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- 2021-06-30 发布
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广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练
导数及其应用
一、选择、填空题
1、(广州市2018届高三4月综合测试(二模))已知函数e的图象在点处的切线过点,则 .
2、(深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考)已知定义在上的可导函数满足,设,,则的大小关系是( )
A. B. C. D.的大小与有关
3、(仲元中学等七校2019届高三第一次(8月)联考)已知函数,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4、(广州市2019届高三3月综合测试(一))如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T。若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数的图象大致是
5、(广州市2019届高三12月调研)已知过点作曲线的切线有且仅有两条,则实数的取值范围是 .
6、(惠州市2019届高三4月模拟)设函数在上可导,其导函数为,且函数在处取得极小值,则函数的图象可能是( )
7、(惠州市2019届高三4月模拟)已知直线分别与直线、曲线交于点A、B,则线段AB长度的最小值为_____________.(其中常数,是自然对数的底数)
8、(江门市 2019届普通高中高三调研)设函数,其中,,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是
A. B. C. D.
9、(揭阳市2019届高三学业水平考试)已知函数,其中是自然对数的底,若,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
10、(汕头市2019年普通高考第一次模拟)已知函数 f (x) = (bx -1)ex + a ( a,bÎR ).若曲线 y = f ( x) 在点(0,f (0)) 处的切线方程为y = x, 则 a + b = ___________.
11、(深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考)设函数,直线是曲线的切线,则的最小值是( )
A. B. 1 C. D.
12、(湛江市2019届高三调研)曲线在点处的切线方程为
A. B.
C. D.
13、(中山一中等七校2019届高三第二次(11月)联考)定义在上的连续可导函数,若当时有,则下列各项正确的是( )
A. B.
C. D.与大小不定
14、(珠海市2019届高三上学期期末)曲线的图象在点
处的切线斜率为2,则实数的值为_______.
15、(佛山市2019届高三教学质量检测(一))若曲线y=ex在x=0处的切线,也是y=lnx+b的切线,则b=( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.e
16、(深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考)已知函数的图象在点处的切线过点,则.
17、(韶关市2018届高三调研)设曲线在处的切线方程为,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
一、选择、填空题
1、1 2、B 3、D 4、B 5、
6、答案:C
解析:∵函数在R上可导,其导函数,且函数在处取得极小值,
∴当时,;当时,;当时,.
∴当时,;当时,;
当或时,.故选:C.
7、答案:
解析:【解析1】,又,,
令,,,再由单调性的变化可判断,即线段的最小值为,故答案为.
【解析2】,设与平行的的切线的点为,
则切线斜率为,,所以,,切线方程为,
则线段长度的最小值就是被直线与切线截得的线段长,
因为取任何值时,被两平行线截得的线段长相等,所以令,得,
线段的最小值为,故答案为.
8、B 9、D 10、3
11、C 12、A 13、C 14、-1 15、C
16、-5 17、B
二、解答题
1、(广州市2018届高三3月综合测试(一))已知函数.
(1)若的极值为,求的值;
(2)若时,恒成立,求的取值范围.
2、(深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考)已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若不等式对于任意成立,
求正实数的取值范围.
3、(深圳市宝安区2019届高三9月调研)已知函数
(1)当时,若函数恰有一个零点,求实数的取值范围;
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
4、(仲元中学等七校2019届高三第一次(8月)联考)已知函数.
(1)若曲线在处切线的斜率为,求此切线方程;
(2)若有两个极值点,求的取值范围,并证明:.
5、(广州市2019届高三3月综合测试(一))已知函数,,其中
(1)讨论函数与的图象的交点个数;
(2)若函数与的图象无交点,设直线与的数和的图象分别交于点P,Q.证明:。
6、(广州市2019届高三12月调研)已知函数e.
(1)若e,求的单调区间;
(2)当时,记的最小值为,求证:.
7、(惠州市2019届高三4月模拟)已知函数,.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)令,若,函数有两个零点,
求实数的取值范围.
8、(惠州市2019届高三第二次(10月)调研)已知函数(为实数)的图象在点处的切线方程为.
(1)求实数的值及函数的单调区间;
(2)设函数,且,
证明:.
9、(江门市 2019届普通高中高三调研)已知函数(是自然对数的底数),,是常数且.
(Ⅰ)若是曲线的一条切线,求的值;
(Ⅱ)若在时恒成立,求的取值范围.
10、(揭阳市2019届高三学业水平考试)已知函数.
(1)求函数的单调递减区间;
(2)求实数的值,使得是函数唯一的极值点.
11、(雷州市2019届高三上学期期末)已知函数,其中a∈R.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)当 时,设、为曲线上任意两点,曲线在点处的切线斜率为k,证明:.
12、(汕头市2019年普通高考第一次模拟)已知.
