高考数学复习资料九章 直线平面与简单几何体 13页

第九章 直线平面与简单几何体 1、已知直线 l⊥平面α ，直线 m  平面β ，有下列四个命题： ①α ∥β  l⊥m；②α ⊥β  l∥m；③l∥m  α ⊥β ；④l⊥m α ∥β . 其中正确的两个命题是 （ ） A、①与② B、①与③ C、②与④ D、③与④ 1、B 【命题分析】考查空间平行与垂直关系的判别. 2、在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ） A、 3  （ ， ） B、 2 3  （ ， ） C、（ 0， 2  ） D、 2 3 （ ， ）3 2、A 【思路分析】法一：考察正三棱锥 P–ABC，O 为底面中心，不妨将底面正△ABC 固定，顶 点 P 运动，相邻两侧面所成二面角为∠AHC. 当 PO→0 时，面 PAB→△OAB，面 PBC→△OBC，∠AHC→π 当 PO→+∞时，∠AHC→∠ABC= 3  . 故 3  <∠AHC <π ，选 A. 法二：不妨设 AB=2，PC= x，则 x > OC = 3 32 . 等腰△PBC 中，S△PBC = 2 1 x·CH = 2 1 ·2· 1x 2 CH = 2x 112  等腰△AHC 中，sin 2x 112 1 CH 2 AC 2 AHC   由 x> 得 2 AHCsin2 1  <1，∴ 322 AHC 6  ＜∠AHC＜π . 【命题分析】主要考查多面体、二面角等基础知识，分析问题与解决问题的能力，注重考查 考生对算法算理的理解. 3、如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，点 M 在 A 上，且 AM= 3 1 AB，点 P 在 平面 ABCD 上，且动点 P 到直线 A1D1 的 距离的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1，在平面直角坐标系 xAy 中，动点 P 的轨 迹方程是 . 3、 9 1 3 22  xy 【思路分析】过 P 点作 PQ⊥AD 于 Q，再过 Q 作 QH⊥A1D1 于 H，连 PH，利用三垂线定理 可证 PH⊥A1D1. 设 P（x，y）， P A B C H O A B C D A1 B1 D1 C1 x y M P ∵|PH|2 - |PH|2 = 1，∴x2 +1- [(x 1 3 )2+y2] =1，化简得 9 1 3 22  xy . 【命题分析】以空间图形为载体，考查直线与平面的位置关系以及轨迹方程的求法. 4．命题①空间直线 a，b，c，若 a∥b，b∥c 则 a∥c ②非零向量 c、b、a ，若a ∥ b ， b ∥c 则 ∥ ③平面 α 、β 、γ 若 α ⊥β ，β ⊥γ ，则 α ∥γ ④空间直线 a、b、c 若有 a⊥b，b⊥c，则 a∥c ⑤直线 a、b 与平面 β ，若 a⊥β ，c⊥β ，则 a∥c 其中所有真命题的序号是（ ） A．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤ 4．解答：由传递性知①②正确 由线面垂直性质知⑤正确 由空间直角坐标系中三坐标平面关系否定③ 三坐标轴关系否定④ 选 C 评析：考察传递性适用范围，空间与平面的区别。 5、（文）棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 被以 A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体 的表面积为（ ） A． 4 5 π B． 8 7 π C．π D． 4 7 π 5、（文）解答：S= 4 1 π ·12×3+ 8 1 ×4π ·12= 4 5 π 选 A 评析：考察考生空间想象能力，球的表面积公式。 6．某刺猬有 2006 根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体， 且任意四根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有（ ）种不同的支撑身体的 方式。 A．2006 B．4008 C．4012 D．2008 6．