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- 2021-06-30 发布
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(一) 三角函数、解三角形
A组——抓牢中档小题
1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=________.
解析:sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=.
答案:
2.(2018·苏北四市期末)若函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为,则f 的值为________.
解析:因为f(x)的最小正周期为=,所以ω=10,所以f(x)=sin,所以f =sin=sin=-sin=-.
答案:-
3.(2018·盐城期中)在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的大小为________.
解析:由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7知,a∶b∶c=3∶5∶7,可设a=3k,b=5k,c=7k,且角C是最大内角,由余弦定理知cos C===-,因为0°a,所以B=或.
答案:或
6.(2018·南京、盐城一模)将函数y=3sin的图象向右平移φ个单位后,所得函数为偶函数,则φ=________.
解析:将函数y=3sin的图象向右平移φ个单位后,所得函数为f(x)=3sin,即f(x)=3sin.因为f(x)为偶函数,所以-2φ=+kπ,k∈Z,所以φ=--,k∈Z,因为0<φ<,所以φ=.
答案:
7.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2b=a+c,若sin B=,cos B=,则b的值为________.
解析:∵sin B=,cos B=,sin2B+cos2B=1,∴ac=15,又∵2b=a+c,∴b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-18=(a+c)2-48=4b2-48,解得b=4.
答案:4
8.(2018·盐城三模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数,且其图象的两条相邻对称轴间的距离为,则f的值为________.
解析:f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin,由题意知,T=×2=π=,解得ω=2.由函数f(x)为偶函数得,f(0)=2sin=±2,又因为0<φ<π,所以φ=,f(x)=2sin2x+=2cos 2x,故f=2cos=.
答案:
9.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则cos(α-β)=________.
解析:因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以α+β=2kπ+π,k∈Z,所以cos(α-β)=cos(2α-2kπ-π)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=-=-.
答案:-
10.(2018·无锡期末)设函数f(x)=sin2x-cos xcos,则函数f(x)在区间上的单调递增区间为________.
解析:f(x)=+cos xsin x=-cos 2x+sin 2x=sin+.令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,当k=0时,-≤x≤,故f(x)在上的单调递增区间是.
答案:
11.(2018·南通、扬州、泰州、淮安三调)在锐角△ABC中,AB=3,AC=4.若△ABC的面积为3,则BC=________.
解析:因为b=4,c=3,由S△ABC=bcsin A=6sin A=3,解得sin A=,因为△ABC是锐角三角形,所以cos A==或求出锐角A=,再求cos A=,在△ABC中,由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A=16+9-2×4×3×=13,所以a=,即BC=.
答案:
12.已知tan=,且-<α<0,则=________.
解析:由tan==,得tan α=-.
又-<α<0,所以sin α=-.
故==2sin α
=-.
答案:-
13.已知cos+sin α=,则sin的值是________.
解析:由cos+sin α=,
可得cos α+sin α+sin α=,
即sin α+cos α=,
∴sin=,sin=,
∴sin=-sin=-.
答案:-
14.(2018·苏锡常镇一模)已知sin α=3sin,则tan=________.
解析:∵sin α=3sin=3sin αcos+3cos α·sin=sin α+cos α,∴tan α= .
又tan =tan===2-,
∴tan=
==2-4.
答案:2-4
B组——力争难度小题
1.如图,已知A,B分别是函数f(x)=sin ωx(ω>0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点,且∠AOB=,则该函数的最小正周期是________.
解析:设函数f(x)的最小正周期为T,由图象可得A,B,则·=-3=0,解得T=4.
答案:4
2.△ABC的三个内角为A,B,C,若=tan,则tan A=________.
解析:==-
=-tan=tan=tan,
所以-A-=-,
所以A=-=,所以tan A=tan=1.
答案:1
3.已知α为锐角,cos(α+)=.则sin的值为________.
解析:因为α∈,所以α+∈,
所以sin= =,
因为sin=sin 2=2 sin cos=,cos=cos 2=2 cos2-1=-,所以sin=sin-=sin·cos-cossin=.
答案:
4.函数f(x)=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,若x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=________.
解析:由图象可得A=1,==-,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),将点代入函数f(x)可得0=sin,所以+φ=kπ,所以φ=kπ-(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin.因为,的中点坐标为,又x1,x2
∈,且f(x1)=f(x2),所以x1+x2=×2=,所以f(x1+x2)=sin=.
答案:
5.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a2+b2+2c2=8,则△ABC面积S的最大值为________.
解析:由S=absin C,得S2=a2b2(1-cos2C)=
a2b2,
∵a2+b2+2c2=8,
∴a2+b2=8-2c2,
∴S2=a2b2
=a2b2
=a2b2-≤-=-+c2,
当且仅当a2=b2时等号成立,
由二次函数的性质可知,当c2=时,S2取得最大值,最大值为,故S的最大值为.
答案:
6.(2018·南通基地卷)将函数y=sin的图象向左平移3个单位长度,得到函数y=sinx+φ(|φ|<π)的图象如图所示,点M、N分别是函数f(x)图象上y轴两侧相邻的最高点和最低点,设∠MON=θ,则tan(φ-θ)的值为________.
解析:将函数y=sin的图象向左平移3个单位长度,得到函数y=sin,所以φ=π,M(-1,),|OM|=2,N(3,-),ON=2,|MN|=2,由余弦定理可得,cos θ==-,θ=,tan(φ-θ)=tan==-2+.
答案:-2+