【数学】2020届一轮复习人教A版解三角形的综合应用作业 7页

‎【课时训练】第22节　解三角形的综合应用 一、选择题 ‎1．(2018福州质检)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．75°‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意可得AD＝20，AC＝30，‎ 又CD＝50，所以在△ACD中，‎ 由余弦定理，得cos∠CAD＝ ‎＝＝＝.‎ 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°.‎ 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ ‎2．(2018陕西渭南质检)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：≈1.732)(　　)‎ A．11.4 km B．6.6 km C．6.5 km　 D．5.6 km ‎【答案】B ‎【解析】∵AB＝1 000×＝(km)，‎ ‎∴BC＝·sin 30°＝(km)．‎ ‎∴航线到山顶的距离h＝×sin 75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4(km)．‎ ‎∴山高为18－11.4＝6.6(km)．‎ ‎3．(2018四川资阳模拟)如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为(　　)‎ A.　 B．　　‎ C. D． ‎【答案】C ‎【解析】在△ABC中，∠ABC＝π－(α＋β)，AC＝m，由正弦定理，得＝，所以AB＝＝.‎ ‎4．(2018辽宁庄河高中月考)若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)‎ A．a km　　　 B．a km C．2a km D．a km ‎【答案】D ‎【解析】由题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°.在△ABC中，由余弦定理知AB＝＝a(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.‎ ‎5．(2018江西联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为(　　)‎ A．20m　 B．20(1＋)m C．10(＋)m D．20(＋)m ‎【答案】B ‎【解析】如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20 m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE＝20 m，CE＝20　m.所以CD＝20(1＋)m.故选B.‎ ‎6．(2018武汉武昌区调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为(　　)‎ A．14 h　　 B．15 h　　‎ C．16 h D．17 h ‎【答案】B ‎【解析】记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×20t×600×，令OB2≤4502，即4t2－120　t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15(h)．故选B.‎ ‎7．(2018厦门模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围是(　　)‎ A. B． C. D． ‎【答案】D ‎【解析】由题意得sin2A＜sin2B＋sin 2C，再由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0.则cos A＝＞0，因为0＜A＜π，所以0＜A＜.又a为最大边，所以A＞.因此角A的取值范围是 ‎.故选D.‎ 二、填空题 ‎8．(2018贵阳模拟)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．‎ ‎【答案】50 ‎【解析】如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.‎ 由余弦定理，得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝50.‎ ‎9．(2018河南三门峡一模)轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.‎ ‎【答案】70 ‎ ‎【解析】设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，解得d＝70，即两船相距70 n mile.‎ ‎10．(2019德州检测)某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向．则此时货轮到灯塔S的距离为________海里．‎ ‎【答案】12　 ‎ ‎【解析】根据题意知，在△ABS中，AB＝24，∠BAS＝30°，∠ASB＝45°，由正弦定理，得＝，‎ ‎∴BS＝＝12　，故货轮到灯塔S的距离为12　海里．‎ ‎11．(2018河南调研)如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．‎ ‎【答案】1 000 ‎ ‎【解析】由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－15°＝30°，∴∠ASB＝135°.在△ABS中，由正弦定理可得＝，∴AB＝1 000　，∴BC＝＝1 000.‎ ‎12．(2018北京朝阳区质检)如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________m.‎ ‎【答案】　45 ‎ ‎【解析】设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1＝60tan α，BB1＝60tan 2α.∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴＝，‎ ‎∴AA1·BB1＝900，∴3 600tan αtan 2α＝900，∴tan α＝，tan 2α＝，∴BB1＝60tan 2α＝45.‎