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  • 2021-06-30 发布

广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练:导数及其应用

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广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练 导数及其应用 一、选择、填空题 ‎1、(广州市2018届高三4月综合测试(二模))已知函数e的图象在点处的切线过点,则 .‎ ‎2、(深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考)已知定义在上的可导函数满足,设,,则的大小关系是( )‎ A. B. C. D.的大小与有关 ‎3、(仲元中学等七校2019届高三第一次(8月)联考)已知函数,若,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、(广州市2019届高三3月综合测试(一))如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T。若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数的图象大致是 ‎5、(广州市2019届高三12月调研)已知过点作曲线的切线有且仅有两条,则实数的取值范围是 .‎ ‎6、(惠州市2019届高三4月模拟)设函数在上可导,其导函数为,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是( )‎ ‎7、(惠州市2019届高三4月模拟)已知直线分别与直线、曲线交于点A、B,则线段AB长度的最小值为_____________.(其中常数,是自然对数的底数)‎ ‎8、(江门市 2019届普通高中高三调研)设函数,其中,,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎9、(揭阳市2019届高三学业水平考试)已知函数,其中是自然对数的底,若,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎10、(汕头市2019年普通高考第一次模拟)已知函数 f (x) = (bx -1)ex + a ( a,bÎR ).若曲线 y = f ( x) 在点(0,f (0)) 处的切线方程为y = x, 则 a + b = ___________.‎ ‎11、(深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考)设函数,直线是曲线的切线,则的最小值是( )‎ A. B. ‎1 C. D. ‎ ‎12、(湛江市2019届高三调研)曲线在点处的切线方程为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎13、(中山一中等七校2019届高三第二次(11月)联考)定义在上的连续可导函数,若当时有,则下列各项正确的是(  ) ‎ A. B.‎ C. D.与大小不定 ‎14、(珠海市2019届高三上学期期末)曲线的图象在点 处的切线斜率为2,则实数的值为_______.‎ ‎15、(佛山市2019届高三教学质量检测(一))若曲线y=ex在x=0处的切线,也是y=lnx+b的切线,则b=(  )‎ A.﹣1  B.‎1 ‎C.2 D.e ‎16、(深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考)已知函数的图象在点处的切线过点,则.‎ ‎17、(韶关市2018届高三调研)设曲线在处的切线方程为,则( )‎ A. B. C. D. ‎ 参考答案:‎ 一、选择、填空题 ‎1、1  2、B   3、D   4、B   5、‎ ‎6、答案:C 解析:∵函数在R上可导,其导函数,且函数在处取得极小值, ∴当时,;当时,;当时,.‎ ‎∴当时,;当时,;‎ 当或时,.故选:C.‎ ‎7、答案:‎ 解析:【解析1】,又,,‎ 令,,,再由单调性的变化可判断,即线段的最小值为,故答案为.‎ ‎【解析2】,设与平行的的切线的点为,‎ 则切线斜率为,,所以,,切线方程为,‎ 则线段长度的最小值就是被直线与切线截得的线段长,‎ 因为取任何值时,被两平行线截得的线段长相等,所以令,得,‎ 线段的最小值为,故答案为.‎ ‎8、B   9、D   10、3‎ ‎11、C   12、A   13、C   14、-1   15、C ‎16、-5   17、B 二、解答题 ‎1、(广州市2018届高三3月综合测试(一))已知函数.‎ ‎(1)若的极值为,求的值;‎ ‎(2)若时,恒成立,求的取值范围.‎ ‎2、(深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考)已知函数.