2019届二轮复习回扣七算法、复数、概率与统计学案（全国通用） 9页

回扣七算法、复数、概率与统计 环节一　记牢概念公式，避免临场卡壳 ‎1．概率的计算公式 ‎(1)古典概型的概率计算公式 P(A)＝；‎ ‎(2)互斥事件的概率计算公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；‎ ‎(3)对立事件的概率计算公式 P()＝1－P(A)；‎ ‎(4)几何概型的概率计算公式 P(A)＝.‎ ‎2．统计中的四个数据特征 ‎(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．‎ ‎(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．‎ ‎(3)平均数：样本数据的算术平均数，即 ＝(x1＋x2＋…＋xn)．‎ ‎(4)方差与标准差 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2 ．‎ 标准差：‎ s＝.‎ ‎3．复数的四则运算法则 ‎(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i ‎(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i ‎(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．‎ ‎4．排列、组合数公式 ‎(1)排列数公式 A＝n(n－1)…(n－m＋1)＝.‎ ‎(2)组合数公式 C＝＝＝.‎ ‎5．二项式定理 ‎(1)二项式定理 ‎(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋…＋Can－ b ＋…＋Cbn(n∈N＋)．‎ ‎(2)通项与二项式系数 T ＋1＝Can－ b ，其中C( ＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．‎ ‎6．八组公式 ‎(1)离散型随机变量的分布列的两个性质 ‎①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.‎ ‎(2)数学期望公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.‎ ‎(3)数学期望的性质 ‎①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；‎ ‎②若X B(n，p)，则E(X)＝np；‎ ‎③若X服从两点分布，则E(X)＝p.‎ ‎(4)方差公式 D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn，标准差.‎ ‎(5)方差的性质 ‎①D(aX＋b)＝a2D(X)；‎ ‎②若X B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；‎ ‎③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．‎ ‎(6)独立事件同时发生的概率计算公式 P(AB)＝P(A)P(B)．‎ ‎(7)独立重复试验的概率计算公式 Pn( )＝Cp (1－p)n－ .‎ ‎(8)条件概率公式 P(B A)＝.‎ ‎7．正态分布 如果随机变量X服从正态分布，则记为X N(μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.‎ 环节二　巧用解题结论，考场快速抢分 ‎1．直方图的三个结论 ‎(1)小长方形的面积＝组距×＝频率．‎ ‎(2)各小长方形的面积之和等于1.‎ ‎(3)小长方形的高＝，所有小长方形高的和为.‎ ‎2．线性回归方程 线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)．‎ ‎3．独立性检验 利用随机变量 2＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果 2的观测值 越大，说明“两个分类变量有关系”的这种判断犯错误的可能性越小．‎ ‎4．复数的几个常见结论 ‎(1)(1±i)2＝±2i；‎ ‎(2)＝i，＝－i；‎ ‎(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈ )；‎ ‎(4)ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.‎ ‎5．关于复数模的运算性质 ‎(1) 1· 2 ＝ 1 · 2 ；‎ ‎(2) n＝ n ；‎ ‎(3) ＝.‎ ‎6．二项式定理 ‎(1)各二项式系数之和 ‎①C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎②C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.‎ ‎(2)二项式系数的性质 ‎①C＝C，C＋C＝C.‎ ‎②二项式系数最值问题 当n为偶数时，中间一项即第＋1项的二项式系数Cn最大；当n为奇数时，中间两项即第，项的二项式系数Cn，Cn相等且最大．‎ ‎(3)求两个二项积展开式中x 项(或系数)，要用系数配对．‎ 环节三　明辨易错易混，警惕命题陷阱 ‎1．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．‎ ‎2．复数 为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0( ＝a＋bi(a，b∈R))．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．‎ ‎3．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误．‎ 环节四　适当保温训练，树立必胜信念 ‎1．若复数 满足(2－i) ＝ 1＋2i ，则 的虚部为(　　)‎ A. B.i C．1 D．i 解析：由题意可知 ＝＝＝＝＋i，故其虚部为，选A.‎ 答案：A ‎2．若复数 满足 (2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则 的共轭复数＝(　　)‎ A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 解析：由题意知 ＝＝＝＝3＋5i，故＝3－5i.选B.‎ 答案：B ‎3．若甲、乙等5名同学分别被保送到北京大学、清华大学、复旦大学三所大学就读，若要求每所大学至少有一名保送生，则不同的保送方法种数为(　　)‎ A．240 B．180‎ C．150 D．540‎ 解析：由题意可知，5名保送生可分为1,1,3和1,2,2两种情况，故满足题意的不同的保送方法种数为C·A＋·A＝150.故选C.‎ 答案：C ‎4．某市安踏专卖店为了了解某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客所购旅游鞋的尺寸，将所得数据整理后，画出频率分布直方图．已知从左到右前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第4小组与第5小组的频率分布直方图如图所示，第2小组的频数为10，则第5小组的频数是(　　)‎ A．4 B．5‎ C．8 D．