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- 2021-06-30 发布
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课时作业14 导数与函数的单调性
[基础达标]
一、选择题
1．[2019·厦门质检]函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．(1，＋∞) D．(0,2)
解析：由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－≤0，解得00时，－12；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.
则函数f(x)的大致图象是( )
解析：根据信息知，函数f(x)在(－1,2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C.
答案：C
3．[2019·南昌模拟]已知奇函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，若x>0时，f′(x)>0，则( )
A．f(0)>f(log32)>f(－log23)
B．f(log32)>f(0)>f(－log23)
C．f(－log23)>f(log32)>f(0)
D．f(－log23)>f(0)>f(log32)
解析：因为f′(x)是奇函数，所以f(x)是偶函数．而|－log23|＝log23>log22＝1,00时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(0)0
解析：函数f(x)＝x3－ax为R上增函数的一个充分不必要条件是f′(x)＝3x2－a>0在R上恒成立，所以a<(3x2)min.因为(3x2)min＝0，所以a<0，故选B.
答案：B
5．[2019·长沙市，南昌市部分学校高三第一次联合模拟]若函数f(x)＝(2x2－mx＋4)ex在区间[2,3]上不是单调函数，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：因为f(x)＝(2x2－mx＋4)ex，所以f′(x)＝[2x2＋(4－m)x＋4－m]ex，因为函数f(x)在区间[2,3]上不是单调函数，所以f′(x)＝0在区间(2,3)上有根，即2x2＋(4－m)x＋4－m＝0在区间(2,3)上有根，所以m＝在区间(2,3)上有根，令t＝x＋1，则x＝t－1，t∈(3,4)，所以m＝＝＝2在t∈(3,4)上有根，从而求得m的取值范围为，故选B.
答案：B
二、填空题
6．[2019·广州模拟]已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex，x∈R，e为自然对数的底数．则函数f(x)的单调递增区间为________．
解析：因为f(x)＝(－x2＋2x)ex，
所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.
令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，
因为ex>0，所以－x2＋2>0，解得－f(2)>f(3)＝f(－3)．
答案：f(－3)2，则f(x)>2x＋4的解集为________．
解析：由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0.设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2.因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1.
答案：(－1，＋∞)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解析：(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，
知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，
则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)的减区间为(0,5)；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)的增区间为(5，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其中t≠0，求f(x)的单调区间．
解析：f′(x)＝12x2＋6tx－6t2.
令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝.
因为t≠0，所以分两种情况讨论：
(1)若t<0，则<－t.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－t，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
所以f(x)的单调递增区间是，(－t，＋∞)；f(x)的单调递减区间是.
(2)若t>0，则－t<.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－t)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－t)，；f(x)的单调递减区间是.
[能力挑战]
11．[2019·河南八市联考]已知函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．
解析：(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝，由f′(x)<0得0
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