衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题一 集合的基本关系与运算 5页

衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题一集合的基本关系与运算 ‎【方法综述】‎ 一、子集——集合问题的核心 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作：A⊆B或B⊇A.当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作A⃘B或B⊉A.‎ 例1设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|(x－a)·(x2－1)＝0}，当a为何值时，A⊆B?‎ 分析　集合A，B都是用“描述法”表示的方程的解集，为了比较A和B的关系，先考虑将A和B进行化简．‎ 解　易得集合A＝{1,2}．当a＝1或a＝－1时，B＝{－1,1}，此时A⃘B；当a≠1且a≠－1时，B＝{－1,1，a}．要使A⊆B，则a＝2.‎ 故当a＝2时，A⊆B.‎ 二、交集——两集合间的“且运算”‎ 由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，其中关键词为“且”．‎ 例2设全集U＝Z，集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2－x＝0}，则A∩(∁UB)＝________.‎ 分析　先求出集合B，再按集合相关运算法则求解．‎ 解析　因为B＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，‎ 所以A∩(∁UB)＝{－1,2}．‎ 答案　{－1,2}‎ 三、并集——两集合间的“或运算”‎ 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，其中关键词为“或”．‎ 例3若全集U＝R，集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＝y＋1，y∈A}，求A∪B.‎ 分析　欲求A∪B，先对B进行化简．‎ 解　因为y∈A，即－1＜y＜2，且x＝y＋1，‎ 所以0＜x＜3，即B＝{x|0＜x＜3}．‎ 所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}．‎ 四、补集——全集对子集的“差运算”‎ 一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集，即A⊆U，由U中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做子集A在全集U中的补集，记为∁UA，即∁UA＝{x|x∈U且x∉A}，可以理解为全集对子集的差集．‎ 例4设全集U＝{2,9，a2＋2a－3}，集合A＝{|2a－1|,2}，且∁UA＝{5}，求实数a的值．‎ 解　因为U＝{2,9，a2＋2a－3}，∁UA＝{5}，‎ 所以a2＋2a－3＝5.解得a＝2或a＝－4.‎ 若a＝2，则U＝{2,9,5}，A＝{2,3}，不合题意；‎ 若a＝－4，则U＝{2,9,5}，A＝{2,9}，符合题意．‎ 故a＝－4.‎ 五、等集——一个集合的两种表示 例5已知集合M＝{2，a，b}与集合N＝{2a,2，b2}是同一个集合，求a、b.‎ 分析　此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的性质建立关系式．‎ 解　两个集合为同一个集合，则这两个集合的元素完全相同且与元素的顺序无关，于是 或 解之，得或或 又当a＝0，b＝0时，不满足互异性，应该舍去．‎ 因此或 评注　解决集合相等的问题，易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.‎ 六、集合中学科思想-----数形结合 数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易、化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和Venn图法．‎ 例5已知全集为U，U＝{a|a∈N＋且a≤9}，且(∁UA)∩B＝{1,9}，A∩B＝{2}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,8}，试确定集合A，B.‎ 分析　若能将题设条件中所给出的各个集合中的元素，都能在Venn图上表示出来，那么所要确定的集合A，B中的元素，将会从Venn图上一目了然地得出．‎ 解　将已知条件中的集合 U＝{a|a∈N＋且a≤9}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，‎ ‎(∁UA)∩B＝{1,9}，A∩B＝{2}，‎ ‎(∁UA)∩(∁UB)＝{4,6,8}，在Venn图上表示出来，如图所示．‎ 由Venn图可以直观地得出 A＝{2,3,5,7}，‎ B＝{1,2,9}．‎ 例7 已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a2}‎，则A∪B=‎（ ）‎ A． ‎(-1,3)‎ B． ‎(2,3)‎ C． ‎(-1,+∞)‎ D． ‎‎(2,+∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵‎集合A=‎‎-12‎，‎ ‎∴A∪B=‎x|x>-1‎‎.‎ 故选C.‎ ‎3．已知集合A‎=‎‎0,1,2‎，B=xx(x-2)<0‎,则A∩B=‎ A． ‎1‎ B． ‎0,1‎ C． ‎1,2‎ D． ‎‎0,1,2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ xx-2‎<0⇒0