(1)设是的极值点,求实数a的值,并求的单调区间;
(2)当a>0时,求证:.
13、(深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考)已知。
(1)讨论的单调性;
(2)若,求实数的取值范围。
14、(湛江市2019届高三调研)设函数().
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)记函数的最小值为,证明:.
15、(肇庆市2019届高三第二次(1月)统一检测)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
16、(中山一中等七校2019届高三第二次(11月)联考)已知函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,求函数的零点个数.
17、(珠海市2019届高三上学期期末)已知函数.
(1)求函数的单调性;
(2)当函数有两个不同零点时,设两个零点分别为,求证.
18、(佛山市2019届高三教学质量检测(一))已知a是常数函数f(x)=(x﹣alnx)lnx﹣x.
(Ⅰ)讨论函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;
(Ⅱ)若0<a<1,证明:f(ea)>﹣1.
参考答案:
二、解答题
1、
2、解:(1)函数的定义域为.
.……1分
① 若,则
当或时,,单调递增;
当时,,单调递减; ……3分
②若,则当时,,单调递减;
当时,,单调递增;……4分
综上所述,当时,函数在上单调递增,在上单调递减;
当时,函数在上单调递减,在和上单调递增.……5分
(2)原题等价于对任意,有成立,
设,所以.………………6分
.
令,得;令,得.
∴ 函数在上单调递减,在上单调递增,……………7分
为与中的较大者.
设,
则,
∴ 在上单调递增,故,所以,
从而. ……9分
∴ 即.
设,则.所以在上单调递增.
又,所以的解为.
∵, ∴ 的取值范围为. ……12分
3、.解:(1)函数的定义域为.
当时,,所以.
①当时,,时无零点.
②当时,,所以在上单调递增,
取,则,
因为,所以,此时函数恰有一个零点. ………………3分
③当时,令,解得.
当时,,所以在上单调递减;
当时,,所以在上单调递增.
要使函数有一个零点,则即.
综上所述,若函数恰有一个零点,则或. ………………6分
(2)令,
根据题意,当时,恒成立,又.………………8分
①若,则时,恒成立,所以在上是增函数,
且,所以不符题意.
②若时,则时,恒成立,所以在上是增函数,
且,所以不符题意.
③当时,则时,恒有,故在上是减函数,
于是“对任意都成立”的充要条件是,
即,解得,故.
综上,的取值范围是. ………………12分
4、解:(1)∵,∴,解得, ……1分
∴,故切点为, ……2分
所以曲线在处的切线方程为. ……3分
(2),令,得.
令,则,
且当时,;当时,;时,.
令,得,
且当时,;当时,.
故在递增,在递减,所以.
所以当时,有一个极值点;
时,有两个极值点;
当时,没有极值点.
综上,的取值范围是. ……7分
(方法不同,酌情给分)
因为是的两个极值点,所以即…①
不妨设,则,,
因为在递减,且,所以,即…②.
由①可得,即,
由①,②得,所以. ……12分
5、
6、(1)解:当时, ,的定义域是 ……1分
, …………………………………2分
当时,;当时,. …………………………………3分
所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为. …………………………4分
(2)证明:由(1)得的定义域是,,
令,则,在上单调递增,……………………5分
因为,
所以,,
故存在,使得. ………………………………6分
当时,,,单调递减;
当时,,,单调递增;
故时,取得最小值,即, …………………8分
由得, ……………………9分
令,,则,
当时,,单调递增, …………………………10分
当时,,单调递减,…………………………11分
故,即时,取最大值1,故. ………………12分
7、【解析】(1)函数的定义域为…………1分
当时,
…………2分
令得,解得,
令得,解得,…………3分
所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为………4分
(2),
…………5分
由得…………6分
①当时,,函数在上单调递增,
所以,即,函数在上没有零点。…………7分
②当时,时,,时,
所以函数在上单调递减,在上单调递增…………8分
因为,…………9分
所以函数在有两个零点只需…………10分
解得…………11分
综上所述,实数a的取值范围为…………12分
8、【解析】(1)由题得,函数的定义域为,,
因为曲线在点处的切线方程为,
所以…………1分
解得.…………2分
令,得,
当时, , 在区间内单调递减;…………3分
当时, , 在区间内单调递增. …………4分
所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.…………5分
(2)法一:,
当时,单调递减,当时,单调递增,
………………7分
由,不妨设,,,……8分
由时,单调递增,欲证,即
只要证,又,即证,
即要证 (或) ……9分
下证
令,即
当时,单调递减, ………………11分
即当时,恒成立,
即,得证. ………………12分
法二:由(1)得, .
由,得,即.……6分
要证,需证,即证,…………7分
设,则要证,等价于证: .
