2020-2021学年高二数学上册同步练习：点斜式方程 9页

2020-2021 学年高二数学上册同步练习：点斜式方程 一、单选题 1．过点 (1,1)P 且斜率为 2 的直线方程为（ ） A． 1 2 1yx   B． 12yx C． 22yx D． 21yx 【答案】D 【解析】 因为直线过点 且斜率为 2，所以直线方程为： 1 2( 1)yx   ，化简得： . 故选 D 2．一条直线经过点 1 ( 2 ,3 )P  ，倾斜角为 45  ，则这条直线的方程为（ ） A． 50xy   B． 50xy   C． 50xy   D． 50xy   【答案】C 【解析】∵倾斜角为 ，∴直线的斜率为 tan 451 ， 代入直线的点斜式得 32yx 即 ， 故选 C 3．过点  1,0 且与直线 20xy垂直的直线方程是（ ） A． 210xy B． 220xy C． 2 1 0xy   D． 2 1 0xy   【答案】B 【解析】由题得直线的斜率为 2, 所以直线的方程为 02(1)yx  ， 即： 故选 B 4．与直线3 2 0xy平行，且过点 4, 3 的直线方程为（ ） A．  3342  yx B．  3342  yx C．  2343  yx D．  2343  yx 【答案】A 【解析】因为所求直线与直线 3 2 0xy平行，所以斜率为 3 2k = ， 又直线过点 4, 3 ， 故所求直线方程为： . 故选 A 5．过点  1,1 ，且在 y 轴上的截距为 3 的直线方程是（ ） A． 2 3 0xy   B． 2 1 0xy   C． 2 3 0xy   D． 2 3 0xy   【答案】D 【解析】设斜率为 k ，由点斜式可得 1(x1)yk ，令 0x  ，可得 13yk ，解得 2k  ． 12(1)yx  ，化为 ． 故选 D ． 6．直线 l 过点 (1,2)P ，且 (2 ,3 )M 、 (4,5)N  到 的距离相等，则直线 的方程是（ ） A． 460xy B． 460xy C．3270xy 或 D． 2370xy 或 【答案】C 【解析】设所求直线为 由条件可知直线 平行于直线 AB 或过线段 的中点， （1） 的斜率为 35 424   ，当直线 //l AB 时， 的方程是  241yx  ， 即 ； (2)当直线 经过线段 的中点 3,1 时， 的斜率为 2 1 3 1 3 2   ， 的方程是  3212yx    ，即 ， 故所求直线的方程为 3 2 7 0xy   或 4 6 0xy   ， 故选 C. 7．方程 1y ax a表示的直线可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意 0a  ，排除 B . 当 0a  时， 1 0a  ，此时直线与 y 轴的交点 10, a  在 轴的负半轴上，排除 A . 当 0a  时， 1 0a  ，此时直线与 轴的交点 在 轴的正半轴上，排除 D ，选 C . 故选 . 8．方程 y＝k(x－2)表示（ ） A．通过点(－2,0)的所有直线 B．通过点(2,0)的所有直线 C．通过点(2,0)且不垂直于 x 轴的所有直线 D．通过点(2,0)且除去 x 轴的所有直线 【答案】C 【解析】由方程 y=k（x-2）知直线过点（2，0）且直线的斜率存在． 故选 C． 9．已知 ( )1 ,0A ，  0 ,2B ，  2 ,6C ，则 ABC△ 的 BC 边上的高线所在的直线方程为（ ） A． 2 1 0xy   B． 210xy C． 610xy D． 10x  【答案】A 【解析】 62 220BCk  ，高线过点 ∴ 边上的高线所在的直线方程为  1 12yx  ，即 . 故选 10．已知点 3(2, )A  ， ( 3, 2)B  ，直线l 方程为 10kx y k    ，且直线 与线段 AB 相交，求直线 的 斜率 k 的取值范围为（ ） A． 3 4k  或 4k  B． 或 1 4k  C． 34 4k   D． 3 44 k 【答案】A 【解析】因为直线 l 方程为 10k x y k    ，即  11y k x   ， 所以直线 过定点  1,1C ， 根据 3( 2, )A  ， ( 3 , 2 )B  ，直线 与线段 AB 相交，可绘出图像： 因为 ( )13 412CAk --= = -- ， ( ) ( ) 123 134CBk --==-- ， 所以直线 的斜率 的取值范围为 或 ， 故选 A． 11．数学家欧拉于 1765 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的 交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是 重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知 ABC 的顶点为  0 ,0A ，  5 ,0B ，  2 ,4C ，则该三角形的欧拉线方程为（ ）注：重心坐标公式为横坐标： 123 3 xxx； 纵坐标： 123 3 yyy A． 2100xy B． 2 5 0xy   C． 2100xy D． 2 5 0xy   【答案】D 【解析】设 的重点为G ，外心为 M ，则由重心坐标公式得 74( , )33G ，并设 的坐标为 5(,)2 a ， | | | |MA MC= 222255(0)(0)(2)(4)22aa-+-=-+- 解得 5 4a  ，即 55( , )24M 45 134 75 2 32 GMk - ==- -  欧拉方程为： 417 ()323yx ，即： 2 5 0xy   故选 D 12．已知点 ( , )P x y 到 (0 ,4 )A 和 ( 2 ,0)B  的距离相等，则 24xy 的最小值为（ ） A．