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- 2021-06-30 发布
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人教A高中数学必修5同步训练
1.若xy>0,则对+说法正确的是( )
A.有最大值-2 B.有最小值2
C.无最大值和最小值 D.无法确定
答案:B
2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是( )
A.400 B.100
C.40 D.20
答案:A
3.已知x≥2,则当x=____时,x+有最小值____.
答案:2 4
4.已知f(x)=+4x.
(1)当x>0时,求f(x)的最小值;
(2)当x<0 时,求f(x)的最大值.
解:(1)∵x>0,∴,4x>0.
∴+4x≥2=8.
当且仅当=4x,即x=时取最小值8,
∴当x>0时,f(x)的最小值为8.
(2)∵x<0,∴-x>0.
则-f(x)=+(-4x)≥2=8,
当且仅当=-4x时,即x=-时取等号.
∴当x<0时,f(x)的最大值为-8.
一、选择题
1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是( )
A.x+ B.x2-1+
C.2x+2-x D.x(1-x)
答案:C
2.函数y=3x2+的最小值是( )
A.3-3 B.-3
C.6 D.6-3
解析:选D.y=3(x2+)=3(x2+1+-1)≥3(2-1)=6-3.
3.已知m、n∈R,mn=100,则m2+n2的最小值是( )
A.200 B.100
C.50 D.20
解析:选A.m2+n2≥2mn=200,当且仅当m=n时等号成立.
4.给出下面四个推导过程:
①∵a,b∈(0,+∞),∴+≥2=2;
②∵x,y∈(0,+∞),∴lgx+lgy≥2;
③∵a∈R,a≠0,∴+a ≥2=4;
④∵x,y∈R,,xy<0,∴+=-[(-)+(-)]≤-2=-2.
其中正确的推导过程为( )
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑.
①∵a,b∈(0,+∞),∴,∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导过程正确;
②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lgx是负数,y∈(0,1)时,lgy是负数,∴②的推导过程是错误的;
③∵a∈R,不符合基本不等式的条件,
∴+a≥2=4是错误的;
④由xy<0得,均为负数,但在推导过程中将全体+提出负号后,(-)均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.
5.已知a>0,b>0,则++2的最小值是( )
A.2 B.2
C.4 D.5
解析:选C.∵++2≥+2≥2=4.当且仅当时,等号成立,即a=b=1时,不等式取得最小值4.
6.已知x、y均为正数,xy=8x+2y,则xy有( )
A.最大值64 B.最大值
C.最小值64 D.最小值
解析:选C.∵x、y均为正数,
∴xy=8x+2y≥2=8,
当且仅当8x=2y时等号成立.
∴xy≥64.
二、填空题
7.函数y=x+(x≥0)的最小值为________.
答案:1
8.若x>0,y>0,且x+4y=1,则xy有最________值,其值为________.
解析:1=x+4y≥2=4,∴xy≤.
答案:大
9.已知x,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为________.
解析:∵x>0,y>0且1=+≥2,∴xy≤3.
当且仅当=时取等号.
答案:3
三、解答题
10.(1)设x>-1,求函数y=x++6的最小值;
(2)求函数y=(x>1)的最值.
解:(1)∵x>-1,∴x+1>0.
∴y=x++6=x+1++5
≥2 +5=9,
当且仅当x+1=,即x=1时,取等号.
∴x=1时,函数的最小值是9.
(2)y===(x+1)+
=(x-1)++2.∵x>1,∴x-1>0.
∴(x-1)++2≥2+2=8.
当且仅当x-1=,即x=4时等号成立,
∴y有最小值8.
11.已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求证:(-1)·(-1)·(-1)≥8.
证明:∵a,b,c∈(0,+∞),a+b+c=1,
∴-1===+≥,
同理-1≥,-1≥,
以上三个不等式两边分别相乘得
(-1)(-1)(-1)≥8.
当且仅当a=b=c时取等号.
12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).
问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
解:设污水处理池的长为x米,则宽为米.
总造价f(x)=400×(2x+2×)+100×+60×200
=800×(x+)+12000
≥1600+12000
=36000(元)
当且仅当x=(x>0),
即x=15时等号成立.