解答：当有 n 根刺时有 an 种支撑法，n = 4，5， 6，… 则 an+1=an+3－1=an+2 或 an+1=an+4－2=an+2， ∴{an}n = 4，5，6，…， 为等差数列， ∵a4 = 4 ∴an=2n－4 A2006＝4008 选 B 评析：本题考察学生数学建模能力，从 n 到 n + 1 会增加多少种支撑，分两种情行讨论， 一是所加剌穿过三剌尖确定的三角形，an+1=an+3－1=an+2，二是所加剌尖在两剌确 定的平面上 an+1=an+4－2 由递推式求数列通项。 7．命题①空间直线 a，b，c，若 a∥b，b∥c 则 a∥c ②非零向量 ，若 ∥ ， ∥ 则 ∥ ③平面 α 、β 、γ 若 α ⊥β ，β ⊥γ ，则 α ∥γ ④空间直线 a、b、c 若有 a⊥b，b⊥c，则 a∥c ⑤直线 a、b 与平面 β ，若 a⊥β ，c⊥β ，则 a∥c 其中所有真命题的序号是（ ） A．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤ 7．解答：由传递性知①②正确 由线面垂直性质知⑤正确 由空间直角坐标系中三坐标平面关系否定③ 三坐标轴关系否定④ 选 C 评析：考察传递性适用范围，空间与平面的区别。 8、（文）棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 被以 A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体 的表面积为（ ） A． 4 5 π B． 8 7 π C．π D． 4 7 π 8、（文）解答：S= 4 1 π ·12×3+ 8 1 ×4π ·12= 4 5 π 选 A 评析：考察考生空间想象能力，球的表面积公式。 9、四边形 ABCD 是  120A 的菱形，绕 AC 将该菱形折成二面角 DACB  ，记异面 直线 AC 、 BD 所成角为 ， AD 与平面 ABC 所成角为 ，当  最大时，二面角 等于( ) A. 3  B. 2  C. 2arctan D. 2 2arctan 9、 B 显然无论怎样旋转 BCAC  ，∴ 2  ，  最大，即  最大 ，∵ 3 DAC ，则当 AD 与平面 ABC 所成的角为 DAC 时 3  ，此时 AD 所在平平 ABC 内射影与 AC 重合，即二面角 DACB  为直二面角 . 10、将边长为 3 的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为 1 的小正四面 体，所得几何体的表面积为_____________ . 10、 37 原四个顶点截去后剩下截面为边长为 1 的正三角形，而原四面体的四个侧面变 为边长为 1 的正六边形，其表积为 374 3644 34  . 11．（理）在正三棱锥 ABCS  中， M 、 N 分别是棱 SC 、 BC 的中点，且 AMMN  ， 若侧棱 32SA ，则正三棱锥 ABCS  外接球的表面积是（ ） A． 12 B． 32 C． 36 D． 48 11．理 C【思路分析】：正三棱锥对棱互相垂直，即 SBAC  ，又 SB∥MN，且 AMMN  ， ∴ AMSB  ，从而 SACSB 面 . ∴  90BSA ，以 S 为顶点，将三棱锥补成一个正方 体，故球的直径 SAR  32 ，即 3R ，∴  364 2  RS ，故选 C. 【命题分析】：考查线面的位置关系，几何体与球的切接问题，球的表面积公式，关键 利用四面体的性质及通过补形求球的半径. 12、（文）已知 ABCD 是同一球面上的四点，且每两点间距离相等，都等于 2，则球心到平 面 BCD 的距离是（ ） A． 3 6 B． 6 6 C． 12 6 D． 18 6 12、文 B【思路分析】：易知 ABCD 是正四面体，故其高 3 62h ，球的半径为 R ，则 222 )3 32()3 62(  RR ，即： 2 6R ，∴ 6 6 2 6 3 62 h ，故选 B. 【命题分析】：考查球与几何体的关系，球心到截面距离的计算，知识的综合运用. 