2013-2017高考数学分类汇编-第8章 立体几何-5 直线，平面垂直的判定与性质（理科） 12页

第5节 直线、平面垂直的判定与性质 题型95 证明空间中直线、平面的垂直关系 ‎1. (2013全国新课标卷理4） 已知为异面直线，平面，平面.直线满足，，，则（ ）.‎ A. 且 B. 且 ‎ C. 与相交,且交线垂直于 D. 与相交,且交线平行于 ‎2.（2013广东理18）‎ ‎.‎ C O B D E A C D O B E 图1‎ 图2‎ ‎ 如图1，在等腰直角三角形中，，，分别是上的点，，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.‎ ‎(1) 证明:平面；‎ ‎(2) 求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎3.（2013江西理19）‎ ‎ 如图，四棱锥中，⊥平面，为的中点，为的中点，，，，连接并延长交于．‎ ‎(1) 求证：平面；‎ ‎ (2) 求平面与平面的夹角的余弦值．‎ ‎4.（2013江苏16）‎ 如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点.‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）.‎ ‎5. (2013福建理19）‎ 如图，在四棱柱中，侧棱底面，‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面 ‎（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值 ‎（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）.‎ ‎6.(2013天津理17）‎ ‎ 如图，四棱柱中．侧棱底面，，，，，为棱的中点．‎ ‎ (1) 证明：；‎ ‎ (2) 求二面角的正弦值；‎ ‎(3) 设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．‎ ‎7．(2013湖南理19）‎ 如图5，在直棱柱 ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求直线所成角的正弦值.‎ ‎8.（2013辽宁理18）‎ 如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上的点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求证：二面角的余弦值.‎ ‎9. (2013陕西理18）‎ 如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求平面与平面的夹角的大小.‎ ‎10.（2014 辽宁理 4）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）.‎ ‎ A．若则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎10. 解析 A选项、也可以相交或异面，C选项也可以，D选项也可以或与斜交.根据线面垂直的性质可知选B. ‎ ‎11.（2014 广东理 7）若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是（ ）.‎ A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 ‎11. 解析 由，可知与的位置不确定，若，则结合，得，所以排除选项B，C，若，则结合，知与可能不垂直，所以排除选项A.‎ 故选D.‎ 评注 本题考查了空间直线之间的位置关系，考查学生的空间想象能力、思维的严密性.‎ ‎12.（2014 江苏理 16）如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点．已知，，，．‎ 求证：（1）直线平面；‎ ‎ （2）平面平面．‎ ‎13.（2015广东理18）如图所示，所在的平面与长方形 所在的平面垂直，，，，点是的中点，点分别在线段，上，且.‎ (1) 求证：；‎ (2) 求二面角的正切值；‎ (3) 求直线与直线所成角的余弦值.‎ ‎13.解析 （1）证明：因为且点为的中点，所以．‎ 又平面平面，且平面平面，平面，‎ 所以平面．又平面，所以．‎ ‎（2）因为是矩形，所以．由（1）可得平面，所以，所以平面．又平面，所以．又因为，‎ 所以即为二面角的平面角．‎ 在中，，，，‎ 所以，即二面角的正切值为．‎ ‎（3）如图所示，连接，因为，，即，‎ 所以，所以为直线与直线所成角或其补角．‎ 在中，因为，，‎ 所以由余弦定理可得，‎ 所以直线与直线所成角的余弦值为．‎ ‎14.（2016全国甲理14），是两个平面，，是两条线，有下列四个命题：‎ ‎①如果，，，那么．‎ ‎②如果，，那么．‎ ‎③如果，，那么．‎ ‎④如果， ，那么与所成的角和与所成的角相等．‎ 以上命题正确的命题有 .‎ ‎14. ②③④ 解析 将题中假设放在一个正方体模型中易知②③④正确.‎ ‎15.（2016浙江理2）已知互相垂直的平面交于直线.若直线满足，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎15.C 解析 对于选项A，因为，所以.又因为，所以与平行或异面.故选项A不正确；‎ 对于选项B和D，因为，，所以或.又因为，所以与的关系平行、相交或异面都有可能.‎ 故选项B和D不正确；‎ 对于选项C，因为所以因为所以，故选项C正确，故选C.‎ ‎16.(2016全国甲理19)如图所示，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于点，将沿折到的位置，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎16.解析 （1）证明：因为，所以，所以．‎ 因为四边形为菱形，所以，所以，所以，所以．‎ 因为，所以.又，，所以，所以，所以，所以，所以．又因为，所以面．‎ ‎17.（2016全国乙理18）如图所示，在以，，，，，为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角 都是．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎17.解析 （1）由已知可得，，所以平面.‎ 又平面，故平面平面.‎ ‎18.（2016北京理17）如图所示，在四棱锥中，平面平面， ，，，，，.‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎18.解析 （1）如题中的图所示，平面平面，平面平面，平面，得平面，所以.‎ 又因为平面，平面，，所以平面.‎ ‎19.（2016浙江理17）如图所示在三棱台中平面平面 ‎(1)求证：平面；‎ ‎19.解析 （1）因为此几何体三棱台，延长可相交于一点如图所示.‎ 因为平面，平面为，，且，所以，因此 又因为，可以 求得，‎ 所以为等边三角形，且为的中点，则.‎ 因为，，所以平面 ‎20．（2016江苏16）如图所示，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，．‎ 求证：（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎20.解析 （1）因为分别为的中点，所以为的中位线，所以，‎ 又因为三棱柱为直棱柱，故，‎ 所以，又因为平面，且，故平面．‎ ‎（2）三棱柱为直棱柱，所以平面.又平面，‎ 故.又，且，平面，‎ 所以平面．又因为平面，所以．‎ 又因为，，且平面，‎ 所以平面．又因为平面，所以平面平面．‎ ‎21.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥中，，， 平面平面， 点（与不重合）分别在棱上，且．‎ 求证：（1）平面；‎ ‎ （2）．‎ ‎21.解析 （1）在平面内，因为，，且点与点不重合，所以.‎ 又因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为平面平面，平面平面， ‎ 平面，，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 又，，平面，平面，‎ 所以平面.又因为平面，所以.‎ ‎22.（2017全国1卷理科18（1））如图所示，在四棱锥中，，且.‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎22. 解析 （1）证明：因为，所以，.‎ 又因为，所以.又因为，，平面，所以 平面.又平面，所以平面平面.‎ ‎23.（2017全国3卷理科19（1））如图所示，四面体中，是正三角形，是直角三角形，‎ ‎，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎23．解析 ⑴如图所示，取的中点为，联结，.‎ 因为为等边三角形，所以，.‎ 由，得，所以，即为等腰直角三角形，‎ 从而为直角.又为底边中点，所以.‎ 令，则，易得，，‎ 所以，从而由勾股定理的逆定理可得，即.‎ 由，所以平面.‎ 又因为平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面.‎ 题型96 与垂直有关的开放性、探索性问题——暂无 ‎1．（2013四川理19） ‎ 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．‎ ‎（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；‎ ‎（2）设（1）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．‎ ‎2. (2015陕西理18) 如图所示，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图所示．‎ ‎ （） （）‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．‎ ‎2. 解析 （1）因为,所以为等腰三角形，所以.‎ 同理可证.因为，所以平面.‎ 因为且，所以四边形为平行四边形，‎ 所以. 所以平面.‎ ‎(2)当平面平面时，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.‎ 则，‎ 则 ‎ 设平面的法向量为，则.‎ 同理，，，‎ 设平面的法向量，所以 ‎ ‎，‎ 得，‎ 从而平面与平面夹角的余弦值为.‎