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- 2021-06-30 发布
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第三章 导数及其应用
第一讲 导数的概念及运算
1.[2020成都市高三摸底测试]设函数f (x)的导函数为f ' (x),若f (x) =exln x+1x-1,则f ' (1) =( )
A.e - 3 B.e - 2 C.e - 1 D.e
2.[易错题]已知函数f (x) =f '(1)x2+2x+2f (1),则f '(2)的值为( )
A.-2 B.0 C.-4 D.-6
3.[2020陕西省百校第一次联考]若f (x) =x3+a是定义在R上的奇函数,则曲线y =f (x)在点(1,f (1))处的切线方程是( )
A.y =3x-3 B.y =3x-2C.y =-3x-3 D.y =-3x-2
4.[2020广东七校联考]已知函数f (x) =xln x+a的图象在点(1,f (1))处的切线经过原点,则实数a =( )
A.1 B.0 C.1e D.-1
5.[2020洛阳市第一次联考]已知f (x)为偶函数,当x>0时,f (x) =ln x-3x,则曲线y =f (x)在点(-1,-3)处的切线与两坐标轴围成的图形的面积等于( )
A.1 B.34 C.14 D.12
6.[2020洛阳市第一次联考]已知f (x) =ln x,g(x) =12x2+mx+72(m<0),直线l与函数f (x),g(x)的图象都相切,且与f (x)图象的切点为(1,f (1)),则m的值为( )
A. - 1 B. - 3 C. - 4 D. - 2
7.[2020江西五校联考]已知曲线C:y =xex过点A(a,0)的切线有且仅有两条,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-4)∪(0,+∞) B.(0,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)
8.[2019安徽示范高中高三测试]设f (x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f ' (x),g'(x)为其导函数,当x<0时,f ' (x)g(x)+f (x)g'(x)>0且g(-3) =0,则不等式f (x)g(x)<0的解集是( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
9.[2019福建五校第二次联考]已知函数f (x) =ln( - x+1),x<0,x2+3x,x≥0,若f (x)-(m+2)x≥0,则实数m的取值范围是( )
A.( - ∞,1] B.[ - 2,1]C.[0,3] D.[3,+∞)
10.[2020四川五校联考]已知函数f (x) =ex+ax.
(1)若曲线y =f (x)在x =1处的切线与直线x+(e-1)y-1 =0垂直,求实数a的值;
(2)若对于任意实数x≥0,f (x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
11.[2020洛阳市第一次联考]已知函数f (x)是定义在R上的偶函数,设函数f (x)的导函数为f ' (x),若对任意x>0都有2f (x)+
xf ' (x)>0成立,则( )
A.4f (-2)<9f (3) B.4f (-2)>9f (3)
C.2f (3)>3f (-2) D.3f (-3)<2f (-2)
12.[2019开封市高三模拟]已知函数f (x) =(k+4k)ln x+4 - x2x,k∈[4,+∞),曲线y =f (x)上总存在两点M(x1,y1),N(x2,y2),使曲线y =f (x)在M,N两点处的切线互相平行,则x1+x2的取值范围为( )
A.(85,+∞) B.(165,+∞)C.[85,+∞) D.[165,+∞)
13.[2019辽宁五校联考]设函数f (x) =e2x-t的图象与g(x) =aex+a2x(a>0)的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,则实数t的最大值是( )
A.e - 12 B.e12 C.12e D.2e
14.[2020武汉市部分学校质量监测]若直线y =kx+b是曲线y =ln x的切线,也是曲线y =ex-2的切线,则k = .
15.[2020唐山市摸底考试]已知函数f (x) =axsin x+bcos x,且曲线y =f (x)与直线y =π2相切于点(π2,π2).
(1)求f (x);
(2)若f (x)≤mx2+1,求实数m的取值范围.
16.[2019江西红色七校联考]已知函数f (x) =ex(x2-2x+a)(其中a∈R,a为常数,e为自然对数的底数).
(1)讨论函数f (x)的单调性;
(2)设曲线y =f (x)在(a,f (a))处的切线为l,当a∈[1,3]时,求直线l在y轴上的截距的取值范围.
17.[2020陕西省百校第一次联考][新角度题]已知函数f (x) =ln x,g(x) =2-3x(x>0).
(1)试判断f (x)与g(x)的大小关系.
(2)试判断曲线y =f (x)和y =g(x)是否存在公切线,若存在,求出公切线的方程;若不存在,说明理由.
第三章导数及其应用
第一讲 导数的概念及运算
1.C 由题意,得f ' (x)=(exln x)' - 1x2=exln x+exx - 1x2,所以f ' (1)=0+e - 1=e - 1,故选C.
2.D 由题意得f (1)=f ' (1)+2+2f (1),化简得f (1)= - f ' (1) - 2,而f ' (x)=2f ' (1)x+2,所以f ' (1)=2f ' (1)+2,解得f ' (1)= - 2,故f (1)=0,所以
f (x)= - 2x2+2x,所以f ' (x)= - 4x+2,所以f ' (2)= - 6,故选D.