‎ ‎(1)当时,讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若不等式对于任意成立,‎ 求正实数的取值范围.‎ ‎3、(深圳市宝安区2019届高三9月调研)已知函数 ‎(1)当时,若函数恰有一个零点,求实数的取值范围;‎ ‎(2)当时,恒成立,求的取值范围.‎ ‎4、(仲元中学等七校2019届高三第一次(8月)联考)已知函数.‎ ‎(1)若曲线在处切线的斜率为,求此切线方程;‎ ‎(2)若有两个极值点,求的取值范围,并证明:.‎ ‎5、(广州市2019届高三3月综合测试(一))已知函数,,其中 ‎(1)讨论函数与的图象的交点个数;‎ ‎(2)若函数与的图象无交点,设直线与的数和的图象分别交于点P,Q.证明:。‎ ‎6、(广州市2019届高三12月调研)已知函数e.‎ ‎(1)若e,求的单调区间;‎ ‎(2)当时,记的最小值为,求证:.‎ ‎7、(惠州市2019届高三4月模拟)已知函数,.‎ ‎(1)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)令,若,函数有两个零点,‎ 求实数的取值范围.‎ ‎8、(惠州市2019届高三第二次(10月)调研)已知函数(为实数)的图象在点处的切线方程为.‎ ‎(1)求实数的值及函数的单调区间;‎ ‎(2)设函数,且,‎ 证明:.‎ ‎9、(江门市 2019届普通高中高三调研)已知函数(是自然对数的底数),,是常数且.‎ ‎(Ⅰ)若是曲线的一条切线,求的值;‎ ‎(Ⅱ)若在时恒成立,求的取值范围.‎ ‎10、(揭阳市2019届高三学业水平考试)已知函数. ‎ ‎(1)求函数的单调递减区间;‎ ‎(2)求实数的值,使得是函数唯一的极值点.‎ ‎11、(雷州市2019届高三上学期期末)已知函数,其中a∈R.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当 时,设、为曲线上任意两点,曲线在点处的切线斜率为k,证明:.‎ ‎12、(汕头市2019年普通高考第一次模拟)已知.‎ ‎(1)设是的极值点,求实数a的值,并求的单调区间;‎ ‎(2)当a>0时,求证:.‎ ‎13、(深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考)已知。‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围。‎ ‎14、(湛江市2019届高三调研)设函数().‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)记函数的最小值为,证明:.‎ ‎15、(肇庆市2019届高三第二次(1月)统一检测)已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若有两个零点,求的取值范围.‎ ‎16、(中山一中等七校2019届高三第二次(11月)联考)已知函数 ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)当时,求函数的零点个数.‎ ‎17、(珠海市2019届高三上学期期末)已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调性;‎ ‎(2)当函数有两个不同零点时,设两个零点分别为,求证.‎ ‎18、(佛山市2019届高三教学质量检测(一))已知a是常数函数f(x)=(x﹣alnx)lnx﹣x.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若0<a<1,证明:f(ea)>﹣1.‎ 参考答案:‎ 二、解答题 ‎1、‎ ‎2、解:(1)函数的定义域为.‎ ‎.……1分 ‎① 若,则 ‎ 当或时,,单调递增;‎ ‎ 当时,,单调递减; ……3分 ‎②若,则当时,,单调递减;‎ ‎ 当时,,单调递增;……4分 综上所述,当时,函数在上单调递增,在上单调递减;‎ 当时,函数在上单调递减,在和上单调递增.……5分 ‎(2)原题等价于对任意,有成立,‎ 设,所以.………………6分 ‎ ‎. ‎ ‎ 令,得;令,得.‎ ‎∴ 函数在上单调递减,在上单调递增,……………7分 为与中的较大者. ‎ 设,‎ 则,‎ ‎∴ 在上单调递增,故,所以,‎ 从而. ……9分 ‎∴ 即.‎ 设,则.所以在上单调递增.‎ 又,所以的解为. ‎ ‎∵, ∴ 的取值范围为. ……12分 ‎3、.解:(1)函数的定义域为.‎ 当时,,所以.‎ ‎①当时,,时无零点.‎ ‎②当时,,所以在上单调递增, ‎ 取,则,‎ 因为,所以,此时函数恰有一个零点. ………………3分 ‎③当时,令,解得.‎ 当时,,所以在上单调递减;‎ 当时,,所以在上单调递增.‎ 要使函数有一个零点,则即. ‎ 综上所述,若函数恰有一个零点,则或. ………………6分 ‎(2)令,‎ 根据题意,当时,恒成立,又.