高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)(第10课)直线与平面垂直(3) 7页

课 题：9．4直线和平面垂直 (三) ‎ 教学目的：‎ ‎1．掌握三垂线定理及其逆定理的证明 ‎2．正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直 教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明 教学难点： 用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 内容分析：‎ 三垂线定理和逆定理是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理和性质定理借助于直线的射影，平面上垂直于斜线射影的直线，则与斜线垂直；相反，平面上的直线若垂直于斜线，则亦垂直干斜线的射影，这就是三垂线定理和逆定理的内容可见，三垂线定理和逆定理有两方面作用一方面，把判定空间两直线垂直的问题转化为判定平面内两直线的垂直问题；另一方面，又把平面上判定两直线垂直问题转化为判定空间两直线垂直问题正是由于三垂线定理及逆定理是使空间两直线垂直与平面内两直线垂直相互转化的工具，它们在空间图形的计算和证明中有着广泛的应用因此它几乎成为高考立体几何中每年必考的内容，关于这部分内容的考查，主要是：‎ ‎（l）在复杂的空间图形中，抽取出三垂线定理或逆定理所涉及的斜线、斜线在平面内的射影、平面内与射影（或斜线）垂直的直线；‎ ‎（2）正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直；‎ ‎（3）能利用三垂线定理或逆定理把空间两直线垂直问题与平面上西直线垂直问题相互转化；‎ ‎（4）利用三垂线定理或逆定理寻求直线与平面所成的角，二面角的平面角，点到平面的距离等 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1直线和平面的位置关系 ‎（1）直线在平面内（无数个公共点）；‎ ‎（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；‎ ‎（3）直线和平面平行（没有公共点）‎ ‎2线面平行的判定 定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 推理模式：‎ ‎3线面平行的性质 定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 推理模式：‎ ‎4 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α ‎5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ‎6 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 二、讲解新课：‎ ‎1 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 已知：分别是平面的垂线和斜线，是在平面内的射影，，且 求证：；‎ 证明：∵‎ ‎∴，又∵‎ ‎∴平面，‎ ‎∴．‎ 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；‎ ‎（2）推理模式： ‎ ‎2．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： ．‎ 注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用 三、讲解范例：‎ 例1 已知：点是的垂心，，垂足为，‎ 求证：．‎ 证明：∵点是的垂心，‎ ‎∴‎ 又∵，垂足为，‎ 所以，由三垂线定理知，．‎ 例2 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 ‎ 已知：∠BAC在α内，PÏa，PE^AB于E，PF^AC于F且PE=PF，PO^a 求证：O在∠BAC的平分线上（即∠BAO=∠CAO）‎ 证明：连接OE，OF ‎ ‎∵PO^a ‎∴EO，FO分别为PE，PF在a上的射影 ‎∵PE=PF ∴OE=OF ‎∵PE^AB，PF^AC ‎ ‎ ∴OE^AB，OF^AC(三垂线定理的逆定理 )‎ ‎∴O到∠BAC两边距离相等 ‎∴O在∠BAC的平分线上 变式：‎ 已知：在平面内，点，垂足分别为，‎ 求证：．‎ 证明：∵，‎ ‎∴（三垂线定理逆定理）‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，又∵，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ 推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那麽斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线 例3．在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心 求证：⑴PH^底面ABC ⑵△ABC是锐角三角形. ‎ 证明：⑴∵PA^PB PA^PC且PB∩PC=P ‎∴PA^侧面PBC ‎ 又∵BCÌ平面PBD ∴PA^BC ‎∵H是△ABC的垂心 ∴AH^BC ‎∵PA∩AH=A ∴BC^截面PAH 又PHÌ平面PAH ∴BC^PH 同理可证：AB^PH 又ABÇBC=B ∴PH^面ABC ‎⑵设AH与直线BC的交点为E，连接PE ‎ 由⑴知PH^底面ABC ∴AE为PE在平面ABC的射影 ‎ 由三垂线定理：PE^BC ‎ ‎ ∵PB^PC即△BPC是直角三角形，BC为斜边 ‎ ∴E在BC边上 由于AE^BC，故B∠C都是锐角 ‎ 同理可证：∠A也是锐角 ∴△ABC为锐角三角形 四、课堂练习：‎ ‎1．选择题 ‎ （1）如图BC是Rt⊿ABC的斜边，过A作⊿ABC所在平面a垂线AP，连PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连PD，那么图中直角三角形的个数是 （ ）‎ ‎ （A）4个 （B）6个 ‎ ‎ （C）7个 （D）8个 ‎ （2）直线a与平面a斜交，则在平面a内与直线a垂直的直线（ ）‎ ‎ （A）没有 （B）有一条 ‎ ‎（C）有无数条 （D）a内所有直线 答案：（1）D (2) C ‎2．