【数学】2020届一轮复习人教B版 计数原理 课时作业 8页

‎2020届一轮复习人教B版 计数原理 课时作业 ‎1、将边长为的正方形的每条边三等份，使之成为表格.将其中个格染成黑色，使得每行每列都有两个黑格的染色方法种数有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、已知二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中项的系数为，则为（ ）‎ A． 2 B． 1 C． D． ‎ ‎3、的展开式中的系数为( )‎ A． 10 B． 20 C． 40 D． 80‎ ‎4、某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ）‎ A．474种 B．77种 C．462种 D．79种 ‎5、现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词（如图）涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为（　 　）‎ A．27 B．54 C．108 D．144‎ ‎6、某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”、“年度优秀员工”五种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有（ ）‎ A． 114种 B． 150种 C． 120种 D． 118种 ‎7、已知函数, 则（ ）‎ A． 0 B． C． 1009 D． 2018‎ ‎8、若，则_____，_____‎ ‎9、的展开式中的含的系数为__________ (用数字填写作答）.‎ ‎10、的展开式中x3的系数是____．‎ ‎11、已知的展开式中第3项与第2项系数的比是4，‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）展开式里所有x的有理项。‎ ‎12、8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.‎ ‎(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？‎ ‎(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？‎ ‎13、已知的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是，‎ ‎（1）求n；‎ ‎（2）求展开式中常数项．‎ ‎14、已知，．‎ ‎（1）若，求中含x2项的系数；‎ ‎（2）若是展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：．‎ 参考答案 ‎1、答案：B 根据题意得到，可将方格一列一列涂色，涂好第一列有3种涂法，之后涂第二列分情况讨论，再讨论第三列.‎ ‎【详解】‎ 根据题意可按照列选择涂色的元素，第一列可有3种选择方式，第一列方格标号为1，2，3，当第一列选定时比如选定1，2，第二列有两种选择，涂第一行和第三行，或者涂第二行和第三行，当第二列确定时，第三列也就确定了.故共种涂色方法.‎ 故答案为：B.‎ 解排列组合问题要遵循两个原则：‎ ‎①按元素(或位置)的性质进行分类；‎ ‎②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．‎ ‎2、答案：B 如果是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定的值，进而利用展开式，根据二次项的系数，即可求出的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵二项式的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，‎ ‎∴，‎ 又∵的通项为：，‎ 令，解得，‎ 又∵展开式中项的系数为，即，解得或（舍去）‎ 故选B.‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，根据展开式中某项的系数求参数，属于中档题 ‎3、答案：C 分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得 令,则 所以 故选C.‎ 点评：本题主要考查二项式定理，属于基础题。‎ ‎4、答案：A 根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下 午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有，那么连着上3节课的情况有5种，则利用间接法可知所求的方法有-5=474，故答案为A.‎ 考点：排列组合 点评：主要是考查了排列组合的运用，属于基础题。‎ ‎5、答案：C 首先给最左边一块涂色，有4种结果，再给左边第二块涂色有3种结果，以此类推第三块也有3种结果，第四块也有3种结果，根据分步计数原理得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意知本题是一个分步计数问题，‎ 首先给最左边一块涂色，有4种结果，‎ 再给左边第二块涂色有3种结果，‎ 以此类推第三块有3种结果，第四块有3种结果，‎ ‎∴根据分步计数原理知共有4×3×3×3＝108.‎ 故选：C．‎ 本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是看清条件中对于涂色的限制，属于中档题．‎ ‎6、答案：A 将种荣誉分给人，共有和两类. ①当为时，共有，“道德模范”与“新长征突击手”分给一个人共有种，故有；②当为时，共有，“道德模范”与“新长征突击手”分给一个人共有种，故有种，综上，不同的分配方法共有种，故选A.‎ ‎7、答案：C 使用二项式定理化简得，根据与互为相反数便可得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎．‎ ‎∵，，，．‎ ‎∴，，，．‎ ‎∴，故选C．‎ 本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是将函数化为，属于中档题．‎ ‎8、答案： ‎ 利用赋值法求第一个问题，观察可得，再利用展开式的通项公式求得第二个问题的结果.‎ ‎【详解】‎ 令x＝0，得0=；又=,将x+1视为一个整体，则为二项式展开式中的系数，‎ 展开式的通项公式为，令r=1，则的系数的值为=-6,故答案为0，-6.‎ 本题考查了二项式展开式定理的应用问题，考查了展开式中的通项公式的应用及赋值法，是基础题．‎ ‎9、答案： 11‎ 把多项式按乘法展开，将问题转化为二个二项展开式的系数问题。利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，分别令x的指数为3和5，求出展开式含和项的系数，再求出最终结果。‎ ‎【详解】‎ ‎=‎ 而展开式的通项为 取和，得展开式中含和项的系数分别为10和1，‎ 所以的展开式中的含的系数为10+1=11。‎ 本题考查了等价转化的数学思想，以及利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式指定项的系数问题，属于基础题。‎ ‎10、答案：8‎ 利用二项展开式的通项公式求出和的通项，再利用多项式的乘法进一步求的系数.‎ ‎【详解】‎ 和的通项公式分别为，，‎ 从而的系数是，‎ 故答案为8.‎ 本题主要解决二项展开式的特定项问题，一般利用的工具是二项展开式的通项公式，属于基础题.‎ ‎11、答案：（1）n＝9；（2）‎ 试题分析：（1）利用二项式系数的性质可得，从而可求得的值；（2）利用二项式展开式的通项公式，由的幂指数，即可求得的值，从而可求得展开式且所求的有理项.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题设，得，‎ 即，解得n＝9，n＝0（舍去）．n＝9‎ ‎（2）通项（‎ 根据题意：，解得3或9‎ 展开式里所有x的有理项为 本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎12、答案：(1)1440种(2)240种 试题分析：(1)正、副组长相邻而坐，可将此人当作人看，即人围一圆桌，有＝种坐法，又因为正、副组长人可换位，有种坐法，由分步计数乘法原理可得结果．(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此人视作人，即人围一圆桌，有＝种坐法，又因为正、副组长人可以换位，有种坐法，根据分步计数乘法原理可得结果．‎ 试题(1)正、副组长相邻而坐，可将此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、副组长2人可换位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440种．‎ ‎(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为正、副组长2人可以换位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240种．‎ ‎13、答案：（1）10（2）5‎ 试题分析：（1）由题意知，由此求得n的值；（2）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项 试题（1）由题意知，，‎ 化简，得．解得（舍），或．‎ ‎（2）设该展开式中第项中不含，则，‎ 依题意，有，．所以，展开式中第三项为不含的项，且．‎ 考点：二项式定理 ‎14、答案：（1）56；（2）证明见解析。‎ 试题分析：（1）确定函数g（x），利用二项式定理可得g（x）中含x2项的系数；‎ ‎（2）确定pn的表达式，根据数学归纳法的步骤，先证n=1时成立，再设n=k时成立，利用归纳假设证明n=k+1时成立即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎∴中含项的系数为.‎ ‎（2）证明：由题意，.‎ ‎①当时，，成立；‎ ‎②假设当时，成立，‎ 当时，‎ ‎,‎ ‎∵，，即，‎ 代入（）式得成立.‎ 综合①②可知，对任意成立.‎ 本题考查二项式定理，考查数学归纳法的运用，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．‎