【数学】2020届一轮复习人教B版平面向量、数系的扩充与复数的引入课时作业(2) 9页

课时作业26　平面向量基本定理及向量坐标运算 ‎1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　D　)‎ A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2‎ C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2‎ ‎2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　A　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，‎ 由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，‎ 所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.‎ ‎3．(2019·河南八市质检)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝(　C　)‎ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 解析：如图，∵＝2，‎ ‎∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.‎ ‎4．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为(　B　)‎ A．e1＋e2 B．－2e1＋e2‎ C．2e1－e2 D．2e1＋e2‎ 解析：以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，‎ 由题意可得e1＝(1,0)，e2＝(－1,1)，‎ a＝(－3,1)，‎ 因为a＝xe1＋ye2＝x(1,0)＋y(－1,1)＝(x－y，y)，‎ 则解得 故a＝－2e1＋e2.‎ ‎5．已知向量m＝与向量n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　C　)‎ A. B. C. D. 解析：因为m∥n，‎ 所以sinA(sinA＋cosA)－＝0，‎ 所以2sin2A＋2sinAcosA＝3，‎ 可化为1－cos2A＋sin2A＝3，‎ 所以sin＝1，‎ 因为A∈(0，π)，‎ 所以∈.‎ 因此2A－＝，解得A＝.‎ ‎6．(2019·河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于(　A　)‎ A. B. C．1 D. 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－，‎ 所以λ＝，μ＝－，‎ 故λ2＋μ2＝，故选A.‎ ‎7．(2019·四川凉山模拟)设向量a＝(cosx，－sinx)，b＝，且a＝tb，t≠0，则sin2x＝(　C　)‎ A．1 B．－1‎ C．±1 D．0‎ 解析：因为b＝＝(－sinx，cosx)，a＝tb，所以cosxcosx－(－sinx)(－sinx)＝0，即cos2x－sin2x＝0，所以tan2x＝1，即tanx＝±1，所以x＝＋(k∈Z)，则2x＝kπ＋(k∈Z)，所以sin2x ‎＝±1，故选C.‎ ‎8．(2019·湖北黄石质检)已知点G是△ABC的重心，过G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x·，＝y，则的值为(　B　)‎ A. B. C．2 D．3‎ 解析：由已知得M，G，N三点共线，‎ ‎∴＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y.‎ ‎∵点G是△ABC的重心，‎ ‎∴＝×(＋)＝·(＋)，‎ ‎∴即 得＋＝1，即＋＝3，通分变形得，＝3，‎ ‎∴＝.‎ ‎9．已知点A(－1,2)，B(2,8)，＝，＝－，则的坐标为(－2，－4)．‎ 解析：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．‎ 由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，‎ ＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．‎ 因为＝，＝－，‎ 所以有和 解得 和 所以点C，D的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，‎ 从而＝(－2，－4)．‎ ‎10．(2019·南昌模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ)，则λ＝－1.‎ 解析：设＝(x，y)，则由∥a知x＋y＝0，于是＝(x，－x)．若＝λ＋(1－λ)，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.‎ ‎11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．‎ ‎(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；‎ ‎(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．‎ 解：(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，‎ ‎∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，‎ a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，‎ ‎∵ka－b与a＋2b共线，‎ ‎∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－.‎ ‎(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，‎ ＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．‎ ‎∵A，B，C三点共线，∴∥，‎ ‎∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.‎ ‎12．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.‎ ‎(1)求△ABM与△ABC的面积之比；‎ ‎(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x·＋y，求x，y的值．‎ 解：(1)由＝＋，‎ 可知M，B，C三点共线．‎ 如图，设＝λ，‎ 则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，‎ 所以λ＝，所以＝，‎ 即△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.‎ ‎(2)由＝x＋y，‎ 得＝x＋，＝＋y，‎ 由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线 ‎⇒⇒ ‎13．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为(　C　)‎ A．2 B. C．3 D．4‎ 解析：∵·＝0，∴⊥，‎ 以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，‎ ＝(1,0)，＝(0，)，‎ ＝m＋n＝(m，n)．‎ ‎∵tan30°＝＝.‎ ‎∴m＝3n，即＝3.‎ ‎14．(2019·福州质检)设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(　C　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．9‎ 解析：∵＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，‎ ‎∴＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，‎ ‎∵A，B，C三点共线，‎ ‎∴＝λ，即(a－1,1)＝λ(－b－1,2)，‎ ‎∴可得2a＋b＝1.‎ ‎∵a＞0，b＞0，∴＋＝(2a＋b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，‎ 当且仅当＝，‎ 即a＝，b＝时取等号，‎ 故＋的最小值为8，故选C.‎ ‎15．(2019·福建福州模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y的值为－1.‎ 解析：如图，延长DC，AB交于点E，‎ 因为∠DCA＝2∠BAC，‎ 所以∠BAC＝∠CEA.‎ 又∠ABC＝90°，所以＝－.‎ 因为＝x＋y，‎ 所以＝－x＋y.‎ 因为C，D，E三点共线，‎ 所以－x＋y＝1，即x－y＝－1.‎ ‎16．(2019·长沙一模)矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，P为矩形内部一点，且AP＝1，若＝x＋y，则3x＋2y的取值范围是(1，]．‎ 解析：设点P在AB上的射影为Q，∠PAQ＝θ，‎ 则＝＋，‎ 且||＝cosθ，||＝sinθ.‎ 又与共线，与共线，‎ 故＝，＝，‎ 从而＝＋，故x＝，y＝，‎ 因此3x＋2y＝cosθ＋sinθ＝sin，‎ 又θ∈，‎ 故3x＋2y的取值范围是(1，]．‎ ‎ ‎