2020年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷【word版本；可编辑；含答案】1 9页

‎2020年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷 一、选择 ‎1.已知集合U=‎-2,-1,0,1,2,3‎,A=‎-1,0,1‎,B=‎‎1,2‎，则‎∁‎UA∪B‎=‎()‎ A.‎-2,3‎ B.‎-2,2,3‎ C.‎-2,-1,0,3‎ D.‎‎-2,-1,0,2,3‎ ‎2.若α为第四象限角，则()‎ A.cos2α>0‎ B.cos2α<0‎ C.sin2α>0‎ D.‎sin2α<0‎ ‎3.在XXXXXXXXXX期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成‎1200‎份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压‎500‎份订单未配货，预计第二天新订单是‎1600‎份的概率为‎0.05.‎志愿者每人每天能完成‎50‎份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于‎0.95‎，则至少需要志愿者()‎ A.‎10‎名 B.‎18‎名 C.‎24‎名 D.‎32‎名 ‎4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌‎9‎块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加‎9‎块.下一层的第一环比上一层的最后一环多‎9‎块，向外每环依次也增加‎9‎块.已知每层环数相同，且下层比中层多‎729‎块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)‎‎()‎ A.‎3699‎块 B.‎3474‎块 C.‎3402‎块 D.‎3339‎块 ‎5.若过点‎2,1‎的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线‎2x-y-3=0‎的距离为()‎ A.‎5‎‎5‎ B.‎2‎‎5‎‎5‎ C.‎3‎‎5‎‎5‎ D.‎‎4‎‎5‎‎5‎ ‎6.数列an中，a‎1‎‎=2‎，am+n‎=‎aman.若ak+1‎‎+ak+2‎+⋯+ak+10‎=‎2‎‎15‎-‎‎2‎‎5‎，则k=()‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎5‎ ‎7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()‎ ‎ 9 / 9‎ A.E B.F C.G D.‎H ‎8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0‎，b>0)‎的两条渐近线分别交于D，E两点.若‎△ODE的面积为‎8‎，则C的焦距的最小值为‎()‎ A.‎4‎ B.‎8‎ C.‎16‎ D.‎‎32‎ ‎9.设函数fx=ln|2x+1|-ln|2x-1|‎，则fx()‎ A.是偶函数，且‎1‎‎2‎‎,+∞‎在单调递增 B.是奇函数，且‎-‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎在单调递减 C.是偶函数，且‎-∞,-‎‎1‎‎2‎在单调递增 D.是奇函数，且‎-∞,-‎‎1‎‎2‎在单调递减 ‎10.已知‎△ABC是面积为‎9‎‎3‎‎4‎的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为‎16π，则O到平面ABC的距离为‎()‎ A.‎3‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎1‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎11.若‎2‎x‎-‎2‎y<‎3‎‎-x-‎‎3‎‎-y，则()‎ A.lny-x+1‎>0‎ B.lny-x+1‎<0‎ C.ln|x-y|>0‎ D.‎ln|x-y|<0‎ ‎12.