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- 2021-06-30 发布
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不等式
1．如果af(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
【解析】由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)＝3，即f(x)>3，
如果x<0，则x＋6>3，可得－33，可得x>3或0≤x<1.
综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
故选A．
【答案】A
4．若关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－2)，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．(－2,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．(－∞，－2)∪(0,1) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
【解析】关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－2)，∴a<0，＝－2，∴b＝－2a，∴＝.∵a<0，∴<0，解得x<0或10，≤a恒成立，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．a>
C．a< D．a≤
【解析】因为对任意x>0，≤a恒成立，
所以对x∈(0，＋∞)，a≥max，
而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，
当且仅当x＝时等号成立，∴a≥.
【答案】A
6．若关于x，y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )
A．或 B．或
C．1或 D．1或
【解析】由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得k＝0或1，当k＝0时，表示区域的面积为；当k＝1时，表示区域的面积为，故选A．
【答案】A
7．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( )
A．－4 B．6
C．10 D．17
【解析】解法一(图解法)：已知约束条件所表示的平面区域为下图中的阴影部分(包含边界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y＝－x＋过点B(3,0)时，z取得最小值2×3＋5×0＝6.
解法二(界点定值法)：由题意知，约束条件所表示的平面区域的顶点分别为A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)．将A，B，C三点的坐标分别代入z＝2x＋5y，得z＝10,6,17，故z的最小值为6.
【答案】B
8．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是( )
A．(－3,5) B．(－2,4)
C．[－3,5] D．[－2,4]
【解析】关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为10，b>0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为( )
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
【答案】D
11．已知实数x，y满足且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为( )
A．5 B．3
C． D．
【解析】如图，作出不等式组对应的平面区域，
由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，此时z最大，为6，即x＋y＝6.由得A(3,3)，
∵直线y＝k过点A，∴k＝3.
(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点(x，y)与D(－5,0)的距离的平方，由可行域可知，[(x＋5)2＋y2]min等于D(－5,0)到直线x＋2y＝0的距离的平方．
则(x＋5)2＋y2的最小值为2＝5.故选A．
【答案】A
12．若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为( )
A．16 B．9
C．6 D．1
【解析】∵正数a，b满足＋＝1，∴a＋b＝ab，＝1－>0，＝1－>0，∴b>1，a>1，则＋≥2＝2＝6，∴＋的最小值为6，故选C．
【答案】C
13．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是( )
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1
【解析】∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号．故“x＝2，且y＝1”是“x＋2y＝2”的充分不必要条件．故选C.
【答案】C
14．已知实数x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值是( )
A. B.
C．32 D．64
【解析】解法一 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当u＝x－2y经过点A(1,3)时取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此时z＝x－2y取得最大值，即zmax＝－5＝32，故选C.
解法二 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知z＝x－2y的最大值在区域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝x－2y，即可求得最大值．联立得解得A(1,3)，代入可得z＝32；联立得解得B，代入可得z＝；联立得解得C(－2,0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在点A(1,3)处，z＝x－2y取得最大值32，故选C.
【答案】C
15．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A/吨
3
2
12
B/吨
1
2
8
A.15万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
【解析】设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知，z＝3x＋4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时，z＝3x＋4y取得最大值，
由得
∴M(2,3)，故z＝3x＋4y的最大值为18，故选D.
【答案】D
16．已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )
A. B.
C．1 D．2
【解析】由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号．所以解得a＝1，故选C.
【答案】C
17．不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x－2y≥2；
p2：∃ (x，y)∈D，x－2y≥3；
p3：∀(x，y)∈D，x－2y≥；
p4：∃(x，y)∈D，x－2y≤－2.
其中的真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
【解析】不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，
由解得所以M.由图可知，当直线z＝x－2y过点M处时，z取得最小值，且zmin＝－2×＝
，所以真命题是p2，p3，故选A.
【答案】A
18．已知实数x，y满足且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为( )
A．5 B．3
C. D.
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图形可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z的纵截距最大，此时z最大，最大值为6，即x＋y＝6.由得A(3,3)，∵直线y＝k过点A，∴k＝3.(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x＋2y＝0的距离最小，可得(x＋5)2＋y2的最小值为2＝5.故选A.
【答案】A
19．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
【解析】当a＝2时，原不等式为－4<0，恒成立；当a≠2时，函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4是二次函数，若不等式恒成立，则a－2<0且Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)<0，解得－29
【答案】C
22．设0b3 B.<
C．ab>1 D．lg(b－a)0的解集是________________．
【解析】原不等式可转化为|x|2－3|x|＋2>0，解得|x|<1或|x|>2，所以x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)．
【答案】(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)
24．已知函数f(x)＝sinπx(0
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