3.B 依题意得f (0)=0,即0+a=0,a=0,所以f (x)=x3,则f ' (x)=3x2,所以f ' (1)=3,又f (1)=1,因此曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程是y=3x - 2,故选B.
4.A ∵f ' (x)=ln x+1,∴f ' (1)=1,又f (1)=a,∴f (x)的图象在点(1,f (1))处的切线方程为y=x - 1+a,又该切线过原点,故0=0 - 1+a,解得a=1,故选A.
5.C 当x>0时,f ' (x)=1x - 3,因为f (x)是偶函数,所以f ' (x)是奇函数,故曲线y=f (x)在点( - 1, - 3)处的切线的斜率k=f ' ( - 1)= - f ' (1)=2,所以切线方程为y+3=2(x+1),该切线与x轴,y轴的交点分别为(12,0),(0, - 1),所以该切线与两坐标轴围成的图形的面积等于12×12×1=14,故选C.
6.D 解法一 ∵f ' (x)=1x,∴直线l的斜率k=f ' (1)=1,又f (1)=0,∴切线l的方程为y=x - 1.g' (x)=x+m,设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),则有x0+m=1,y0=x0 - 1,y0=12x02+mx0+72,m<0,解得m= - 2.故选D.
解法二 ∵f ' (x)=1x,∴直线l的斜率k=f ' (1)=1,又f (1)=0,∴切线l的方程为y=x - 1.又直线l与g(x)的图象相切,则方程组y=x - 1,y=12x2+mx+72只有一组解,即关于x的方程12x2+(m - 1)x+92=0只有一个解,则Δ=(m - 1)2 - 4×12×92=0,结合m<0,解得m= - 2.故选D.
7.A 对函数y=xex求导得y' =ex+x·ex=(1+x)ex.设切点坐标为(x0,x0ex0),则曲线y=xex过点A(a,0)的切线的斜率k=(1+x0)ex0=x0ex0x0 - a,化简得x02 - ax0 - a=0.依题意知,上述关于x0的二次方程有两个不相等的实数根,所以Δ=( - a)2 - 4×1×( - a)>0,解得a< - 4或a>0.故选A.
8.D 令h(x)=f (x)g(x),当x<0时,h' (x)=f ' (x)g(x)+f (x)g' (x)>0,则h(x)在( - ∞,0)上单调递增,又f (x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以h(x)为奇函数,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增.由g( - 3)=0,可得h( - 3)= - h(3)=0,所以当x< - 3或00想到构造函数h(x)=f (x)g(x).
9.B 令g(x)=x2+3x(x≥0),则g' (x)=2x+3,所以g' (0)=3,所以函数g(x)的图象在原点处的切线方程为y=3x,故函数f (x)的图象在原点处的切线方程为y=3x.如图D 3 - 1 - 1,画出函数f (x)的图象,切线y=3x,以及直线y=(m+2)x,分析可知,为满足f (x) - (m+2)x≥0,即f (x)≥(m+2)x,则0≤m+2≤3,解得 - 2≤m≤1.故选B.
图D 3 - 1 - 1
【解后反思】 本题具有一定的综合性,求解的关键有两点:一是借助数形结合思想灵活处理不等关系;二是借助“旋转分析”灵活构建关于参数的不等式.
10.(1)因为f ' (x)=ex+a,
所以曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线的斜率为f ' (1)=e+a,
因为直线x+(e - 1)y - 1=0的斜率为11 - e,
所以(e+a)×11 - e= - 1,解得a= - 1.
(2)若x=0,则a为任意实数时,f (x)=ex+ax>0恒成立.
若x>0,f (x)=ex+ax>0恒成立,即当x>0时,a> - exx恒成立,
设H(x)= - exx(x>0),则H' (x)= - exx - exx2=(1 - x)exx2,
当x∈(0,1)时,H' (x)>0,则H(x)在(0,1)上单调递增,
当x∈(1,+∞)时,H' (x)<0,则H(x)在(1,+∞)上单调递减,
所以当x=1时,H(x)取得最大值.
H(x)max=H(1)= - e,所以a> - e.
所以要使当x≥0时,f (x)>0恒成立,a的取值范围为( - e,+∞).
11.A 令g(x)=x2f (x),则g' (x)=2xf (x)+x2f ' (x).因为对任意x>0都有2f (x)+xf ' (x)>0成立,则当x>0时,g' (x)=x[2f (x)+xf ' (x)]>0成立,即函数g(x)=x2f (x)在x>0时单调递增,由函数f (x)是定义在R上的偶函数,得f ( - x)=f (x),所以g( - x)=( - x)2f ( - x)=x2f (x)=g(x),即g(x)=x2f (x)为偶函数,则有g( - 2)=g(2),且g(2)0,k≥4),由题意知,f ' (x1)=f ' (x2)(x1,x2>0且x1≠x2),即k+4kx1 - 4x12 - 1=k+4kx2 - 4x22 - 1,化简得4(x1+x2)=(k+4k)x1x2,而x1x2<(x1+x22)2,所以4(x1+x2)<(k+4k)(x1+x22)2,即x1+x2>16k+4k对k∈[4,+∞)恒成立,令g(k)=k+4k,则g' (k)=1 - 4k2=(k+2)(k - 2)k2>0对k∈[4,+∞)恒成立,故g(k)在[4,+∞)上单调递增,所以g(k)≥g(4)=5,所以16k+4k≤165,所以x1+x2>165.
