、 2)ba(  10、 4 1 11、S<1 12、（ 1，4） （三）解答题 13、 2 14、当 a≤-1 时，x∈(-∞，a)∪(-1，2) 当-12 时，x∈(-∞，-1)∪(2，a) 15、当|a|≤|b|时，不等式显然成立 当|a|>|b|时， 左= |)ba)(ba(| |ba||ba|   ≥ |ba| 1 |ba| 1 1 |ba||ba| |ba||ba|    ≥ |b||a| 1 |b||a| 1 1  = 2 |b||a|  16、 2 51a1  或 2 53a2  17、 63 4 ，此时      2 6b 2a 18、 I DS2Q  高三一轮复习讲座七 ----直线和圆的方程参考答案 （一）1、D 2、C 3、C 4、C 5、A 6、A 7、B 8、D （二）9、3x-2y+C=0 10、2 11、6，-5 12、x+y=3 或 x-2y=0 13、 4 1y)2 1x( 22  （x≠0） （三）14、C（2，4），∠C=900 15、（ 1） 2 )1n(n2Cn  （2） 4 )1n(n 22  （3）n3 16、（ 1）利用圆心到直线距离等于半径 （2）(x-1)(y-1)= 2 1 (x>1，y>1) （3） 322  17、（ 1）画图 3≤b≤5 （2）k∈（ 2 5,2 5 ） 18、 2 1 高三一轮复习讲座八 ----圆锥曲线方程参考答案 （一）选择题 1、A 2、A 3、D 4、B 5、C 6、B 7、D 8、D （二）填空题 9、 10210 10、 4 2 或 9 16 11、圆， 222 )8 75(y)8 85x(  12、3，2 13、 2 1( ，1） （三）解答题 14、 19 x 3 y 22  15、（ 1）y2=4x （2）0，4 16、（ 1）8 （2）不存在 17、（ 1） 1 1t 1 x 1t t y 2 2 2 2 2     （2）抛物线的部分弧， )2 2x(y2 2x 2  ， )2 2x(y2 2x 2  18、（ 1） 4 pa2 p  （2） 2p2 高三一轮复习讲座九 ----立体几何参考答案 （一）选择题 1、D 2、A 3、C 4、A 5、B 6、B 7、A 8、B 9、C 10、B 11、B 12、D （二）填空题 13、2 14、5 或 73 15、（  ,n 2n ） 16、偶数 （三）解答题 17、（ 2） 2 1 18、（ 1） 22 a8 5d  （2） 19、（ 2）一边与α 平行或在α 内 20、  2 sina4 3 2 高三一轮复习讲座十 ----排列、组合、二项式定理和概率参考答案 （一）选择题 1、B 2、B 3、B 4、A 5、D 6、D 7、A 8、C 9、C 10、C 11、A 12、B 13、B 14、C （二）填空题 15、211 16、-336 17、 1n 1  18、（ 1）1/3 （2）2/3 19、0.3671875 （三）解答题 20、504 21、（ 1）90 （2）30 （3）90 22、4，-3 23、（ 1）0.41 （2）0.74 24、（ 1） 54 1 （2） 18 5 （3） 216 25 （4） 324 1 25、（ 1）0.56 （2）0.94 （3）0.38 26、（ 1）rn(2-rn) （2）rn(2-r)n （2）比（1）可靠