令,…………9分
则,…………10分
∴在区间内单调递增, ,…………11分
即,故.…………12分
9、(Ⅰ) ……1分
设为切点,依题意 ……3分
解得 ……4分
(Ⅱ),等价于 ,
等价于, ……5分
设,,则 ……7分
设,,
则 ……8分
时,, ……10分
所以, ……11分
所以,当时,在时恒成立 ……12分
10、解:(1),-----------------------------------------------------------------1分
令,得或,-----------------------------------------------------2分
由得,而不等式组的解集为-----------------------------3分
∴函数的单调递减区间为;----------------------------------------------------------4分
(2)依题意得,显然,---5分
记,,则,
当时,;当时,;
由题意知,为使是函数唯一的极值点,则必须在上恒成立;----------7分
只须,因,
①当时,,即函数在上单调递增,
而,与题意不符; --------------------------------------------------------8分
②当时,由,得,即在上单调递减,
由,得,即在上单调递增,
故, ------------------------------------------------------------------------10分
若,则,符合题意;------------------------------------11分
若,则,不合题意;
综上所述,.----------------------------------------------------------------------------------12分
【或由,及,得,
∴,解得. -----------------------------------------------------------------12分】
11、解:(Ⅰ)函数的定义域为.…………………………………………………1分
.…………………………………………………………………2分
当时,,故的递增区间为.
当时,
若,则,故的增区间为;
若,则,故的减区间为;………………………4分
综上,当时,的增区间为,无减区间;
当时,函数的增区间为,减区间为.……………5分
(Ⅱ)当时,,.
原不等式等价于,…………………………………………………7分
不妨设,则原不等式又等价于,该式可进一步化为:
,令 原不等式等价于, ……………9分
下证该不等式成立.
令,则,………………………………10分
故在为增函数,所以即成立,
综上,原不等式成立.…………………………………………………12分
12、
13、解(1)……………… 1分
令,则,且在单调递增……………… 2分
若,即时,则;
所以,,所以在上单调递增;……………… 3分
若,即时,存在唯一零点,……………… 4分
则时;时;
所以在上单调递减,在上单调递增………………5 分
(2)依题意有
令,则……………… 6分
则
令,则在上单调递增,且;…………… 7分
若,即时,,所以,
所以在单调递增,且,所以成立;………………9 分
若,即时,由于
所以,
又因为在上单调递增,所以存在唯一零点,使
时,时,
所以在单调递减,在单调递增,又因为
所以时,不满足条件。………………11 分
综上知实数的取值范围是……………… 12分
14、解:(Ⅰ)显然的定义域为.…………………………………………………1分
.………3分
∵,,
∴若,,此时,在上单调递减;
若,,此时,在上单调递增;
综上所述:在上单调递减,在上单调递增.…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:,
即:. ………………………………………………………6分
要证,即证明,即证明,
令,则只需证明,……8分
∵,且,
∴当,,此时,在上单调递减;
当,,此时,在上单调递增,
∴. ………………………11分
∴.
∴. ……………………………………………………………………12分
15、解:(1), …………1分
若,,在上单调递减; …………2分
若,当时,,即在上单调递减, …………3分
当时,,即在上单调递增. …………4分
(2)若,在上单调递减,
至多一个零点,不符合题意. …………5分
若,由(1)可知,的最小值为 …………6分
令,,所以在上单调递增,
又,当时,,至多一个零点,不符合题意,
当时, …………9分
又因为,结合单调性可知在有一个零点
…………10分
令,,当时,单调递减,当时,单调递增,的最小值为,所以
当时,
结合单调性可知在有一个零点
综上所述,若有两个零点,的范围是 …………12分
16、解:的定义域为.
(1) ,
①当时,,故在上单调递增;
②当时,令,则,
在上,,单调递增,
在上,,单调递减.
综上所述:当时, 在上单调递增;当时,在上递增,在上递减.……………………………5分
(2) 由(1)可知,当时,在上递增,在上递减.
故,
①当,即时,,
此时函数没有零点.
②当,即时,,
此时函数有一个零点.
③当,即时,,
令且,则,,
故,故在有一个零点;
再者,,
令,则;再令,
则,故在上单调递减,
故,.
故,故在上有一个零点.
故在上有两个零点.
综上所述:当时,函数没有零点;当时,函数有一个零点;当时,函数有两个零点.………………………………………12分
17、解:(1)定义域为,——————1分
若,则,此时在为单调减函数;———————2分
若 当,,此时在为单调增函数;
当,,此时在为单调减函数。————4分
(2)设函数有两个不同零点为,且
由(1)知则必有:,且————————5分
设
所以在为单调增函数————————————————7分
由,
又因为,所以———————9分
由得————————————————10分
因为,得,得,由(1)知当若 在为单调减函数所以,即证得成立。———————————12分
18、