填空题 ‎ （1）边长为a的正六边形ABCDEF在平面a内，PA⊥a，PA=a，则P到CD的距离为 ，P到BC的距离为 .‎ A A′‎ C O ‎ （2）AC是平面a的斜线，且AO=a，AO与a成60º角，‎ OCÌa，AA＇⊥a于A＇，∠A＇OC=45º，‎ 则A到直线OC的距离是 ，‎ ‎∠AOC的余弦值是 .‎ 答案：（1）; （2）‎ ‎3．在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，求证：A‎1C⊥平面BC1D.‎ 分析：A‎1C在上底面ABCD的射影AC⊥BD,‎ ‎ A‎1C在右侧面的射影D‎1C⊥C1D,‎ 所以A‎1C⊥BD, A‎1C⊥C1D,从而有A‎1C⊥平面BC1D.‎ 五、小结 ：三垂线定理及其逆定理的证明 用三垂线定理及其逆定理的应用 六、课后作业： ‎ ‎1.（1）下列命题中正确的是 ()‎ ‎①两条异面直线在同一平面内的射影必相交．‎ ‎②与一条直线成等角的两条直线必平行．‎ ‎③与一条直线都垂直的两直线必平行．‎ ‎④同时平行于一个平面的两直线必平行．‎ ‎ （A）①、②；（B）①、③；（C）②、④；（D）以上都不对．‎ ‎（2）平面a过△ABC的重心，B、C在a的同侧，A在a的另一侧，若A、B、C到平面a的距离分别为a、b、c，则a、b、c间的关系为()‎ ‎2a‎=b+c；（B）a=b+c；（C）‎2a=3(b+c)；（D）‎3a=2(b+c)．‎ ‎（3）若斜线和平面所成的角为a，此斜线与此平面内任一直线所成的角为b，则 ‎（A）a≤b；（B）a=b；（C）a≥b；（D）a与b的大小关系不确定．‎ ‎（4）已知正△ABC的边长为，则到三个顶点的距离都为1的平面有 ()‎ ‎1个；（B）3个；（C）5个；（D）7个．‎ ‎（5）若空间Ða的两边分别与Ðb的两边互相垂直，则Ða与Ðb的关系为 ( )‎ 相等；（B）互补；（C）相等或互补；（D）不确定．‎ 答案：⑴D ⑵B ⑶A ⑷C ⑸D ‎2.（1）P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，则O是△ABC的 心；若P到△ABC三个顶点的距离相等，则O是△ABC的 心；若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的 心．‎ ‎（2）已知PA、PB、PC是从点P发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 ．‎ ‎（3）已知直线a∥b，a 平面a，则直线b与平面a的位置关系是 ．‎ ‎（4）AB∥CD，它们都在平面a内，且相距28．EF∥a，且相距15．EF∥AB，且相距17．则EF和CD间的距离为 ．‎ ‎（5）已知△ABC中，AÎa，BC∥a，BC=6，ÐBAC=90°，AB、AC与平面a分别成30°、45°的角．则BC到平面a的距离为 ．‎ 答案：⑴内 ，外 ，垂 ⑵ ⑶b∥a 或 b a ⑷25或39 ⑸‎ δ g b a F E D C B A B1‎ A1‎ ‎3．如图，已知CD是异面直线CA、DB的公垂线，CA^a于A，DB^b于B，a∩b=EF．求证：CD∥EF．‎ 证明：设CD、CA确定平面g，g∩a=AA1．∵CA^a于A，‎ ‎∴CA^AA1．又∵CA^CD，CA、CD、AA1都在平面g内，‎ ‎∴CD∥AA1．设CD、DB确定平面δ，δ∩b=BB1．同理有 CD∥BB1，∴BB1∥CD∥AA1．∵AA1 a，∴BB1∥a．‎ ‎∵BB1 b，a∩b=EF，∴EF∥CD．‎ ‎4．如图，已知AO是四面体ABCD的高，M是AO的中点，连结BM、CM、DM．求证：BM、CN、DM两两垂直．‎ 证明：设正四面体的棱长为a．∵AO是高,∴O是正三角形BCD的中心．‎ O M D C B A 连结OD,则OD=．在Rt△AOD中,AO=,OM=；‎ 在Rt△MOD中，DM=．同理CM=，∴CM2+DM2=CD2．‎ ‎∴CM^DM．同理BM^CM，DM^BM．∴BM、CM、DM两两垂直．‎ N M G F E D C B P A Q ‎5．如图，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC，G是△PAB的重心，E是BC上的一点，且BE=BC，F是PB上的一点，且PF=PB．求证：（1）GF^平面PBC；（2）FE^BC；（3）GE是异面直线PG与BC的公垂线．‎ 证明：（1）连结BG和PG，并延长分别交PA、AB于M和D，‎ 在△PBM中，∵PF=PB，G是△PAB的重心，∴MG=BM，‎ ‎∴GF∥PM．又PA^PB,PA^PC，∴PA^平面PBC，则GF^平面PBC．‎ ‎（2）在EC上取一点Q使CQ=BC，连结FQ，又PF=PB，‎ ‎∴FQ∥PC．∵PB=PC，∴FB=FQ．∵BE=BC，∴E是BQ的中点，∴FE^BQ，即FE^BC．‎ ‎（3）连结GE．∵GF^平面PBC，∴由三垂线定理得GE^BC于E．取BF中点N，连结EN，则EN∥FQ∥PC．∵PC^平面PAB，∴EN^平面PAB．连结NG，那么NG是EG在平面PAB上的射影．在Rt△PDB中，∵NG∥DB，∴NG^PD，由三垂线定理得EG^PD于G，∴GE是异面直线PG与BC的公垂线．‎ ‎6．如图，已知ABCD是矩形，AB=a，AD= b，PA^平面ABCD，PA=‎2c，Q是PA的中点．‎ H E Q P D C B A 求（1）Q到BD的距离；（2）P到平面BQD的距离．‎ 解：（1）在矩形ABCD中，作AE^BD于E，连结QE．‎ ‎∵QA^平面ABCD，由三垂线定理得QE^BE，∴QE的 长是Q到BD的距离．在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，‎ ‎∴AE=．在Rt△QAE中，QA=PA=c，‎ ‎∴QE=．‎ ‎∴Q到BD的距离为．‎ ‎（2）∵平面BQD经过线段PA的中点，∴P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离．在△AQE中，作AH^QE于E．∵BD^AE，BD^QE，∴BD^平面AQE．∴BD^AH，AH^平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离．‎ 在Rt△AQE中，∵AQ=c，AE=，∴AH=．‎ ‎ ∴P到平面BQD的距离为 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