………………8分 ‎①若,则时,恒成立,所以在上是增函数,‎ 且,所以不符题意.‎ ‎②若时,则时,恒成立,所以在上是增函数,‎ 且,所以不符题意.‎ ‎③当时,则时,恒有,故在上是减函数,‎ 于是“对任意都成立”的充要条件是,‎ 即,解得,故.‎ 综上,的取值范围是. ………………12分 ‎4、解:(1)∵,∴,解得, ……1分 ‎∴,故切点为, ……2分 所以曲线在处的切线方程为. ……3分 ‎(2),令,得.‎ 令,则,‎ 且当时,;当时,;时,.‎ 令,得,‎ 且当时,;当时,.‎ 故在递增,在递减,所以. ‎ 所以当时,有一个极值点;‎ ‎ 时,有两个极值点;‎ 当时,没有极值点.‎ 综上,的取值范围是. ……7分 ‎(方法不同,酌情给分)‎ 因为是的两个极值点,所以即…①‎ 不妨设,则,,‎ 因为在递减,且,所以,即…②.‎ 由①可得,即,‎ 由①,②得,所以. ……12分 ‎5、‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6、(1)解:当时, ,的定义域是 ……1分 ‎, …………………………………2分 当时,;当时,. …………………………………3分 所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为. …………………………4分 ‎(2)证明:由(1)得的定义域是,,‎ 令,则,在上单调递增,……………………5分 因为,‎ 所以,,‎ 故存在,使得. ………………………………6分 当时,,,单调递减;‎ 当时,,,单调递增;‎ 故时,取得最小值,即, …………………8分 由得, ……………………9分 令,,则,‎ 当时,,单调递增, …………………………10分 当时,,单调递减,…………………………11分 故,即时,取最大值1,故. ………………12分 ‎7、【解析】(1)函数的定义域为…………1分 当时, ‎ ‎…………2分 令得,解得,‎ 令得,解得,…………3分 所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为………4分 ‎(2), ‎ ‎…………5分 由得…………6分 ‎①当时,,函数在上单调递增,‎ 所以,即,函数在上没有零点。…………7分 ‎②当时,时,,时,‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递增…………8分 因为,…………9分 所以函数在有两个零点只需…………10分 解得…………11分 综上所述,实数a的取值范围为…………12分 ‎8、【解析】(1)由题得,函数的定义域为,, ‎ 因为曲线在点处的切线方程为,‎ 所以…………1分 解得.…………2分 令,得,‎ 当时, , 在区间内单调递减;…………3分 当时, , 在区间内单调递增. …………4分 所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.…………5分 ‎(2)法一:,‎ 当时,单调递减,当时,单调递增,‎ ‎ ………………7分 由,不妨设,,,……8分 由时,单调递增,欲证,即 只要证,又,即证,‎ 即要证 (或) ……9分 下证 令,即 ‎ 当时,单调递减, ………………11分 即当时,恒成立, ‎ 即,得证. ………………12分 法二:由(1)得, . ‎ 由,得,即.……6分 要证,需证,即证,…………7分 设,则要证,等价于证: .‎ 令,…………9分 则,…………10分 ‎∴在区间内单调递增, ,…………11分 即,故.…………12分 ‎9、(Ⅰ) ……1分 设为切点,依题意 ……3分 解得 ……4分 ‎(Ⅱ),等价于 ,‎ 等价于, ……5分 设,,则 ……7分 设,,‎ 则 ……8分 时,, ……10分 所以, ……11分 所以,当时,在时恒成立 ……12分 ‎10、解:(1),-----------------------------------------------------------------1分 令,得或,-----------------------------------------------------2分 由得,而不等式组的解集为-----------------------------3分 ‎∴函数的单调递减区间为;----------------------------------------------------------4分 ‎(2)依题意得,显然,---5分 记,,则,‎ 当时,;当时,;‎ 由题意知,为使是函数唯一的极值点,则必须在上恒成立;----------7分 只须,因,‎ ‎①当时,,即函数在上单调递增,‎ 而,与题意不符; --------------------------------------------------------8分 ‎②当时,由,得,即在上单调递减,‎ 由,得,即在上单调递增,‎ 故, ------------------------------------------------------------------------10分 若,则,符合题意;------------------------------------11分 若,则,不合题意;‎ 综上所述,.