故x1+x2的取值范围为(165,+∞).故选B.
13.C 设函数f (x)=e2x - t的图象与g(x)=aex+a2x(a>0)的图象的公共点为(x0,y0),因为f ' (x)=2e2x,g' (x)=aex+a2,所以2e2x0=aex0+a2,所以(ex0 - a)(2ex0+a)=0,因为2ex0+a>0,所以ex0=a,所以x0=ln a.又aex0+a2x0=e2x0 - t,所以aeln a+a2ln a=e2ln a - t,化简得t= - a2ln a,则t' = - 2aln a - a2×1a=
- a(1+2ln a).令t' >0得0e - 12,所以t= - a2ln a在(0,e - 12)上单调递增,在(e - 12,+∞)上单调递减,所以当a=e - 12时,t= - a2ln a取得最大值,最大值为 - (e - 12)2ln e - 12=12e.故选C.
14.1或1e 解法一 设直线y=kx+b与曲线y=ln x相切于点(x1,ln x1),则曲线y=ln x在点(x1,ln x1)处的切线方程为y - ln x1=1x1(x - x1),即y=1x1x - 1+ln x1 ①.
设直线y=kx+b与曲线y=ex - 2相切于点(x2,ex2 - 2),则曲线y=ex - 2在点(x2,ex2 - 2)处的切线方程为y - ex2 - 2=ex2 - 2(x - x2),
即y=ex2 - 2x+(1 - x2)ex2 - 2 ②.
由题意知①②表示同一直线,所以1x1=ex2 - 2,且 - 1+ln x1=(1 - x2)ex2 - 2.
所以 - 1+ln x1=1 - x2x1=1 - (2 - lnx1)x1= - 1+lnx1x1,解得x1=1或x1=e.
所以k=1或1e.
解法二 直线y=kx+b与曲线y=ln x相切,则存在x1,使得k=1x1,且ln x1=kx1+b,
消去x1,得 - ln k=1+b ①.
直线y=kx+b与曲线y=ex - 2相切,则存在x2,使得k=ex2 - 2,且ex2 - 2=kx2+b,
消去x2,得k=k(ln k+2)+b ②.
由①②得k=kln k+2k - ln k - 1,即(k - 1)(ln k+1)=0,解得k=1或1e.
15.(1)由f (π2)=aπ2=π2得a=1.
则f ' (x)=xcos x+(1 - b)sin x,
由f ' (π2)=1 - b=0得b=1.
所以f (x)=xsin x+cos x.
(2)令g(x)=mx2+1 - f (x)=mx2 - xsin x - cos x+1,
由g(x)≥0得g(2π)=4π2m≥0,所以m≥0.
易知g(x)为偶函数,所以只需满足当x≥0时,g(x)≥0即可.
g' (x)=2mx - xcos x=x(2m - cos x),下面只讨论x≥0时的情形.
当m≥12时,g' (x)≥0,即g(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以g(x)≥g(0)=0,
从而当m≥12时,f (x)≤mx2+1恒成立.
当0≤m<12时,因为y=2m - cos x在[0,π2]上单调递增,
且当x=0时,y=2m - 1<0,当x=π2时,y=2m≥0,
所以存在x0∈(0,π2],使得2m - cos x0=0,
因此当x∈(0,x0)时,2m - cos x<0,g' (x)<0,即g(x)在(0,x0)上单调递减,
所以当x∈(0,x0)时,g(x)0).
由F' (x)=0,得x=3,当03时,F' (x)>0,
故F(x)在区间(0,3)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,
所以F(x)的最小值为F(3)=ln 3 - 1,且F(3)>0,所以F(x)>0,即f (x)>g(x).
(2)曲线y=f (x)和y=g(x)不存在公切线,理由如下.
假设曲线y=f (x)与y=g(x)有公切线,切点分别为P(x0,ln x0)和Q(x1,2 - 3x1).
因为f ' (x)=1x,g' (x)=3x2,所以分别以P(x0,ln x0)和Q(x1,2 - 3x1)为切点的切线方程为y=xx0+ln x0 - 1,y=3x12x+2 - 6x1.
由1x0=3x12,lnx0 - 1=2 - 6x1,得2ln x1+6x1 - (3+ln 3)=0.
令h(x)=2ln x+6x - (3+ln 3),则h' (x)=2x - 6x2(x>0),令h' (x)=0,得x=3.显然,当03时,h' (x)>0,所以h(x)在区间(0,3)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,所以h(x)的最小值为h(3)=2ln 3+2 - 3 - ln 3=ln 3 - 1,且h(3)>0,所以h(x)>0,所以方程2ln x1+6x1 - (3+ln 3)=0无解,所以曲线y=f (x)与曲线y=g(x)不存在公切线.