北京市东城区10-11学年高一数学下学期期末考试新人教A版 6页

北京市东城区（南片）2010-2011学年下学期高一年级期末统一测试数学试卷 本试卷共100分。考试时间120分钟。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎ 1. 下列命题中正确的是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎ 2. 函数的最小正周期为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 3. 已知向量，，，且，则的值分别为 ‎ A. ，1 B. ，‎2 ‎ C. 2， D. 1，‎ ‎ 4. 已知，且在第三象限，则的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 5. 不等式和同时成立的充要条件是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎ 6. 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎ 7. 如图，，，是上的三等分点，则的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 8. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 9. 若有实数，使得方程在上有两个不相等的实数根，则的值为 ‎ A. B. ‎0 ‎ C.1 D. ‎ ‎ 10. 在中，内角的对边分别是，若，，则的值为 ‎ A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。‎ ‎ 11. 在区间上随机取一个数，则的概率为____________。‎ ‎ 12. 在数列中，，，前项和为，则=_______。‎ ‎ 13. 若，，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是______________（写出所有正确命题的编号）。‎ ‎ ①； ②； ③；‎ ‎ ④ ⑤。‎ ‎ 14. 已知。则___________。‎ ‎ 15. 如图所示，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成。现有‎36m长的钢筋网材料，则可围成的每间虎笼面积最大为_________m2。‎ ‎ 16. 已知是内的一点，且。定义：‎ ‎，其中分别为的面积，若，则的最小值为______________________，此时__________________。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎ 17. （本题9分）甲袋中有3只白球、7只红球、15只黑球；乙袋中有10只白球、6只红球、9只黑球。‎ ‎ （1）从甲袋中任取一球，求取到白球的概率；‎ ‎（2）从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率；‎ ‎（3）从两袋中各取一球，求两球颜色不同的概率。‎ ‎ 18. （本题9分）在平面直角坐标系中，点、、。‎ ‎ （1）求以线段为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ ‎（2）当为何值时，与垂直；‎ ‎（3）当为何值时，与平行，平行时它们是同向还是反向。‎ ‎ 19. （本题8分）在中，角所对的边分别为，已知。‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）当，时，求及的长。‎ ‎ 20. （本题8分）已知等差数列满足：，的前项和为。‎ ‎ （1）求及；‎ ‎（2）令（其中为常数，且），求证数列为等比数列。‎ ‎ 21. （本题9分）设函数。‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎（2）求的最小值及取最小值时的集合；‎ ‎（3）求的单调递增区间。‎ ‎ 22. （本题9分）给出下面的数表序列：‎ 表1‎ 表2‎ 表3‎ ‎…‎ ‎1‎ ‎1 3‎ ‎1 3 5‎ ‎4‎ ‎4 8‎ ‎12‎ ‎ 其中表有行，第1行的个数是1，3，5，…，，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。‎ ‎ （1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表（不要求证明）；‎ ‎ （2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为，求数列的前项和。‎ ‎【试题答案】‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。‎ 题目 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D D B A B C D C A A 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。‎ ‎ 11. 12. 13. ①，③，⑤（少选一个扣1分）‎ ‎14. 15. 16. 9，（第一空2分，第二空1分）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎ 17. 解：（1）从甲袋中任取一球，取到白球的概率为； ………………………3分 ‎（2）从两袋中各取一球，两球颜色相同的概率 ‎； ………………………6分 ‎（3）从两袋中各取一球，两球颜色不同的概率。……………9分 ‎ 18. 解：（1）（方法一）由题设知，，则 ‎ ，。‎ ‎ 所以，。‎ ‎ 故所求的两条对角线的长分别为、。……………………………………3分 ‎ （方法二）设该平行四边形的第四个顶点为，两条对角线的交点为，则：‎ ‎ 为的中点，‎ ‎ 又为的中点，所以 ‎ 故所求的两条对角线的长分别为；‎ ‎ （2）由题设知：，。‎ ‎ 由与垂直，得：。‎ ‎ 即，‎ ‎ 从而，所以。 …………………………………………………6分 ‎ （3）由题设知：，。‎ ‎ 由//，得。解得：。‎ ‎ 此时，，所以它们方向相反。 ……………9分 ‎ 19. （1）解：因为，及，‎ 所以。 ………………………………………………………4分 ‎ （2）解：当，时，由正弦定理，得。‎ ‎ 由，及得。‎ ‎ 由余弦定理，得。‎ ‎ 解得或。‎ ‎ 所以或 …………………………………………………8分 ‎ 20. 解：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有 ‎ 解得。‎ ‎ 所以；。 ………4分 ‎ （2）由（1）知，所以 ‎ 。（常数，）‎ ‎ 所以，数列是以为首项。为公比的等比数列。 …………………8分 ‎ 21. 解：（1）。 ………3分 ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 。‎ ‎ 因为，所以，所以。‎ 所以函数的最小值为0。‎ 此时，即。所以的取值集合为。 ……………6分 ‎ （3）由（2）可知：。‎ ‎ 设，则原函数为。‎ ‎ 因为为减函数，所以的减区间就是复合函数的增区间。‎ ‎ 由，得。‎ ‎ 所以，函数的单调递增区间是。………………………………………9分 ‎ 22. 解：（1）表4为 ‎1 3 5 7‎ ‎ 4 8 12‎ ‎ 12 20‎ ‎ 32‎ ‎ 它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列。‎ ‎ 将这一结论推广到表，‎ ‎ 表的第1行是1，3，5，…，，其平均数是。‎ ‎ 即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列。 …………………………………………………………………………………4分 ‎ （2）由（1）知，表中最后一行的唯一一个数为。‎ ‎ 设 ‎ ①‎ ‎ 设 ②‎ ‎ 由①－②得，‎ ‎ ‎ ‎ 整理，得 ‎ …………………………………………………9分