13、正方体 1111 DCBAABCD  ， FE, 分别是 1AA ， 1CC 的中点，P 是 1CC 上的动点（包 括端点）过 E、D、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则 P 的轨迹是 （ ） A、线段 FC1 B、线段 CF C、线段 CF 和点 1C D、线段 和一点 C 13、（分析：本题考查垂体几何的线面关系，如图， DE ∥平面 11CCBB ∴平面 DEC 与平 面 的交线 CM∥ED 连结 EM，易证 MC=ED ∴ DFEM平行且等于 ，则 M 到达 1B 时，仍可构成四边形，即 P 到 F，P 在 FC1 之间则满足要求 P 到 1C 仍可构成四边形，故选 C 项） 14、P 为 ABC 所在平面外一点，PA、PB、PC 与平面 ABC 所的角均相等，又 PA 与 BC 垂 直，那么 的形状可以是 。①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直 角三角形 14、（考查线面角定义，垂线定理，对垂足落位的讨论，由题意可知 的外心在 BC 边 的高线上，故一定有 AB=AC 选（1）（ 2）（ 4）） 15．如图，已知棱长为 a 的正四面体 ABCD 中，E、F 在 BC 上，G 在 AD 上，E 是 BC 的中点， CF＝ 1 4 CB ，AG＝ 1 4 AD ，给出下列四个命题：①AC⊥BD，②FG＝ 10 4 a ，③侧面与底面所 成二面角的余弦值为 1 3 ，④ AE CB AE CD< ，其中真命题的序号是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 15、A 【思路分析】：以 BCDD 的底面中心为坐标原点平行于 BC 的直线为 x 轴建立空间直角坐标 系，由正四面体相对的棱垂直，故①正确，又 G（ 36,,8 24 4 a aa- ）， G（ 33, ,08 24 a a ）可 得 FG＝ ，故②正确，设侧面与底面夹角为θ ，则 1cos 3 OCD ACD s sq D D ==，所以③正确， ∵ 0AE CB AE CB^? ，又 AE 与CD 所成的角大于 900， AE CD <0，故④错误 【命题分析】：本题考察正四面体的性质和空间向量的运算 M M P P N N 16．如图，将 Rt△ABC 沿斜边上的高 AD 折成 1200 的二面角 C-AD-C，若直角边 AB= 34 ， AC= 64 ，则二面角 A-BC-D 的正切值为（ ） A． 2 B． 2 2 C． 4 2 D．1 16．A [思路分析]：∠CDC =1200，过 D 作 DE⊥BC 于 E， 连 AE，则∠AED 为所求。又知 AD⊥平分 BCD，AD= 24 ， 在△B D 中 ， 由 余 弦 定 理 知 B = 34 ， 再 由 面 积 公 式 060cos2 1 2 1  DCBDDECBS DCB 知 DE=4，∴ 2tan  DE ADAED [命题分析]：考查二面角的知识，余弦定理及三角形的边角计算。 17．下列各图是正方体或三棱锥， P 、Q 、 R 、 S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面．．． 的的图象共有 Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．3 个 17． Ｂ【思路分析】： 第四个图形中的四点不共面 【命题分析】：考察空间图形中直线的位置关系。 18.等边△ABC 的边长为 a4 ，将它沿平行于 BC 的线段 PQ 折起，使平面 APQ⊥平面 BPQC， 若折叠后 AB 的长为 d，则 d 的最小值是 A． a3 B． a5 C． a3 D． a10 18. Ｄ【思路分析】：设线段 PQ 的中点为 O,且 AO= x ,则 BO= 22 )32(4 xaa  , AB= aaaxBOAO 1010)3(2 2222  【命题分析】：考察空间图形中线面关系及运算 19．Δ ABC是边长为2的正三角形，BC∥平面α ，A、B、C在平面α 的同侧，它们在α 内的 射影分别为 A′、B′、C′,若Δ A′B′C′为直角三角形，BC与α 间的距离为5, 则A到平面α 的距离为_______. 19.5 2 20． AB 垂直于 BCDD 所在的平面， 10, 17, : 3: 4AC AD BC BD= = = ，当 BCDD 的面积最大时，点 A 到直线 CD 的距离为 . · · · · S P Q R · · · · S P Q R · S · P · Q · R · S · P · Q · R 20、 5 13 【 思 路 分 析 】： 解 答 ： 设 2 2 2 23 , 4 , AC BC AD BDBC x BD x= = - = -由 得 2210 9 17 6 1x x x- = - =故 要使 BCDD 的面积最大，则 BC BD^ .