‎0-1‎周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a‎1‎a‎2‎‎⋯an⋯‎满足ai‎∈‎‎0,1‎i=1,2,⋯‎，且存在正整数m，使得ai+m‎=ai(i=1, 2, ⋯)‎成立，则称其为‎0-1‎周期序列，并称满足ai+m‎=ai(i=1, 2, ⋯)‎的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的‎0-1‎序列a‎1‎a‎2‎‎⋯an⋯,Ck=‎‎1‎mi=1‎maia‎1+kk=1, 2, ⋯, m-1‎是描述其性质的重要指标.下列周期为‎5‎的‎0-1‎序列中，满足Ck≤‎‎1‎‎5‎k=1,2,3,4‎的序列是‎()‎ A.‎11010⋯‎ B.‎11011⋯‎ C.‎10001⋯‎ D.‎‎11001⋯‎ 二、填空题 ‎13.已知单位向量a‎→‎，b‎→‎的夹角为‎45‎‎∘‎‎,ka‎→‎-‎b‎→‎与a‎→‎垂直，则k=‎________.‎ ‎14.‎4‎名同学到‎3‎个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去‎1‎个小区，每个小区至少安排‎1‎名学生，则不同的安排方法有________种．‎ ‎15.设复数z‎1‎‎,‎z‎2‎满足‎|z‎1‎|=|z‎2‎|=2‎，z‎1‎‎+z‎2‎=‎3‎+i，则‎|z‎1‎-z‎2‎|=‎________.‎ ‎16.设有下列四个命题：‎ p‎1‎‎：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．‎ p‎2‎‎：过空间中任意三点有且仅有一个平面．‎ p‎3‎‎：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.‎ p‎4‎‎：若直线l⊂‎平面α，直线m⊥‎平面α，则m⊥l.‎ 则下列命题中所有真命题的序号是________.‎ ‎ 9 / 9‎ ‎①p‎1‎‎∧‎p‎4‎；②p‎1‎‎∧‎p‎2‎；③‎¬p‎2‎∨‎p‎3‎；④‎¬p‎3‎∨¬‎p‎4‎.‎ 三、解答题 ‎17.‎△ABC中，sin‎2‎A-sin‎2‎B-sin‎2‎C=sinBsinC.‎ ‎(1)‎求A；‎ ‎(2)‎若BC=3‎，求‎△ABC周长的最大值．‎ ‎18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的‎200‎个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取‎20‎个作为样区，调查得到样本数据xi‎,‎yii=1,2,⋯,20‎，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得i=1‎‎20‎xi‎=60‎，i=1‎‎20‎yi‎=1200‎，i=1‎‎20‎xi‎-‎x‎¯‎‎2‎‎=80‎，i=1‎‎20‎yi‎-‎y‎¯‎‎2‎‎=9000‎，i=1‎‎20‎xi‎-‎x‎¯‎yi‎-‎y‎¯‎‎=800‎.‎ ‎(1)‎求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；‎ ‎(2)‎求样本xi‎,‎yii=1,2,⋯,20‎的相关系数（精确到‎0.01‎）；‎ ‎(3)‎根据现有统计资料，各地块间植物短盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．‎ 附：相关系数：r=‎i=1‎nxi‎-‎x‎¯‎yi‎-‎y‎¯‎i=1‎nxi‎-‎x‎¯‎‎2‎i=1‎nyi‎-‎y‎¯‎‎2‎，‎2‎‎≈1.414‎.‎ ‎ 9 / 9‎ ‎19.已知椭圆C‎1‎‎:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的右焦点F与抛物线C‎2‎的焦点重合．C‎1‎的中心与C‎2‎的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C‎1‎于A，B两点，交C‎2‎于C，D两点．且‎|CD|=‎4‎‎3‎|AB|‎.‎ ‎(1)‎求C‎1‎的离心率；‎ ‎(2)‎设M是C‎1‎与C‎2‎的公共点．若‎|MF|=5‎，求C‎1‎与C‎2‎的标准方程．‎ ‎20.如图已知三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的底面是正三角形，侧面BB‎1‎C‎1‎C是矩形，M，N分别为BC，B‎1‎C‎1‎的中点，P为AM上一点，过B‎1‎C‎1‎和P的平面交AB于E，交AC于F．‎ ‎(1)‎证明：AA‎1‎//MN，且平面A‎1‎AMN⊥‎面EB‎1‎C‎1‎F.