高考数学专题复习课件：11-1 随机抽样 52页

§11.1 　随机抽样 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解随机抽样的必要性和重要性 .2. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样． 1 ．简单随机抽样 (1) 定义：设一个总体含有 N 个个体，从中 _____________ 抽取 n 个个体作为样本 ( n ≤ N ) ，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都 ______ ，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． (2) 最常用的简单随机抽样的方法： _______ 和 _________ ． 逐个不放回地 相等 抽签法 随机数法 2 ． 系统抽样 (1) 定义：在抽样时，将总体分成 _______ 的几个部分，然后按照 __________ 的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样 ( 也称为机械抽样 ) ． (2) 适用范围：适用于 __________ 很多且 _________ 总体抽样． 均衡 事先确定 元素个数 均衡的 ③ 在第 1 段用 _______________ 确定第一个个体编号 l ( l ≤ k ) ； ④ 按照一定的规则抽取样本．通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 _____________ ，再加 k 得到第 3 个个体编号 ________ ，依次进行下去，直到获取整个样本． 简单随机抽样 ( l ＋ k ) ( l ＋ 2 k ) 3 ．分层抽样 (1) 定义：在抽样时，将总体分成 __________ 的层，然后按照 _____________ ，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． (2) 分层抽样的应用范围： 当总体由 ____________________ 组成时，往往选用分层抽样． 互不交叉 一定的比例 差异明显的几个部分 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 简单随机抽样是一种不放回抽样． ( 　　 ) (2) 简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关． ( 　　 ) (3) 系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样． ( 　　 ) (4) 要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本，需要剔除 2 个学生，这样对被剔除者不公平． ( 　　 ) (5) 分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) √ 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) × 　 (5) × 1 ． ( 教材改编 ) 某公司有员工 500 人，其中不到 35 岁的有 125 人， 35 ～ 49 岁的有 280 人， 50 岁以上的有 95 人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取 100 名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为 ( 　　 ) A ． 33 人， 34 人， 33 人　　　　 B ． 25 人， 56 人， 19 人 C ． 20 人， 40 人， 30 人 D ． 30 人， 50 人， 20 人 【 解析 】 因为 125 ∶ 280 ∶ 95 ＝ 25 ∶ 56 ∶ 19 ， 所以抽取人数分别为 25 人， 56 人， 19 人． 【 答案 】 B 2 ． (2015· 四川 ) 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 ( 　　 ) A ．抽签法 B ．系统抽样法 C ．分层抽样法 D ．随机数法 【 解析 】 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法． 【 答案 】 C 3 ．将参加英语口语测试的 1 000 名学生编号为 000 ， 001 ， 002 ， … ， 999 ，从中抽取一个容量为 50 的样本，按系统抽样的方法分为 50 组，如果第一组编号为 000 ， 001 ， 002 ， … ， 019 ，且第一组随机抽取的编号为 015 ，则抽取的第 35 个编号为 ( 　　 ) A ． 700 B ． 669 C ． 695 D ． 676 【 答案 】 C 4 ． ( 教材改编 ) 某公司共有 1 000 名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为 80 的样本，已告知广告部门被抽取了 4 个员工，则广告部门的员工人数为 ________ ． 【 答案 】 50 5 ． (2014· 天津 ) 某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4 ∶ 5 ∶ 5 ∶ 6 ，则应从一年级本科生中抽取 ________ 名学生． 【 答案 】 60 题型一　简单随机抽样 【 例 1 】 (1) (2017· 陕西西工大附中模拟训练 ) 某班级有男生 20 人，女生 30 人，从中抽取 10 人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了 4 名男生、 6 名女生，则下列命题正确的是 ( 　　 ) A ．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B ．这次抽样一定没有采用系统抽样 C ．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D ．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 (2) (2017· 海口一模 ) 假设要考察某企业生产的袋装牛奶质量是否达标，现从 500 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将 500 袋牛奶按 000 ， 001 ， … ， 499 进行编号，如果从随机数表 ( 下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行 ) 第 8 行第 4 列的数开始按三位数连续向右读取，则依次写出最先检测的 5 袋牛奶的编号分别为 ( 　　 ) 84 42 17 53 31 　 57 24 55 06 88 　 77 04 74 47 67 　 21 76 33 50 25 　 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 　 16 95 55 67 19 　 98 10 50 71 75 　 12 86 73 58 07 　 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 　 78 64 56 07 82 　 52 42 07 44 38 　 15 51 00 13 42 　 99 66 02 79 54 A ． 163 ， 198 ， 175 ， 128 ， 395 　　 B ． 163 ， 199 ， 175 ， 128 ， 395 C ． 163 ， 199 ， 175 ， 128 ， 396 D ． 163 ， 199 ， 175 ， 129 ， 395 【 解析 】 (1) 利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样， A 正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为 1 ～ 20 ，女生编号为 21 ～ 50 ，间隔为 5 ，依次抽取 1 号， 6 号， … ， 46 号便可， B 错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率， C 和 D 均错误，故选 A. (2) 随机数表第 8 行第 4 列的数是 1 ，从 1 开始读取： 163 785 916 955 567 199 810 507 175 128 673 580 744 395 ．