【数学】2020届数学文一轮复习第九章第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程作业 5页

‎1．已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为(　　)‎ A．4x－3y－3＝0　　　　　 B.3x－4y－3＝0‎ C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0‎ 解析：选D.由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝.‎ 所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.‎ ‎2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)‎ A．ab>0，bc<0 B.ab>0，bc>0‎ C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0‎ 解析：选A.由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.‎ ‎3．两直线－＝a与－＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是(　　)‎ 解析：选B.直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．‎ ‎4．已知直线x＋a2y－a＝0(a>0，a是常数)，当此直线在x，y轴上的截距之和最小时，a的值是(　　)‎ A．1 B.2‎ C. D．0‎ 解析：选A.直线方程可化为＋＝1，因为a>0，‎ 所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号．‎ ‎5．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是(　　)‎ A．[－2，2] ‎ B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ C．[－2，0)∪(0，2] ‎ D．(－∞，＋∞)‎ 解析：选C.令x＝0，得y＝，‎ 令y＝0，得x＝－b，‎ 所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．‎ ‎6．直线l过原点且平分▱ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为________．‎ 解析：直线l平分平行四边形ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3，2)，则直线l：y＝x.‎ 答案：y＝x ‎7．过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．‎ 解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y＝－x；‎ ‎(2)当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，‎ 即x－y＝a.代入点(－3，5)，得a＝－8.‎ 即直线方程为x－y＋8＝0.‎ 答案：y＝－x或x－y＋8＝0‎ ‎8．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．‎ 解析：直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，‎ 由 解得x＝2，y＝－2，‎ 所以直线l恒过定点(2，－2)．‎ 答案：(2，－2)‎ ‎9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：‎ ‎(1)过定点A(－3，4)；‎ ‎(2)斜率为.‎ 解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×＝±6，解得k1＝－或k2＝－.‎ 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.‎ ‎(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，‎ 由已知，得|－6b·b|＝6，所以b＝±1.‎ 所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.‎ ‎10.‎ 如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．‎ 解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，‎ kOB＝tan(180°－30°)＝－，‎ 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.‎ 设A(m，m)，B(－n，n)，‎ 所以AB的中点C，‎ 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，)．‎ 又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，‎ 所以lAB：y＝(x－1)，‎ 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.‎ ‎1．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(　　)‎ A．2 B.3‎ C．4 D．5‎ 解析：选C.将(1，1)代入直线＋＝1，得＋＝1，a＞0，b＞0，故a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到，故选C.‎ ‎2．已知点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　)‎ A．8 B.2 C. D．16‎ 解析：选A.因为点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，所以y＝4－x，所以x2＋y2＝x2＋(4－x)2＝2(x－2)2＋8，当x＝2时，x2＋y2取得最小值8.‎ ‎3．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)‎ A. B.－ C．－ D． 解析：选B.依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.‎ ‎4．已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是____________．‎ 解析：设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.‎ 联立得x2＋x＋6＝0.‎ 要使直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝－24≥0，即m2≥.所以实数m的取值范围是∪.‎ 答案：∪ ‎5．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．‎ 解：由l的方程，得A，B(0，1＋2k)．‎ 依题意得 解得k＞0.‎ 因为S＝·|OA|·|OB|‎ ‎＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝ ‎≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，‎ 即k＝，‎ 所以Smin＝4，‎ 此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎ ‎6．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点：‎ ‎(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；‎ 解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)．‎ ‎(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是.‎