高考数学复习专题练习第3讲 基本不等式 7页

第3讲 基本不等式 一、选择题 ‎1．下列函数中，最小值为4的个数为(　　)‎ ‎①y＝x＋　　　　　 ②y＝sin x＋(0＜x＜π)‎ ‎③y＝ex＋4e－x ④y＝log3x＋4logx3‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ 解析 ①中，由于x的符号不确定，故不满足条件；②中，0＜sin x≤1，而应用不等式时等号成立的条件为sin x＝2，故不满足条件；③正确；④中log3x，logx3的符合不确定，故不满足条件，综上只有③满足条件．‎ 答案 D ‎2．函数y＝(x>1)的最小值是 (　　)．‎ A．2＋2 B．2－2‎ C．2 D．2‎ 解析　∵x>1，∴x－1>0，‎ ‎∴y＝＝ ‎＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.‎ 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时取等号．‎ 答案　A ‎3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a＝0，∴v>a.‎ 答案　A ‎4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站‎10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)‎ A．‎5 km处 B．‎4 km处 C．‎3 km处 D．‎2 km处 解析 令y1＝，y2＝k2x，当x＝‎10 km时，‎ y1＝2万元，y2＝8万元，∴2＝，即k1＝20，‎ 且8＝k2×10，‎ 即k2＝，∴y＝y1＋y2＝＋x≥2＝8.‎ 当且仅当＝，即x＝‎5 km时取“＝”．‎ 答案 A ‎5．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)‎ A．3 B．4‎ C. D. 解析 方法一：因为x＋2y＋2xy＝8，所以y＝，‎ 所以x＋2y＝x＋＝x＋ ‎＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4‎ ，‎ 故选B.‎ 方法二：因为x＋2y≥2，‎ 所以2xy≤2，‎ 所以x＋2y＋2xy≤x＋2y＋，‎ 设x＋2y＝A，则A＋≥8.即A2＋‎4A－32≥0，[来源XK]‎ 解此不等式得A≤－8(舍去)或A≥4，‎ 即x＋2y≥4，故选B.‎ 答案 B ‎6．已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝(m>0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为 (　　)．‎ A．16 B．‎8‎ C．8 D．4 解析　如图，作出y＝|log2x|的图象，由图可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且xC－xA与xB－xD同号，所以＝，根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－，xB＝‎2m，xD＝2，所以＝＝＝＝2＋m ‎，由于＋m＝＋－≥4－＝，当且仅当＝，即‎2m＋1＝4，即m＝时等号成立，故的最小值为2＝8.‎ 答案　B 二、填空题 ‎7．已知函数f(x)＝－＋，若f(x)＋2x≥0，在(0，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是________．‎ 解析 因为f(x)＋2x＝－＋＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，‎ 即≤2在(0，＋∞)上恒成立，‎ ‎∵2≥4，当且仅当x＝1时等号成立．‎ ‎∴≤4，解得a＜0或a≥.‎ 答案 (－∞，0)∪ ‎8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．‎ 解析　每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．‎ 答案　5　8‎ ‎9．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．‎ 解析　由a，b∈R＋，由基本不等式得a＋b≥2，‎ 则ab＝a＋b＋3≥2＋3，‎ 即ab－2－3≥0⇔(－3)(＋1)≥0⇒ ≥3，‎ ‎∴ab≥9.‎ 答案　[9，＋∞)‎ ‎10．已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为________。‎ 解析　z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则00)．‎ ‎(1)求f(x)的最大值；‎ ‎(2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)