2019届二轮复习规范答题示例　离散型随机变量的分布列学案（全国通用） 4页

规范答题示例4　离散型随机变量的分布列 典例4　(12分)2015年，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：‎ 种植地编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ ‎(x，y，z)‎ ‎(0,1,0)‎ ‎(1,2,1)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,2)‎ ‎(0,1,1)‎ 种植地编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ ‎(x，y，z)‎ ‎(1,1,2)‎ ‎(2,1,2)‎ ‎(2,0,1)‎ ‎(2,2,1)‎ ‎(0,2,1)‎ ‎(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；‎ ‎(2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求X的分布列及其期望．‎ 审题路线图　‎ ‎(1)―→―→‎ ―→ ‎(2)―→―→―→ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 解　(1)由表可知：空气湿度指标为0的有A1；‎ 空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10；‎ 空气湿度指标为2的有A4，A6，A7.‎ 所以空气湿度的指标z相同的概率P＝＝＝.5分 ‎(2)计算10块青蒿人工种植地的综合指标，可得下表：‎ 编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 综合指标 ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ 其中长势等级是一级的(ω≥4)有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个，长势等级不是一级的(ω<4)有A1，A5，A8，A10，共4个．‎ 随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,5.‎ P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，10分 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎11分 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.12分 第一步　‎ 定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值.‎ 第二步 定性：明确每个随机变量取值所对应的事件.‎ 第三步 定型：确定事件的概率模型和计算公式.‎ 第四步 计算：计算随机变量取每一个值的概率.‎ 第五步 列表：列出分布列.‎ 第六步 求解：根据公式求期望.‎ 评分细则　(1)第(1)问中，列出空气湿度相同的情况给2分；计算概率只要式子正确给2分；‎ ‎(2)第(2)问中，列出长势等级的给2分，只要结果正确无过程不扣分；计算概率的式子给3分；分布列正确写出给1分．‎ ‎‎ 跟踪演练4　(2018·全国Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①： ＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②： ＝99＋17.5t.‎ ‎(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；‎ ‎(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．‎ 解　(1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．‎ 利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．‎ ‎(2)利用模型②得到的预测值更可靠．‎ 理由如下：‎ ‎(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型 ＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．‎ ‎(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②‎ 得到的预测值更可靠．‎