----------------------------------------------------------------------------------12分 ‎【或由,及,得,‎ ‎∴,解得. -----------------------------------------------------------------12分】‎ ‎11、解:(Ⅰ)函数的定义域为.…………………………………………………1分 ‎.…………………………………………………………………2分 当时,,故的递增区间为.‎ 当时,‎ 若,则,故的增区间为;‎ 若,则,故的减区间为;………………………4分 综上,当时,的增区间为,无减区间;‎ 当时,函数的增区间为,减区间为.……………5分 ‎(Ⅱ)当时,,.‎ 原不等式等价于,…………………………………………………7分 不妨设,则原不等式又等价于,该式可进一步化为:‎ ‎,令 原不等式等价于, ……………9分 下证该不等式成立.‎ 令,则,………………………………10分 故在为增函数,所以即成立,‎ 综上,原不等式成立.…………………………………………………12分 ‎12、‎ ‎13、解(1)……………… 1分 令,则,且在单调递增……………… 2分 若,即时,则;‎ ‎ 所以,,所以在上单调递增;……………… 3分 若,即时,存在唯一零点,……………… 4分 ‎ 则时;时; ‎ ‎ 所以在上单调递减,在上单调递增………………5 分 ‎(2)依题意有 令,则……………… 6分 则 令,则在上单调递增,且;…………… 7分 若,即时,,所以,‎ 所以在单调递增,且,所以成立;………………9 分 若,即时,由于 ‎ 所以,‎ 又因为在上单调递增,所以存在唯一零点,使 时,时,‎ 所以在单调递减,在单调递增,又因为 所以时,不满足条件。………………11 分 综上知实数的取值范围是……………… 12分 ‎14、解:(Ⅰ)显然的定义域为.…………………………………………………1分 ‎ .………3分 ‎ ∵,,‎ ‎ ∴若,,此时,在上单调递减;‎ ‎ 若,,此时,在上单调递增;‎ ‎ 综上所述:在上单调递减,在上单调递增.…………5分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:,‎ ‎ 即:. ………………………………………………………6分 ‎ 要证,即证明,即证明,‎ ‎ 令,则只需证明,……8分 ‎ ∵,且,‎ ‎ ∴当,,此时,在上单调递减;‎ ‎ 当,,此时,在上单调递增,‎ ‎ ∴. ………………………11分 ‎ ∴.‎ ‎ ∴. ……………………………………………………………………12分 ‎15、解:(1), …………1分 若,,在上单调递减; …………2分 若,当时,,即在上单调递减, …………3分 当时,,即在上单调递增. …………4分 ‎(2)若,在上单调递减,‎ 至多一个零点,不符合题意. …………5分 若,由(1)可知,的最小值为 …………6分 令,,所以在上单调递增,‎ 又,当时,,至多一个零点,不符合题意,‎ 当时, …………9分 又因为,结合单调性可知在有一个零点 ‎ …………10分 令,,当时,单调递减,当时,单调递增,的最小值为,所以 当时,‎ 结合单调性可知在有一个零点 综上所述,若有两个零点,的范围是 …………12分 ‎16、解:的定义域为.‎ ‎(1) ,‎ ‎①当时,,故在上单调递增;‎ ‎②当时,令,则,‎ 在上,,单调递增,‎ 在上,,单调递减.‎ 综上所述:当时, 在上单调递增;当时,在上递增,在上递减.……………………………5分 ‎(2) 由(1)可知,当时,在上递增,在上递减.‎ 故,‎ ‎①当,即时,,‎ 此时函数没有零点.‎ ‎②当,即时,,‎ 此时函数有一个零点.‎ ‎③当,即时,,‎ 令且,则,,‎ 故,故在有一个零点;‎ 再者,,‎ 令,则;再令,‎ 则,故在上单调递减,‎ 故,.‎ 故,故在上有一个零点.‎ 故在上有两个零点.‎ 综上所述:当时,函数没有零点;当时,函数有一个零点;当时,函数有两个零点.………………………………………12分 ‎17、解:(1)定义域为,——————1分 若,则,此时在为单调减函数;———————2分 若  当,,此时在为单调增函数;‎ 当,,此时在为单调减函数。————4分 ‎(2)设函数有两个不同零点为,且 由(1)知则必有:,且————————5分 设 ‎ ‎ 所以在为单调增函数————————————————7分 由,‎ 又因为,所以———————9分 由得————————————————10分 因为,得,得,由(1)知当若 在为单调减函数所以,即证得成立。———————————12分 ‎18、‎ ‎ ‎