2 B．4 C． 82 D． 42 【答案】D 【解析】因为点 ( , )P x y 到 和 的距离相等， 所以点 在线段 AB 的垂直平分线上，且过 AB 的中点 ( 1,2 ) ，   40 202ABk  ，垂直平分 线的斜率为 1 2 ，由点斜式得  1212yx  ， 所以垂直平分线的方程为： 230xy 即 23xy， 因为 22422xyxy ，且 220,20xy， 所以 2232422222242xyxyxy  . 所以 的最小值为 ， 故选 D. 二、填空题 13．对任意实数 m ，直线 30mx y m    恒过定点，则该定点的坐标为_________ 【答案】 (1,3) 【解析】 化为 3 ( 1)y m x   ， 方程表示过点 斜率为 的直线方程， 所以直线过定点 (1,3 ) . 故填 . 14．若点 (6, )Pa在过两点 ( 1,3), (5, 2)AB的直线上，则实数 a 的值是________. 【答案】 17 6 【解析】由直线过两点 ，得 23 5 ( 1)ABk   5 6 ， 则直线方程为： 53[(1)]6yx ，得 ， 即 5 13 66yx   ，又点 在直线上，得 5 13666a     ，得 a  . 故填 15．已知 ABC 的三个顶点 (2,3),(4,1),(2,9)ABC  ，若点 ,DE分别是边 ,A B A C 的中点，则线段 DE 所在直线的点斜式方程是________________. 【答案】 43(0)3yx 或者 41(3)3yx 【解析】因为 ，点 分别是边 的中点， 所以 (3,1),(0,3)DE ， 直线 的斜率为1(3)4 303   ， 所以线段 所在直线的点斜式方程是 或者 . 故填 或者 16．过点 1,2 且到原点距离最大的直线方程为________. 【答案】 2 5 0xy   【解析】设点 P 的坐标为 ，则过点 且到原点距离最大的直线方程为与OP 垂直的直线， 因为 2OPk  ，所以所求直线的斜率为 1 2 ， 所以所求的直线方程为 12 ( 1)2yx   ，即 故填 2 5 0xy   17．过点 (6 , 1)P  的直线 l 与 x 轴、 y 轴的正方向分别交于点 ,AB，且 A O B 的面积为 4，则 的方程是 __________. 【答案】 2 4 0xy   【解析】设直线 的方程为 (0,0)ykxbkb ， 则直线 与 轴的交点为 ( ,0 )b k ，与 轴的交点为 (0 )b， ， 因为 的面积为 4，直线 过点 ， 所以 1 ( ) 42 16 b bk kb         ，解得 1 2 2 k b     或 1 18 2 3 k b     （舍去） 所以直线 的方程为 ， 故填 18．若直线 2 1120mxym 不过第一象限，则实数 m 取值范围是__________． 【答案】 1 ,12   【解析】由题,整理直线为    2 112ymxm , 因为直线不过第一象限,则 2 10 120 m m     ,解得 1 12 m, 故填 1 ,12   三、解答题 19．已知直线 的倾斜角为 30°. （1）若直线 过点  3, 4P  ，求直线 的方程. （2）若直线 在 轴上的截距为 3，求直线 的方程. 【解析】∵直线 的倾斜角为 ，∴直线 的斜率为 3tan 30 3 . （1）∵直线 l 过点  3 , 4P  ，∴由点斜式方程，得直线 的方程为 34(3) 3yx ，即 3 343yx . （2）∵直线 在 y 轴上的截距为 3，∴由斜截式方程，得直线 的方程为 3 33yx. 20．已知直线 l 经过点 (0 ,2 ) ，其倾斜角为 30  . （1）求直线 l 的方程； （2）求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积. 【解析】（1） tan 3 3= 30°k   直线 的方程为： 3 32y x ，即 3 3 6 0xy   . （2）由 (1) 令 0x  ，则 2y  ；令 0y  ，则 23x  . 所以直线 与两坐标轴所围成的三角形的面积为： 1 223232S   . 21．已知平面内两点 M（4，﹣2），N（2，4）. （1）求 MN 的垂直平分线方程； （2）直线 l 经过点 A（3，0），且点 M 和点 N 到直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程. 【解析】（1）平面内两点 M（4，﹣2），N（2，4），所以 MN 中点坐标为（3，1）， 又直线 MN 的斜率为  42 324MNk    ， 所以线段 MN 的中垂线的斜率为 1 3 ， 线段 MN 的中垂线的方程为  1133yx   ， 即 x﹣3y＝0. （2）当直线 l 与直线 MN 平行时，由（1）知，kMN＝﹣3， 所以此时直线 l 的方程为 y＝﹣3（x﹣3），即 3x+y﹣9＝0； 当直线 l 经过点（3，1）时，此时直线的斜率不存在， 所以直线方程为 x＝3； 综上知，直线 l 的方程为 x＝3 或 3x+y﹣9＝0. 22．若 43u x y， 2v x y ，点 ( , )uv 与 ( , )xy 都在同一条直线上且 ， 不重合．求出这条直 线方程． 【解析】当直线斜率不存在时， ux ， 联立 43 2 ux u x y v x y      得 vy ，与 ， 不重合矛盾，故直线斜率存在； 设这条直线方程为 y k x b， 则 2(43)xykxyb 即 14 3232 kbyxkk  ， 所以 14 1 32 3 32 kk kk b bRb k         或 1 0 k b    ． 所以，这条直线方程为 1 ()3yxbbR 或 yx ．