过 B 作 BE CD^ 于 E，连 AE，由三垂线定理知 AE CD^ ，即 AE 为 A 到 CD 的距离，又 12 ,15BE AB== 13 5AE=即点 A 到直线 CD 的距离为 5 13 . 【命题分析】：考察立体几何中的线面关系及最值 21．(本题满分 12 分)在直角梯形 P1DCB 中，P1D//CB，CD//P1D 且 P1D = 6，BC = 3，DC = 6 ， A 是 P1D 的中点，沿 AB 把平面 P1AB 折起到平面 PAB 的位置，使二面角 P－CD－B 成 45°角， 设 E、F 分别是线段 AB、PD 的中点． （1）求证：AF//平面 PEC； （2）求平面 PEC 和平面 PAD 所成的二面角的大小； （3）求点 D 到平面 PEC 的距离． 21、【思路分析】：①取 PC 中点 M，连结 FM、EM ∵ F、M 分别为 PD、PC 中点 ∴ FM＝ 2 1 CD ∵ E 为 AB 中点，∴ AE＝ CD ∴ FM＝AE， ∴FMEA 为平行四边形 ∴ AF//EM ∵ AFË 平面 PEC，EMÌ 平面 PEC ∴ AF//平面 PEC ………………………4’ ②延长 DA，CE 交于点 N，连结 PN ∵ AB⊥PA， AB⊥AD ∴ AB⊥平面 PAD ∵AB//DC ∴ DC⊥平面 PAD ∴DC⊥PD DC⊥AD ∴ ∠PDA 为二面角 P－CD－B 的平面角 ∴ ∠PDA＝45° ∵ PA＝AD＝３ ∠PDA＝45° ∵ PD＝ 23 ∴PA⊥AD 又 PA⊥AB ∴PA⊥平面 ABCD ∵ AE//CD 且 E 为 AB 中点 ∴ AE＝ 2 1 CD ∴AE 为△NDC 的中位线 ∴ AN＝AD＝PA ∴△PND 为 Rt△ B C D A P1 // // // // D B C F E A P B C F E A P D N M …6’ 又 NE＝EC＝ 2 42 PE＝ 2 42 ∴ △PNC 为 Rt△ ∴ PC⊥PN PD⊥PN ∴ ∠CPD 为平面 PEC 和平面 PAD 所成二面角的平面角 又 PD＝ 23 CD＝ 6 PD⊥DC ∴ tan∠CPD＝ PD CD ＝ 23 6 ＝ 3 3 ∴ ∠CPD＝30° ∴ 平面 PEC 和平面 PAD 所成二面角为 30° …………………………………8’ ③连结 ED ∵ PA⊥平面 ABCD ∴ VP－CED＝ 3 1 S△CED·PA＝ 3 1 3362 1  ＝ 62 3 VP－CED＝VD－PCE＝ 62 3 设点 D 到平面 PCE 的距离为 d． S△PCE＝ 33 VP－PCE＝ S△DCE·d＝ ∴ d＝ 2 23 点 D 到平面 PEC 的距离为 2 23 ．………………………………………………12’ 22、（本题满分 12 分）如图：直三棱柱 111 CBAABC  中 90ACB ， 2 ACBC ， 41 AA ， D 为 1CC 上一动点， NM, 分别为 ABD ， DBA 11 的重心。（1）求证： BCMN  。（ 2）若二面角 DABC  的正切值为 2 ，求 1C 到平面 DBA 11 的距离。（3） 若点 C 在平面 ABD 上的射影恰好为 M，试判断点 在平面 上的射影是否为 N？并 说明理由。 22、解：（1）如图，过结 DM 并延长交 AB 于 E，则 E 为 AB 中点，连结 DN 并延长交 11BA 于 F，则 F 为 11BA 的中点，且 1 2ME DM ， 1 2NF DN 。 ∴ EFMN // 又 1// BBEF ，∴ BCEF  ， BCMN  （2）∵ ACBC  ，E 为 AB 的中点，∴ ABCE  ，又 DC 平面 ABC 由三垂线定理知 ABDE  ，∴ CED 为二面角 DABC  的平面角 ∴ 2tan CED 又 2CE ∴ 2CD ∴D 为 的中点 ∴ 21 DC )22(4 3 3 1223 1 1111111 hDBAVCCBAVD  ∴ 32h （3）由已知 CM 平面 ABD ∴ DECM  ，在 DCERt 中， 1:2: MEDM 2CE ∴ 2DE ∴D 为 1CC 的中点，由对称性知 NC1 平面 DBA 11 ∴ 1C 在平面 DBA 11 上的射影点是 N （本题主要考查线线、线面、面面之间的关系以及空间距离的计算。