【数学】2020届一轮复习人教B版极坐标ϵ作业 4页

一、选择题 ‎1．已知点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点坐标是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　‎ 如图所示，描点－2，－时，先找到角－的终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点.直线θ＝，就是由极角为的点的集合．故M关于直线θ＝的对称点为M′2，，但是选择项没有这样的坐标．又因为M′的坐标还可以写成M′，故选B. ‎ ‎2．一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P1(－5,109°)，P2(4,49°)，则这个三角形P1OP2的面积为(　　)‎ A．5 B．10 ‎ C. D．10‎ 解析：选A　点P1的坐标可写为(5，－71°)，则∠P1OP2＝120°，S△P1OP2＝×4×5sin 120°＝5.‎ ‎3．在极坐标系中，点A，B，则线段AB中点的极坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 解析： 选A　由点A， B知，∠AOB＝，于是△AOB为等腰直角三角形，所以|AB|＝×＝1，设线段AB的中点为C，则|OC|＝，极径OC与极轴所成的角为，所以线段AB中点C的极坐标为.‎ ‎4．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－‎ x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 解析： 选A　将极坐标方程转化为直角坐标方程即可．A中，由ρ＝，得ρcos θ＋ρsin θ＝1，∴x＋y＝1，∴y＝1－x(0≤x≤1)．B中，由ρ＝，得y＝1－x.C中，由ρ＝cos θ＋sin θ，得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，即x2＋y2＝x＋y(0≤x≤1)．D中，由ρ＝cos θ＋sin θ，得x2＋y2＝x＋y.‎ 二、填空题 ‎5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M的极坐标与直角坐标相同，则点M的直角坐标为________．‎ 解析：点M的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x，y)，依题意得ρ＝x，θ＝y，即x2＋y2＝x2.∴y＝θ＝0，ρ>0，∴M(ρ，0)．‎ 答案：(ρ，0)‎ ‎6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为____________．‎ 解析：‎ 如图所示，|OM|＝3，∠xOM＝，在直线OM上取点P、Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝，∠xOQ＝，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.‎ 答案：或 ‎7．直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角等于________．‎ 解析：‎ 如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．‎ 因为|AO|＝|BO|＝3，∠AOB＝－＝，‎ 所以∠OAB＝＝.‎ 所以∠ACO＝π－－＝.‎ 答案： ‎8．已知点M的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－，<θ<π，则点M的直角坐标为________．‎ 解析：∵tan θ＝－，<θ<π，‎ ‎∴cos θ＝－，sin θ＝.‎ ‎∴x＝5cos θ＝－3，y＝5sin θ＝4.‎ ‎∴点M的直角坐标为(－3,4)．‎ 答案：(－3,4)‎ 三、解答题 ‎9．某大学校园的部分平面示意图如图所示．‎ 用点O、A、B、C、D、E、F分别表示校门，器材室，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))‎ 解：以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m), 建立极坐标系，如图所示．‎ 由|OB|＝600 m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°， 得|AB|＝300 m，|OA|＝300 ‎ m，同样求得|OD|＝2|OF|＝300，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300，0)，B，C，D，E(300，π)，F.‎ ‎10．已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．‎ ‎(1)点P是点Q关于极点O的对称点；‎ ‎(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．‎ 解： (1)由于P、Q关于极点对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．‎ ‎(2)由P、Q关于直线θ＝对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，所以点P的坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．‎ ‎11．已知△ABC三个顶点的极坐标分别为A，B，C，极点O(0,0)．‎ ‎(1)判断△OAB的形状；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ 解： 所给各点的直角坐标分别为A(0,2)，B(－，1)，C，O(0,0)．‎ ‎(1)∵|AB|＝＝2，|OA|＝|OB|＝2，∴△OAB为等边三角形．‎ ‎(2)∵|AC|＝＝，|BC|＝＝，|AB|＝2，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎∵AB的中点为D，‎ ‎|CD|＝＝2，‎ ‎∴S△ABC＝|AB||CD|＝×2×2＝2.‎