‎ ‎(2)‎设O为‎△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的中心，若AO//‎面EB‎1‎C‎1‎F，且AO=AB，求直线B‎1‎E与平面A‎1‎AMN所成角的正弦值．‎ ‎ 9 / 9‎ ‎21.已知函数fx=sin‎2‎xsin2x.‎ ‎(1)‎讨论f(x)‎在‎0,π上的单调性；‎ ‎(2)‎证明：‎|f(x)|≤‎‎3‎‎3‎‎8‎；‎ ‎(3)‎证明：sin‎2‎xsin‎2‎2xsin‎2‎4x⋯sin‎2‎‎2‎nx≤‎‎3‎n‎4‎n.‎ ‎22.已知曲线C‎1‎‎,‎C‎2‎的参数方程分别为C‎1‎‎：‎x=4cos‎2‎θ，‎y=4sin‎2‎θ(θ为参数)，C‎2‎‎：‎x=t+‎1‎t，‎y=t-‎‎1‎t(t为参数).‎ ‎(1)‎将C‎1‎，C‎2‎的参数方程化为普通方程；‎ ‎(2)‎以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C‎1‎，C‎2‎的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.‎ ‎23.已知函数fx=|x-a‎2‎|+|x-2a+1|‎.‎ ‎(1)‎当a=2‎时，求不等式fx≥4‎的解集；‎ ‎(2)‎若fx≥4‎，求a的取值范围.‎ ‎ 9 / 9‎ 参考答案与试题解析 ‎2020年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷 一、选择 ‎1.A ‎2.D ‎3.B ‎4.C ‎5.B ‎6.C ‎7.A ‎8.B ‎9.D ‎10.C ‎11.A ‎12.C 二、填空题 ‎13.‎‎2‎‎2‎ ‎14.‎‎36‎ ‎15.‎‎2‎‎3‎ ‎16.①③④‎ 三、解答题 ‎17.解：‎(1)‎在‎△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为a,b,‎c，‎ ‎∵sin‎2‎A-sin‎2‎B-sin‎2‎C=sinBsinC，‎ 由正弦定理得，a‎2‎‎-b‎2‎-c‎2‎=bc，‎ 即b‎2‎‎+c‎2‎-a‎2‎=-bc，‎ 由余弦定理得，‎ cosA=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc=-‎‎1‎‎2‎‎.‎ ‎∵‎00‎，‎ ‎∵F为C‎2‎的焦点且AB⊥x轴，‎ ‎∴Fp‎2‎‎,0‎.‎ 由抛物线的定义可得，‎|CD|=2p．‎ ‎∵‎|CD|=‎4‎‎3‎|AB|‎.C‎1‎与C‎2‎焦点重合，‎ ‎∴‎c=p‎2‎，2p=‎4‎‎3‎×‎2‎b‎2‎a，‎ 消去p得：‎4c=‎‎8‎b‎2‎‎3a，‎ ‎∴‎3ac=2‎b‎2‎，‎ ‎∴‎3ac=2a‎2‎-2‎c‎2‎，‎ 设C‎1‎的离心率为e，‎ 则‎2e‎2‎+3e-2=0‎，‎ ‎∴e=‎‎1‎‎2‎或e=-2‎（舍），‎ 故C‎1‎的离心率为‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)‎由‎(1)‎知a=2c，b=‎3‎c，p=2c．‎ ‎ 9 / 9‎ ‎∴C‎1‎‎:x‎2‎‎4‎c‎2‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1‎，‎ C‎2‎‎:y‎2‎=4cx‎，‎ 联立两曲线方程，消去y得‎3x‎2‎+16cx-12c‎2‎=0‎，‎ ‎∴‎3x-2cx+6c‎=0‎，‎ ‎∴x=‎2‎‎3‎c或x=-6c（舍），‎ 从而‎|MF|=x+p‎2‎=‎2‎‎3‎c+c=‎5‎‎3‎c=5‎，‎ ‎∴c=3‎，‎ ‎∴C‎1‎与C‎2‎的标准方程分别为x‎2‎‎36‎‎+y‎2‎‎27‎=1‎，y‎2‎‎=12x.‎ ‎20.‎(1)‎证明：∵M，N分别为BC，B‎1‎C‎1‎的中点，底面为正三角形，‎ ‎∴B‎1‎N=BM，四边形BB‎1‎NM为矩形，A‎1‎N⊥‎B‎1‎C‎1‎，‎ ‎∴BB‎1‎//MN，而AA‎1‎//BB‎1‎，MN⊥‎B‎1‎C‎1‎∴AA‎1‎//MN，‎ 又∵MN∩A‎1‎N=N，‎ ‎∴面A‎1‎AMN⊥‎面EB‎1‎C‎1‎F.‎ ‎(2)‎‎∵三棱柱上下底面平行，平面EB‎1‎C‎1‎F与上下底面分别交于B‎1‎C‎1‎，∴EF//B‎1‎C‎1‎//BC.‎ ‎∵AO//‎面EB‎1‎C‎1‎F，AO⊂‎面AMNA‎1‎，面AMNA‎1‎∩‎面EB‎1‎C‎1‎F=PN，‎ ‎∴AO//PN，四边形APNO为平行四边形，‎ 而O为正三角形的中心，AO=AB，‎ ‎∴A‎1‎N=3ON，AM=3AP,PN=BC=B‎1‎C‎1‎=3EF.