标波浪线的 5 个即是所取编号． 【 答案 】 (1)A 　 (2)B 【 方法规律 】 应用简单随机抽样应注意的问题 (1) 一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法． (2) 在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去． 跟踪训练 1 下列抽样试验中，适合用抽签法的有 ( 　　 ) A ．从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B ．从某厂生产的两箱 ( 每箱 18 件 ) 产品中抽取 6 件进行质量检验 C ．从甲、乙两厂生产的两箱 ( 每箱 18 件 ) 产品中抽取 6 件进行质量检验 D ．从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验 【 解析 】 A ， D 中的总体中个体数较多，不适宜抽签法， C 中甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法，故选 B. 【 答案 】 B 题型二　系统抽样 【 例 2 】 (1)(2015· 湖南 ) 在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩 ( 单位：分钟 ) 的茎叶图如图所示． 若将运动员按成绩由好到差编为 1 ～ 35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 [139 ， 151] 上的运动员人数是 ( 　　 ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 (2) 某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1 ， 2 ， … ， 840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间 [481 ， 720] 的人数为 ( 　　 ) A ． 11 B ． 12 C ． 13 D ． 14 【 答案 】 (1)B 　 (2)B 【 引申探究 】 1 ．本例 (2) 中条件不变，若第三组抽得的号码为 44 ，则在第八组中抽得的号码是 ________ ． 【 解析 】 在第八组中抽得的号码为 (8 － 3) × 20 ＋ 44 ＝ 144. 【 答案 】 144 2 ．本例 (2) 中条件不变，若在编号为 [481 ， 720] 中抽取 8 人，则样本容量为 ________ ． 【 答案 】 28 【 方法规律 】 (1) 系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大． (2) 使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔． (3) 起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定． 跟踪训练 2 将参加夏令营的 600 名学生编号为 001 ， 002 ， … ， 600. 采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003. 这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300 在第 Ⅰ 营区，从 301 到 495 在第 Ⅱ 营区，从 496 到 600 在第 Ⅲ 营区，三个营区被抽中的人数依次为 ( 　　 ) A ． 26 ， 16 ， 8 B ． 25 ， 17 ， 8 C ． 25 ， 16 ， 9 D ． 24 ， 17 ， 9 【 答案 】 B 题型三　分层抽样 命题点 1 　求总体或样本容量 【 例 3 】 (2017· 东北三校联考 ) 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为 3 ∶ 5 ∶ 7 ，现用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本，其中甲种产品有 18 件，则样本容量 n ＝ ( 　　 ) A ． 54 B ． 90 C ． 45 D ． 126 【 答案 】 B 命题点 2 　求某层入样的个体数 【 例 4 】 (2015· 福建 ) 某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为 ________ ． 【 答案 】 25 【 方法规律 】 分层抽样问题类型及解题思路 (1) 求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． (2) 已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． (3) 确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况． 跟踪训练 3 (1) (2017· 山东滨州一模 ) 某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表 ( 每名学生只参加一个小组 )( 单位：人 ) ． 篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高二 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取 30 人，结果篮球组被抽出 12 人，则 a 的值为 ________ ． (2) (2017· 上海奉贤区上学期期末 ) 某工厂生产 A ， B ， C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2 ∶ 3 ∶ 5 ，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，其中 A 型号产品有 16 件，那么此样本的容量 n ＝ ________ ． 【 答案 】 (1)30 　 (2)80 审题路线图系列 四审图表找规律 【 典例 】 (12 分 ) 某单位有 2 000 名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示： 人数 管理 技术开发 营销 生产 共计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 共计 160 320 480 1 040 2 000 (1) 若要抽取 40 人调查身体状况，则应怎样抽样？ (2) 若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？ (3) 若要抽 20 人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？ 故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取 2 人、 4 人、 6 人、 13 人． (8 分 ) (3) 用系统抽样， 对全部 2 000 人随机编号，号码从 0001 ～ 2000 ，每 100 号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加 100 ， 200 ， … ， 1 900 ，共 20 人组成一个样本． (12 分 ) 【 温馨提醒 】 (1) 本题审题的关键有两点，一是对图表中的人员分类情况和数据要审视清楚；二是对样本的功能要审视准确． (2) 本题易错点是，对于第 (2) 问，由于对样本功能审视不准确，按老、中、青三层分层抽样 . ► 方法与技巧 1 ．简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性；个体间无固定间距． 2 ．系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样． 3 ．分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样． ► 失误与防范 进行分层抽样时应注意以下几点： (1) 分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠． (2) 为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同 .