10‎ 解析：设从左到右前3个小组的频率分别为x,2x,3x，第5小组的频数是y，则 解得故选B.‎ 答案：B ‎5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术．利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个计算圆周率的近似值的程序框图如图，则输出S的值为(　　)‎ ‎(参考数据：sin 15˚＝0.258 8，sin 7.5˚＝0.130 5)‎ A．2.598 B．3.106‎ C．3.132 D．3.142‎ 解析：模拟执行程序，可得n＝6，S＝3sin 60˚＝，不满足条件n＞24；‎ n＝12时，S＝6sin 30˚＝3，不满足条件n＞24；‎ n＝24，S＝12sin 15˚＝12×0.258 8＝3.105 6，不满足条件n＞24；‎ n＝48，S＝24sin 7.5˚＝24×0.130 5＝3.132，满足条件n＞24，退出循环，输出S的值为3.132，故选C.‎ 答案：C ‎6．(x2－)8的展开式中x4的系数为________．(用数字作答)‎ 解析：(x2－)8的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)8－r(－)r＝(－1)rCx16－3r.令16－3r＝4，解得r＝4，所以x4的系数为(－1)‎4C＝70.‎ 答案：70‎ ‎7.如图，某快递公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处，有A→C→D→B，A→E→F→B两条路线．若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示(例如A→C→D算作两个路段，路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为)．若使途中发生堵车事件的概率较小，则由A到B应选择的路线是________．‎ 解析：路线A→C→D→B途中发生堵车事件的概率为P1＝1－(1－)×(1－)×(1－)＝，‎ 路线A→E→F→B途中发生堵车事件的概率为P2＝1－(1－)×(1－)×(1－)＝.‎ 因为＜，所以应选择路线A→E→F→B.‎ 答案：A→E→F→B ‎8．调查某电脑公司的三名推销员，其工作年限与年推销金额如下表：‎ 推销员编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 工作年限x(年)‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎10‎ 年推销金额y(万元)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 由表中数据算出线性回归方程为＝x＋a，若该电脑公司第四名推销员的工作年限为6年，则估计他(她)的年推销金额为________万元．‎ 解析：由条件可知＝6，＝3，代入线性回归方程，可得a＝，所以＝x＋，当x＝6时，＝3.‎ 答案：3‎ ‎9．在2018年某大学自主招生期间，某校把高三学生的平时成绩按“百分制”进行折算，选出前n名学生，并对这n名学生按成绩(单位：分)分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100 ，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的学生人数依次成等差数列，且第四组的学生人数为60，第五组对应的小长方形的高为0.02.‎ ‎(1)请在图中补全频率分布直方图；‎ ‎(2)若该大学决定在成绩较高的第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试，且该大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，设第三组有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．‎ 解析：(1)因为第四组的学生人数为60，且第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的学生人数依次成等差数列，所以总人数为n＝5×60＝300，由频率分布直方图可知，第五组的学生人数为0.02×5×300＝30，又公差为＝15，‎ 所以第一组的学生人数为45，第二组的学生人数为75，第三组的学生人数为90.‎ 故第一、二、三、四组的频率分别为＝0.15，＝0.25，＝0.3，＝0.2.‎ 补全频率分布直方图如图所示．‎ ‎(2)由题意得，用分层抽样的方法在第三、四、五组中应分别抽取的学生人数为90×‎ ＝3,60×＝2,30×＝1，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.‎ 因此ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎10．近年来我国电子商务行业迎来了发展的新机遇.2017年“双‎11”‎期间，某购物平台的交易额突破1 682亿元人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，统计结果显示这200次交易中买家对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易有80次．‎ ‎(1)完成下列关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.1 的前提下，认为买家对商品满意与对服务满意有关.‎ 对服务满意 对服务不满意 合计 对商品满意 ‎80‎ 对商品不满意 ‎10‎ 合计 ‎200‎ ‎(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行了3次交易，设其对商品和服务都满意的次数为随机变量X：‎ ‎①求X的分布列；‎ ‎②求X的数学期望和方差．‎ 附：‎ P( 2≥ 0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎ 0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ 2＝(n＝a＋b＋c＋d)．‎ 解析：(1)由题意填写关于商品和服务评价的2×2列联表如下：‎ 对服务满意 对服务不满意 合计 对商品满意 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 对商品不满意 ‎70‎ ‎10‎ ‎80‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 假设买家对商品满意与对服务满意无关，‎ 由列联表中数据可得 2的观测值 ＝≈11.111＞10.828，‎ 故能在犯错误的概率不超过0.1 的前提下，认为买家对商品满意与对服务满意有关．‎ ‎(2)①由(1)可知，每次交易时，买家对商品和服务都满意的概率为，且X的所有可能取值是0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝C×()3＝；P(X＝1)＝C×()1×()2＝；P(X＝2)＝C×()2×()1＝；P(X＝3)＝C×()3＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎②由题易知X B(3，)，所以E(X)＝3×＝，D(X)＝3××(1－)＝.‎