‎ 由‎(1)‎知直线B‎1‎E在平面A‎1‎AMN内的投影为PN直线B‎1‎E与平面A‎1‎AMN所成角即为等腰梯形EFC‎1‎B‎1‎中B‎1‎E与PN所成角在等腰梯形EFC‎1‎B‎1‎中，令EF=1‎，过E作EH⊥‎B‎1‎C‎1‎于H，则 PN=B‎1‎C‎1‎=EH=3‎‎，B‎1‎H=1‎，B‎1‎E=‎‎10‎，sin∠B‎1‎EH=B‎1‎HB‎1‎E=‎‎10‎‎10‎.‎ ‎21.‎(1)‎解：∵fx=2sin‎3‎xcosx，‎ ‎∴‎f‎'‎x‎=2sin‎2‎x‎3cos‎2‎x-sin‎2‎x ‎=-8sin‎2‎xsinx+‎π‎3‎sinx-‎π‎3‎‎.‎ 当x∈‎‎0,‎π‎3‎时，f‎'‎x‎>0, fx单调递增；‎ 当x∈‎π‎3‎‎,‎‎2π‎3‎时，f‎'‎x‎<0, fx单调递减；‎ 当x∈‎‎2π‎3‎‎,π时，f‎'‎x‎>0, fx单调递增；‎ ‎(2)‎证明：由fx=2sin‎3‎xcosx得，fx为R上的奇函数．‎ f‎2‎x‎=4sin‎6‎xcos‎2‎x ‎=4‎1-cos‎2‎x‎3‎cos‎2‎x ‎=‎‎4‎1-cos‎2‎x‎3‎×3cos‎2‎x‎3‎ ‎≤‎4‎‎3‎×(‎3-3cos‎2‎x+3cos‎2‎x‎4‎‎)‎‎4‎=‎‎(‎3‎‎4‎)‎‎3‎‎.‎ 当‎1-cos‎2‎x=3cos‎2‎x，即cosx=±‎‎1‎‎2‎时等号成立，故‎|fx|≤‎‎3‎‎3‎‎8‎.‎ ‎(3)‎证明：由‎(2)‎知：sin‎2‎xsin2x≤‎3‎‎3‎‎8‎=‎‎3‎‎4‎‎3‎‎2‎；‎ sin‎2‎‎2xsin4x≤‎3‎‎3‎‎8‎=‎‎3‎‎4‎‎3‎‎2‎‎；‎ ‎ 9 / 9‎ sin‎2‎‎2‎‎2‎xsin‎2‎‎3‎x≤‎3‎‎3‎‎8‎=‎‎3‎‎4‎‎3‎‎2‎‎；‎ ‎⋯‎ sin‎2‎‎2‎n-1‎xsin‎2‎nx≤‎3‎‎3‎‎8‎=‎‎3‎‎4‎‎3‎‎2‎‎，‎ ‎∴sin‎2‎xsin‎3‎2xsin‎3‎4x⋯sin‎3‎‎2‎n-1‎xsin‎2‎‎2‎nx≤(‎‎3‎‎4‎‎)‎‎3n‎2‎，‎ ‎∴‎sin‎3‎xsin‎3‎2xsin‎3‎4x⋯sin‎3‎‎2‎n-1‎xsin‎3‎‎2‎nx ‎=sinx(sin‎2‎xsin‎3‎2xsin‎3‎4x⋯sin‎3‎‎2‎n-1‎xsin‎2‎‎2‎nx)sin‎2‎nx≤(‎‎3‎‎4‎‎)‎‎3n‎2‎‎，‎ ‎∴sin‎2‎xsin‎2‎2xsin‎2‎4x⋯sin‎2‎‎2‎nx≤‎‎3‎n‎4‎n.‎ ‎22.解：‎‎(1)C‎1‎：‎x=4cos‎2‎θ，①‎y=4sin‎2‎θ，②‎ ‎①‎+‎②得，x+y=4‎，故C‎1‎的普通方程为：x+y-4=0‎.‎ 由x=t+‎1‎t，‎y=t-‎‎1‎t可得x‎2‎‎=t‎2‎+2+‎1‎t‎2‎，③‎y‎2‎‎=t‎2‎-2+‎1‎t‎2‎，④‎ ‎③‎-‎④得，x‎2‎‎-y‎2‎=4‎，故C‎2‎的普通方程为：x‎2‎‎-y‎2‎=4‎.‎ ‎(2)‎联立C‎1‎‎,‎C‎2‎x-y-4=0，‎x‎2‎‎-y‎2‎=4，‎ 解得：x=‎5‎‎2‎，‎y=‎3‎‎2‎，‎所以点P坐标为：P‎5‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎.‎ 设所求圆圆心为Qa,0‎，半径为a，‎ 故圆心Qa,0‎到P‎5‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎的距离为‎(‎5‎‎2‎-a‎)‎‎2‎+(‎3‎‎2‎-0‎‎)‎‎2‎‎=a，‎ 解得a=‎‎17‎‎10‎，所以圆Q的圆心为‎(‎17‎‎10‎, 0)‎，半径为‎17‎‎10‎，‎ 则圆Q的直角坐标方程为：x-‎‎17‎‎10‎‎2‎‎+y‎2‎=(‎‎17‎‎10‎‎)‎‎2‎，‎ 即．x‎2‎‎+y‎2‎-‎17‎‎5‎x=0‎，所以所求圆的极坐标方程为：ρ=‎17‎‎5‎cosθ.‎ ‎23.解：‎(1)‎当a=2‎时，‎fx=‎‎7-2x，x≤3，‎‎1，34.‎ 因此，不等式fx≥4‎的解集为‎{x|x≤‎‎3‎‎2‎或x≥‎11‎‎2‎}‎.‎ ‎(2)‎因为fx=|x-a‎2‎|+|x-2a+1|≥|a‎2‎-2a+1|=‎a-1‎‎2‎，‎ 故当a-1‎‎2‎‎≥4‎，即‎|a-1|≥2‎时，fx≥4‎，‎ 所以当a≥3‎或a≤-1‎时，fx≥4‎；‎ 当‎-1