考查空间想象能 力和运算能力以及逻辑推理能力） 23．如图，已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长为 2，底面△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900， AC=2，D 为 AA1 中点。 （12′） ①求异面直线 AB 与 C1D 所成的角（用反三角表示）； ②若 E 为 AB 上一点，当 E 在 AB 上什么位置时，有 A1E⊥C1D； ③在②的条件下，求点 D 到平面 B1C1E 的距离。 20．[思路分析]：（ 1）取 CC1 的中点 F，连结 AF，BF，则 AF∥C1D。 ∠ BAF 为 异 面 直 线 AB 与 C1D 所 成 的 角 或 其 补 角。……………………………………2′ ∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=2，∴AB=2 2 。 又∵CC1=2，∴AF=BF= 5 。 ∵ 5 10 2cos 222   AFAB BFAFABBAF ， ∴∠BAF= 5 10arccos ，∴异面直线 AB 与 C1D 所成的角为 5 10arccos …4′ （2）过 C1 作 C1M⊥A1B1，垂足为 M，则 M 为 A1B1 的中点，且 C1M⊥平面 AA1B1B。连结 DM。 ∴DM 为 C1D 在平面 AA1B1B 上的射影。 要使得 A1E⊥C1D，由三垂线定理知，只要 A1E⊥DM。 ∵AA1=2，AB=2 ，由计算知，E 为 AB 的中点。………………………7′ （3）连结 DE、DB1。在三棱锥 D—B1C1E 中，点 C1 到平面 DB1E 的距离为 ，B1E= 6 ， DE= 3 ，DB1=3，∵ 2 1DB =DE2+B1E2，∴ B1E⊥DE，∴△DB1E 的面积为 22 3 。∴三棱锥 C1—DB1E 的体积为 1。设点 D 到平面 B1C1E 的距离为 d，在△B1C1E 中，B1C1=2，B1E=C1E= ，∴△B1C1E 的面积为 5 。由 3 1 ×d× =1 ，得 5 53d ，即点 D 到 平 面 B1C1E 的 距 离 为 5 53 。………………………………12′ [命题分析]：本题考查异面直线所成的角，三垂线定理及等积法计算点面之距。 24．（本小题满分 12 分） 如图，在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中， ,, ADPAABPA  ,4,3 aADaABPA  点 E 在 PD 上， 1:2: EDPE ，点 F 在 AD 上， 3:1: FDAF （1）求以 FC 为棱， EFC 与 DFC 为面的二面角 θ 的大小。 （2）求直线 PB 与平面 所成角的大小。 F E D C A P B 24．解：（1） ,, ADPAABPA   ABCDPA 平面  平面 PAD 平面 ABCD ，过 作 ADEM  于 M ，过 作 FCMN  于 N ，边 EN ，则 ENM 为 为棱， 与 为面的二面角的平面角。 由条件知 aEM  ， aAFaDM  ,3 4  aFM 3 5 在 FMNRt 中， 45MFN ， aaMN 6 25 3 5 2 2  在 EMNRt 中， MN EMENM tan 5 23 即 5 23arctanENM 6 分 （2）建立如图所示的坐标系，则 )0,0,3(),0,,0(),,3 8,0(),0,4,3( aBaFaaEaaC ， )3,0,0( aP  ),3 5,0(),0,3,3( aaFEaaFC  ， )3,0,3( aaBP  设平面CEF 的一个单位法向量为 ),,( zyxn  ，则           03 5 033 1222 azay ayax zyx ) 43 5, 43 3, 43 3( n 设 BP 与 n 的夹角为 ，则 a aa 23 | 43 15 43 9| cos   43 86  直线直线 PB 与平面 EFC 所成角的大小为 43 86arcsin 12 分 25．