【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(12) 7页

‎(六十九)‎ ‎1．若过原点的直线l与双曲线－＝1有两个不同交点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)‎ A．(－，]　　　　 B．(－，)‎ C．[－，] D．(－∞，－]∪[，＋∞)‎ 答案　B 解析　∵－＝1，其两条渐近线的斜率分别为k1＝－，k2＝，要使过原点的直线l与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线l的斜率的取值范围应是[0，)∪(－，0]．‎ ‎2．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1，1)为中点的弦的长度为(　　)‎ A．3　　　　　　　　　 B．2 C. D. 答案　C 解析　设y－1＝k(x－1)，∴y＝kx＋1－k.‎ 代入椭圆方程，得x2＋2(kx＋1－k)2＝4.‎ ‎∴(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－4＝0.‎ 由x1＋x2＝＝2，得k＝－，x1x2＝.‎ ‎∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4－＝.‎ ‎∴|AB|＝·＝.‎ ‎3．(2019·辽宁师大附中期中)过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　)‎ A．2 B．－2‎ C. D．－ 答案　D 解析　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，则 两式相减，得＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.‎ 即＋2y(y1－y2)＝0.‎ ‎∴k1＝－，又∵k2＝.‎ ‎∴k1·k2＝－.‎ ‎4．(2019·衡水中学调研)过抛物线x2＝4y的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则＋＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C. D. 答案　D 解析　根据题意，抛物线的焦点为(0，1)，设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，直线CD的方程为y＝－x＋1，由得y2－(2＋4k2)y＋1＝0，由根与系数的关系得yA＋yB＝2＋4k2，所以|AB|＝yA＋yB＋2＝4＋4k2，同理|CD|＝yC＋yD＋2＝4＋，所以＋＝＋＝，故选D.‎ ‎5．(2019·福州外国语学校适应性考试)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，抛物线y＝x2＋与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C．x2－＝1 D.－y2＝1‎ 答案　D 解析　由题意可得c＝，即a2＋b2＝5，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将渐近线方程和抛物线方程y＝x2＋联立，可得x2±x＋＝0，由渐近线和抛物线相切可得Δ＝－4××＝0，即有a2＝4b2，又a2＋b2＝5，解得a＝2，b＝1，可得双曲线的方程为－y2＝1.故选D.‎ ‎6．(2019·潍坊考试)已知抛物线y2＝4x与直线2x－y－3＝0相交于A，B两点，O为坐标原点，设OA，OB的斜率分别为k1，k2，则＋的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　设A(，y1)，B(，y2)，易知y1y2≠0，则k1＝，k2＝，所以＋＝，将x＝代入y2＝4x，得y2－2y－6＝0，所以y1＋y2＝2，＋＝.‎ ‎7．(2019·石家庄质量检测一)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是(　　)‎ A. B．2＋ C．2 D.＋1‎ 答案　B 解析　由题意可知A是F1B的中点，O是F1F2的中点(O为坐标原点)，连接BF2，则OA是△F1BF2的中位线．故OA∥BF2，故F1F2⊥BF2，又∠BF1F2＝60°，|F1F2|＝2c，∴|BF1|＝4c，|BF2|＝2c，∴2a＝4c－2c，∴e＝＝2＋，故选B.‎ ‎8．(2019·沧州七校联考)已知直线l1：y＝kx＋2(k>0)与椭圆C：＋＝1相切，且切点为M，F是椭圆C的左焦点，直线l2过点M且垂直于直线l1，交椭圆于另一点N，则△MNF的面积是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由可得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，‎ 因为直线l1与椭圆C相切于点M，所以Δ＝(16k)2－4(3＋4k2)×4＝48(4k2－1)＝0，‎ 又k>0，所以k＝，M(－1，)，故l2：y＝－2(x＋1)＋＝－2x－，‎ 代入椭圆方程得19x2＋8x－11＝0，‎ 解得x1＝－1，x2＝，则y1＝，y2＝－，‎ 设l2与x轴的交点为A，则A(－，0)，‎ 又F(－1，0)，所以△MNF的面积S＝|AF|·|y2－y1|＝××|－－|＝.故选D.‎ ‎9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F(－c，0)关于直线bx＋cy＝0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　设焦点F(－c，0)关于直线bx＋cy＝0的对称点为P(m，n)，‎ 则所以 所以m＝＝＝(1－2e2)c，n＝＝＝2be2.‎ 因为点P(m，n)在椭圆上，所以＋＝1，即(1－2e2)2e2＋4e4＝1，即4e6＋e2－1＝0，将各选项代入知e＝符合，故选D.‎ ‎10．(2019·福州质检)已知圆C：(x－5)2＋(y－)2＝8，抛物线E：x2＝2py(p>0)上两点A(－2，y1)与B(4，y2)，若存在与直线AB平行的一条直线和C与E都相切，则E的准线方程为(　　)‎ A．x＝－ B．y＝－1‎ C．y＝－ D．