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- 2021-06-30 发布
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对应学生用书[练案42理][练案41文]
第四讲 基本不等式
A组基础巩固
一、选择题
1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( C )
A．a＋b≥2 B．＋≥2
C．|＋|≥2 D．a2＋b2>2ab
[解析] 因为和同号，所以|＋|＝||＋||≥2.
2．(2018·武汉模拟)下列命题中正确的是( D )
A．函数y＝sinx＋(00)的最小值为2－4
D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4
[解析] A．sinx＝取到最小值4，则sin2x＝4，显然不成立．因为≥，所以取不到“＝”，故B项不正确；因为x>0时，3x＋≥2·＝4，当且仅当3x＝，即x＝时取“＝”，所以y＝2－(3x＋)有最大值2－4，故C项不正确，D项正确．
3．(2018·西藏林芝期中)若x，y均为正数，则＋＋13的最小值是( C )
A．24 B．28
C．25 D．26
[解析] 因为x，y均为正数，所以由基本不等式得＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当x＝2y时等号成立，故＋＋13的最小值是25，故选C．
4．(2018·广东江门调研)若log3m＋log3n＝4，则m＋n的( D )
A．最大值是9 B．最小值是9
C．最大值是18 D．最小值是18
[解析] ∵log3(mn)＝4，∴mn＝34＝81.又m>0，n>0，m＋n≥2＝18，当且仅当m＝n＝9时等号成立，故选D．
5．(2018·河南平顶山、许昌、汝州联考)若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为( A )
A．4 B．4
C．2 D．2
[解析] ∵3x＋2y＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当3x＋2y＝2且3x＝2y，即x＝，y＝时等号成立，∴8x＋4y的最小值为4，故选A．
6．(2018·湖北稳派教育联考)若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是( C )
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1
[解析] ∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号．故“x＝2，且y＝1”是“x＋2y＝2”的充分不必要条件，故选C．
7．(2018·宁夏月考)若正数x，y满足＋＝1，则x＋3y的最小值为( C )
A．24 B．18
C．12 D．6
[解析] 由＋＝1得x＋3y＝(x＋3y)(＋)＝＋＋6≥2＋6＝12，当且仅当＝，且＋＝1，即x＝6，y＝2时等号成立，所以x＋3y的最小值为12，故选C．
[方法总结] 利用基本不等式求最值的注意事项
利用基本不等式求最值注意三点要求：“一正、二定、三相等”，两个正数的算术平均数不小于这两个正数的几何平均数，一正，这两个数要求是正数：二定，若这两个正数的和为定值，则积有最大值，若这两个正数的积为定值，则和有最小值；三相等，当且仅当这两个数相等时取等号，三者缺一不可．
8．(2018·安徽六安阶段考试)已知m＝a＋(a>2)，n＝23－x2(x<0)，则m，n的大小关系是( A )
A．m>n B．m2，∴a－2>0，则m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝8，即m≥8，当且仅当a＝5时取等号．又当x<0时，3－x2<3，则n＝23－x2<8.综上可得m>n，故选A．
9．(2018·四川成都一诊)已知x≥，则f(x)＝有( D )
A．最大值2 B．最小值2
C．最大值1 D．最小值1
[解析] ∵x≥，∴f(x)＝＝(x－2＋)≥·2＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3或x＝1(舍)时取等号，∴f(x)有最小值1，故选D．
10．(2018·湖南邵阳大联考)已知lg(x＋y)＝lgx＋lgy，则x＋y的取值范围是( D )
A．(0,1] B．[2，＋∞)
C．(0,4] D．[4，＋∞)
[解析] ∵lg(x＋y)＝lgx＋lgy＝lg(xy)，∴x＋y＝xy.∵x>0，y>0，x＋y＝xy≤()2，∴x＋y≥4，故选D．
二、填空题
11．(1)当x>1时，x＋的最小值为__5___；
(2)当x≥4时，x＋的最小值为 .
[解析] (1)∵x>1，∴x－1>0.
∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5.
(当且仅当x－1＝.即x＝3时“＝”号成立)
∴x＋的最小值为5.
(2)因为x≥4，所以x－1≥3.因为函数y＝x＋在[3，＋∞)上为增函数，所以当x－1＝3时，y＝(x－1)＋＋1有最小值.
12．(2018·沈阳模拟)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是 .
[解析] an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
所以＝
＝(n＋＋1)≥(2＋1)＝，
当且仅当n＝4时取等号．
所以的最小值是.
13．(2018·湖南模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产品__80___件．
[解析] 由题意知平均每件产品的生产准备费用是元，则＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，所以每批应生产产品80件．
14．(文)(2019·湖北省荆州市高三上学期第一次质量检查)已知实数a>0，b>0，是8a与2b的等比中项，则＋的最小值是 5＋2 .
(理)(2019·江苏省徐州市高三考前模拟检测)已知正实数m，n满足m＋n＝3，则＋的最小值为__3___.
[解析] (文)8a·2b＝2，∴3a＋b＝1，
＋＝(＋)(3a＋b)
＝5＋＋≥5＋2＝5＋2.当且仅当b＝a时，取“＝”．
(理)＋＝m＋＋
＝m＋＋n－1＋＝2＋＋
＝2＋，
∵m(n＋1)≤()2＝4，∴＋≥3.
B组能力提升
1．(2018·辽宁沈阳五校联考)无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，由下图可证明( D )
A．a2＋b2≥a＋b B．4ab≥a2＋b2
C．a＋b≥2 D．a2＋b2≥2ab
[解析] 从图形可以看出正方形的面积比8个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，8个直角三角形的面积和与正方形的面积相等．因此(a＋b)2≥8×ab＝4ab，所以a2＋b2≥2ab，故选D．
[方法总结] 基本不等式的实际应用
对基本不等式的实际应用单独考查一般出现在客观题中，如果出现在解答题中，那么还会涉及其他知识的应用，解答应用题的关键是建立函数关系式，如果关系式出现了其中两项和或积为定值，则常常考虑利用基本不等式来解决．
2．函数f(x)＝＋(00
∴f(x)＝[(1－x)＋x](＋)
＝＋＋≥＋2＝
(当且仅当2x＝1－x，即x＝时取等号)
∴f(x)的最小值为，故选C．
3．(2018·云南玉溪月考)在△ABC中，若a2＋b2＝2c2，则内角C的最大值为( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵a2＋b2＝2c2，∴由余弦定理得cosC＝≥＝＝，当且仅当a＝b时取等号，∵C是三角形的内角，∴角C的最大值为，故选C．
4. (2018·北京朝阳区期中)已知x>1，且x－y＝1，则x＋的最小值是__3___.
[解析] ∵x>1且x－y＝1，∴y＝x－1>0
∴x＋＝x＋＝(x－1)＋＋1
≥2＋1＝3(当且仅当x＝2时取等号，此时y＝1)∴x＋的最小值为3.
5．(2018·江西月考)已知a>b>0，则a2＋取最小值时b的值为__2___.
[解析] 因为a>b>0，所以a－b>0，所以b(a－b)≤()2＝，当且仅当b＝a－b，即b＝时等号成立，所以a2＋≥a2＋≥2＝32.当且仅当a2＝，即a＝4时等号成立，此时b＝＝2.
[易错警示] 忽略集合元素的特性(限制条件)致错
在多次使用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件是否能够同时成立(或者等号成立的务件是否相同)．若不能同时成立，那么一般不能取到等号．
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