（ 12分）矩形ABCD中，AB=6，BC=2 3 ，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使点 A移 至点P，使点P在平面BCD上的射影O在DC上，（如图）. (1)求证：PD⊥PC; (2)求二面角P—DB—C的大小； (3)求直线CD与平面PBD所成角的大小. 25. (1)∵PO⊥平面BCD，∴PO⊥BC ∴平面PCD⊥平面BCD又 ∵BC⊥CD ∴BC⊥平面PCD ∴BC⊥PD又 ∵BP⊥PD DP⊥平面PCB， DP⊥CP …………4分 (2)作OE⊥BD于E，则PE⊥BD，则AE⊥BD，A、E、O共线 ∴∠PEO就是二面角P-DB-C的平面角.在Rt△ABD中 ,60ADB,30ABD,32AD,6AB oo  则∠DAE=30° ∴AE=ADcos60°=3=PE， ,3 1arccos,3 1cos,,1,4 30cos  PEOPE OEPEOPOERtOEADAO 中在 …8分 (3)作CF⊥PB，F为垂足，∴DP⊥平面PCB ∴平面PBD⊥平面BCP ∵CF⊥平面PDB，∠CDF是CD与平面BDP所成的角,在Rt△PBC中，∴∠BCP=90°, ,22,,62,6,32  CFCPBCBPCFPCBPBC .3 2arcsin,3 2sin,  CDFCD CFCDFCDFRt 中在 ……… …12分 26、（12 分）斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中，已知侧面 A1C⊥底面 ABC，底面△ABC 是边长 为 2 的正三角形，A1A = A1C，A1A⊥A1C. （Ⅰ）求直线 A1A 与底面 ABC 所成的角； （Ⅱ）求截面 A1BC 与底面 ABC 所成二面角的大小； （文科只需求一个三角函数值） （Ⅲ）求点 C1 到平面 A1BC 的距离. 26、【 思路分析】 解法一：（Ⅰ）取 AC 中点 O，连 A1O， D A C B A1 A O E C C1 B1 H F B ∵A1A= A1C ∴A1O⊥AC ∵侧面 A1C⊥底面 ABC，∴A1O⊥底面 ABC， ∴∠A1AO 是直线 A1A 与底面 ABC 所成的角. … 2 分 ∵A1A = A1C，A1A⊥A1C ∴∠A1AO = 45°为所求. …… 4 分 （Ⅱ）过 O 点作 OE⊥BC，垂足为 E，连 A1E ∵A1O⊥底面 ABC，∴A1E⊥BC，∴∠A1EO 为所求二面角的平面角. ……… 6 分 ∵A1O = 2 1 AC = 1，OE = OC sin60°= 2 3 ∴tan∠A1EO= 3 32 OE OA1  ，∠A1EO = arc tan 3 32 为所求. …………8 分 （Ⅲ）连 AC1 交 A1C 于点 F，由于 F 为 AC1 中点，O 为 AC 中点，所以点 C1 与 A 到平 面 A1BC 的距离相等，并且等于 O 点平面 A1BC 的距离的两倍. ……………10 分 过 O 点作 OH⊥A1E 于 H，由（Ⅱ）知平面 A1OE⊥平面 A1BC，所以 OH⊥平面 A1BC. Rt△A1OE 中，OH= 7 21 EA OEOA 1 1  故点 C1 到平面 A1BC 的距离为 7 212 . ……………………………………12 分 解法二：（Ⅰ）同方法一. ………… 4 分 （Ⅱ）如图，建立空间直角坐标 O–xyz，则 A1 (0 , 0 , 1)、B (0, 3 ,0)、C (-1 , 0 , 0 ) ∴ BA1 = (0, ,-1)， CA1 = (-1 , 0 , -1) 设 n = (x , y , z)为平面 A1BC 的一个法向量，则      0zxCAn 0zy3BAn 1 1 ， 取 z = 得 = (- ,1, ) …………………………… 6 分 又 1OA = (0 , 0 , 1)是平面 ABC 的一个法向量 ∴cos< , 1OA >= 7 21 17 3   故截面 A1BC 与底面 ABC 所成二面角的大小为 arccos 7 21 . …………………… 8 分 （Ⅲ）C1 (-2 , 0 , 1)， 11CA = (-2 , 0 , 0 ) 故点 C1 到平面 A1BC 的距离 d = 7 212 7 32 |n| |nCA| 11  . ………………………12 分 【命题分析】本题以斜三棱柱为载体，考查空间位置关系的论证、角和距离的计算，以及空 间想象能力和逻辑推理能力. 