x＝－1‎ 答案　C 解析　由题意知，A(－2，)，B(4，)，∴kAB＝＝，设抛物线E上的切点为(x0，y0)，‎ 由y＝，得y′＝，∴＝，∴x0＝1，∴切点为(1，)，‎ ‎∴切线方程为y－＝(x－1)，即2x－2py－1＝0，‎ ‎∵切线2x－2py－1＝0与圆C相切，∴圆心C(5，)到切线的距离为2，即＝2，‎ ‎∴31p2＋18p－49＝0，∴(p－1)(31p＋49)＝0，∵p>0，∴p＝1.‎ ‎∴抛物线x2＝2y的准线方程为y＝－，故选C.‎ ‎11．(2019·广东七校联考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________．‎ 答案　 解析　∵p＝2，＋＝，∴＋＝1，∴|BF|＝.‎ ‎12．(2019·武汉市武昌高三调考)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与准线交于点M，且＝3，则||＝________．‎ 答案　 解析　过点P作PP1垂直准线于P1，由＝3，得|PM|＝2|PF|.‎ 又由抛物线的定义知|PF|＝|PP1|，所以|PM|＝2|PP1|.‎ 由三角形相似，得＝＝＝，所以|PP1|＝，所以||＝.‎ ‎13．(2019·天星联考二)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴交于点A，过A作直线l与抛物线交于M，N两点，则|FM|2＋|FN|2的取值范围为________．‎ 答案　(8，＋∞)‎ 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，其准线x＝－1与x轴交于A(－1，0)，显然直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝k(x＋1)，k≠0，与y2＝4x联立并化简整理得x2＋(2－)x＋1＝0，Δ＝(2－)2－4>0，即>1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝1.‎ 方法一：由抛物线的定义知，|FM|＝x1＋1，|FN|＝x2＋1，则|FM|2＋|FN|2＝(x1＋1)2＋(x2＋1)2＝(x1＋x2)2－2x1x2＋2(x1＋x2)＋2＝(－2)2＋2(－2)＝(－1)2－1>8，即|FM|2＋|FN|2的取值范围为(8，＋∞)．‎ 方法二：由两点间的距离公式，知|FM|2＋|FN|2＝(x1－1)2＋y12＋(x2－1)2＋y22＝(x1－1)2＋4x1＋(x2－1)2＋4x2＝(x1＋x2)2－2x1x2＋2(x1＋x2)＋2＝(－2)2＋2(－2)＝(－1)2－1>8，即|FM|2＋|FN|2的取值范围为(8，＋∞)．‎ ‎14．(2019·河南洛阳第一次统考)已知抛物线C：x2＝2py(y>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．‎ ‎(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线C的方程；‎ ‎(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N，证明：直线AN与抛物线相切．‎ 答案　(1)x2＝2y　(2)略 解析　(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.‎ ‎∴S△ABD＝p2＝1.∴p＝1.‎ ‎∴抛物线C的方程为x2＝2y.‎ ‎(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋，‎ 联立得x2－2kpx－p2＝0.①‎ 设方程①的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.‎ 设A(x1，)，B(x2，)．‎ 设M(kp，k2p＋)，N(kp，－)．‎ ‎∴kAN＝＝＝＝＝.‎ 又∵x2＝2py，∴y′＝.‎ ‎∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝.‎ ‎∴直线AN与抛物线相切．‎ ‎15．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎(1)若＝2，求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．‎ 答案　(1)±2　(2)4‎ 解析　(1)依题意知F(1，0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.‎ 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x，得 y2－4my－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①‎ 因为＝2，所以y1＝－2y2.②‎ 联立①和②，消去y1，y2，得m＝±.‎ 所以直线AB的斜率是±2.‎ ‎(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点．‎ 从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.‎ 因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|＝＝4，‎ 所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.‎ ‎16．(2019·河北唐山一中期末)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，圆O：x2＋y2＝1.‎ ‎(1)若抛物线C的焦点F在圆上，且A为C和圆O的一个交点，求|AF|；‎ ‎(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值．‎ 答案　(1)－1　(2)2　 解析　(1)由题意得F(0，1)，∴C：x2＝4y.‎ 解方程组得yA＝－2，∴|AF|＝－1.‎ ‎(2)设M(x0，y0)，则切线l：y＝(x－x0)＋y0，整理得x0x－py－py0＝0.‎ 由|ON|＝1，得|py0|＝＝.‎ ‎∴p＝且y02－1>0.‎ ‎∴|MN|2＝|OM|2－1＝x02＋y02－1＝2py0＋y02－1＝＋y02－1＝4＋＋(y02－1)≥8，当且仅当y0＝时等号成立．‎ ‎∴|MN|的最小值为2，此时p＝.‎