【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第三章　第1讲　变化率与导数、导数的计算作业 5页

第1讲　变化率与导数、导数的计算 ‎ [基础题组练]‎ ‎1．下列求导数的运算中错误的是(　　)‎ A．(3x)′＝3xln 3‎ B．(x2ln x)′＝2xln x＋x C.′＝ D．(sin x·cos x)′＝cos 2x 解析：选C.因为′＝，C项错误．‎ ‎2．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)‎ A．3　　　　　　　　　　 B．2‎ C．1 D． 解析：选A.因为y′＝－，令y′＝，解得x＝3，即切点的横坐标为3.‎ ‎3．已知函数f(x)可导，则 等于(　　)‎ A．f′(x) B．f′(2)‎ C．f(x) D．f(2)‎ 解析：选B.因为函数f(x)可导，‎ 所以f′(x)＝ ，‎ 所以 ＝f′(2)．‎ ‎4．函数g(x)＝x3＋x2＋3ln x＋b(b∈R)在x＝1处的切线过点(0，－5)，则b的值为(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选B.当x＝1时，g(1)＝1＋＋b＝＋b，‎ 又g′(x)＝3x2＋5x＋，‎ 所以切线斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11，‎ 从而切线方程为y＝11x－5，‎ 由于点在切线上，所以＋b＝11－5，‎ 解得b＝.故选B.‎ ‎5．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝ln x；④f(x)＝tan x.‎ 其中有“巧值点”的函数的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B.对于①，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；对于②，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，②不符合要求；对于③，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，若ln x＝，利用数形结合法可知该方程存在实数解，③符合要求；对于④，若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令f(x)＝f′(x)，即sin xcos x＝1，变形可sin 2x＝2，无解，④不符合要求．故选B.‎ ‎6．(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝ ．‎ 解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，‎ 所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.‎ 答案：1＋e ‎7．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝ ，切线方程为 ．‎ 解析：因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.‎ 答案：－2　y＝1‎ ‎8．已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为 ．‎ 解析：由题意知，f(2)＝2×2－1＝3，所以g(2)＝4＋3＝7，因为g′(x)＝2x＋f′(x)，f′(2)＝2，所以g′(2)＝2×2＋2＝6，所以曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.‎ 答案：6x－y－5＝0‎ ‎9．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；‎ ‎(2)y＝sin(1－2cos2)；‎ ‎(3)y＝.‎ 解：(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)‎ ‎＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，‎ 所以y′＝18x2－10x－4.‎ ‎(2)因为y＝sin(－cos)＝－sin x，‎ 所以y′＝(－sin x)′＝－(sin x)′＝－cos x.‎ ‎(3)y′＝＝ ‎＝.‎ ‎10．(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．‎ ‎(1)求P0的坐标；‎ ‎(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．‎ 解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.‎ 令3x2＋1＝4，解得x＝±1.‎ 当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.‎ 又点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．‎ ‎(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－.‎ 因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，‎ 所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，‎ 即x＋4y＋17＝0.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．3 D．4‎ 解析：选B.由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.‎ ‎2．(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)‎ 解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.‎ ‎3．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．‎ ‎(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；‎ ‎(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．‎ 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．‎ ‎(1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1.‎ ‎(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，‎ 所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，‎ 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，‎ 即4a2＋4a＋1>0，‎ 所以a≠－.‎ 所以a的取值范围为∪.‎ ‎4．已知抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．‎ 解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，‎ 则y1＝kx1，①‎ y1＝－x＋x1－4，②‎ 将①代入②得x＋x1＋4＝0.‎ 因为P为切点，‎ 所以Δ＝－16＝0，得k＝或k＝.‎ 当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.‎ 当k＝时，x1＝2，y1＝1.‎ 因为P在第一象限，‎ 所以k＝.‎ ‎(2)过P点作切线的垂线，‎ 其方程为y＝－2x＋5.③‎ 将③代入抛物线方程得，‎ x2－x＋9＝0.‎ 设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，‎ 所以x2＝，y2＝－4.‎ 所以Q点的坐标为.‎