27．棱长全相等的直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 的面积为 2 3 ，△ABC 为正三角形， A1 A O C C1 B1 z x y B E、F 均为 BB1 上的点。 （1）若平面 AEC1⊥平面 ACC1A1， 试求 E 点的位置。 （2）设 BF 的长为 0.5，试求平面 AEC1 与平面 ABCD 所成锐二面角的 平面角的大小。 27．解答：（1）建如图所示的空间直角坐标系 A－xyz，若棱长为 a，由 2 3 a2=2 3 得 a = 2 ， 则 B（ 3 ，－1，0）， C（ 3 ，1，0） B1（ ，－1，2）， C1（ ，1，2）， A1（0，0，2） 设 E（ ，－1，Z） 根据两平面垂直的性质定理： ∵平面 AEC1⊥平面 ACC1A1，A1C⊥AC1 ∴A1C⊥平面 AEC1 A1C⊥AE ∴（ 3 ，1，2）·（ 3 ，－1，Z）=0 ∴Z = 1 即 E 为 BB1 的中点 （2）设所求锐二面角的平面角的大小为 θ 则 cosθ = FAC ABC 1 S S   ∵ FAC1 S = 2 1 |AC1|·|AF|sin∠C1AF cos∠C1AF= |AF||AC| ）5.0，1，3（ ）2，1，3（ 1   = 34 3 ∴sin∠C1AF= 34 5 = 2 5 cosθ = 5 32 即所求二面角的平面角的大小为 arc cos 5 32 。 评析：考察空间向量的应用，逆向思维由平面与平面的位置关系确定点的位置，面与面 所成的二面角的平面角的大小。 28．（ 12 分）已知直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是菱形，且∠DAB=60°AD=AA1，F 为棱 BB1 的中点，M 为线段 AC1 的中点 （1）求证：直线 MF∥平面 ABCD； （2）求证：直线 MF⊥平面 ACC1A； （3）求平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小 28．设 AC BD=0，因为 M，O 分别为 C1A，CA 的中点，所以 MO∥C1C，又由直四棱柱知 C1C⊥ 平面 ABCD，所以，MO⊥平面 ABCD，在菱形 ABCD 中，BD⊥AC，所以，OB，OC，OM 两两垂直， 故可以 O 为原点，OB，OC，OM 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，若设 |OB|=1 则：B（1，0，0）， B1（1，0，2）， A（0，－ 3 ，0）， C（0， ，0）， C1（0， ， 2）， （1）由 F，M 分别为 B1B，C1A 的中点可知：F（1，0，1）， M（0，0，1） 所以 MF =（1，0，0）=OB ，又 与 不共线，所以， ∥ ∵MF 平面 ABCD，OB 平面 ABCD ∴MF∥平面 ABCD A B C D A1 B1 C1 D1 A B C D A1 B1 C1 D1 E x y z （2）∵ MF =（1，0，0），而（1，0，0）为平面 yOz （即平面 ACC1A1）的法向量， 所以，MF⊥平面 ACC1A1 （3）OM =（0，0，1）为平面 ABCD 的法向量，则 n⊥ AF 且 n⊥ MF ， 由 =（1， 3 ，1）， =（1，0，0），得：      0 03 x zyx 令 y=1，得 z=－ ，此时，n=（0，1，－ ）， 设平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 ，则 2 3 21 3,coscos   nOM nOMnOM ，所以， =30°或 150° 29．（ 12 分）如图四棱锥 ABCDP 中，底面 ABCD 是平行四边形， PG 平面 ABCD ，垂足 为 G ，G 在 AD 上且 GDAG 3 1 ， GCBG  ， 2 GCGB ，E 是 BC 的中点，四面体 BCGP 的体积为 3 8 . （1）求异面直线GE 与 PC 所成角的大小； （2）求点 D 到平面 PBG 的距离； （3）（只理科做）若 F 点是棱 PC 上的一点，且 GCDF  ，求 FC PF 的值.