【数学】2020届一轮复习（文）通用版6-1数列的概念及其表示作业 6页

第六章　数　列 ‎【真题典例】‎ ‎§6.1　数列的概念及其表示 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 数列的 概念及 其表示 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 ‎2016课标全国Ⅲ,17,12分 等比数列定义 数列的递推公式 ‎★★☆‎ ‎2014课标Ⅱ,16,5分 数列的递推公式 数列的周期性 了解递推公式的概念及数列前n项和的定义 ‎2014湖南,16,12分 由Sn=f(n)求数列通项公式;数列的分组求和 等比数列的求和公式及并项求和 分析解读　　了解数列的概念和有关的表示方法,了解数列的通项公式、递推公式,了解数列的通项公式与前n项和之间的关系,了解数列是自变量为正整数的一类函数.考查数列的有关概念和性质,培养学生的创新能力、抽象概括能力.本节内容在高考中分值约为5分,属于中低档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　数列的概念及其表示 ‎1.(2018河南濮阳模拟,7)已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+2n,则a2 018=(　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.2 018×2 019 B.2 017×2 018‎ C.2 016×2 017 D.2 018×2 018‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019届广东佛山顺德模拟,9)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=‎1‎‎3‎an+1-1,bn=log4an,Tn为数列{bn}的前n项和,则T100=(　　)‎ A.4 950 B.99log46+4 851‎ C.5 050 D.99log46+4 950‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019届黑龙江龙凤区模拟,9)已知数列{an}的首项a1=35,且满足an-an-1=2n-1(n∈N*,n≥2),则ann的最小值为(　　)‎ A.2‎34‎ B.‎59‎‎5‎ C.‎35‎‎3‎ D.12‎ 答案　C　‎ ‎4.(2019届辽宁双台子区模拟,9)已知数列{an}满足a1=0,an+2=an+an+1,则a2+a4+…+a2n=(　　)‎ A.0 B.an C.a2n+2 D.a2n+1‎ 答案　D　‎ ‎5.(2019届四川云阳模拟,12)已知数列{an}满足:a1=‎1‎‎2‎,a2=1,an+1=an+an-1(n∈N*,n≥2),则‎1‎a‎1‎a‎3‎+‎1‎a‎2‎a‎4‎+‎1‎a‎3‎a‎5‎+…+‎1‎a‎2 018‎a‎2 020‎的整数部分为(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 答案　B　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　利用Sn与an的关系求通项公式 ‎1.(2017湖南岳阳一模,7)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=‎(n+1)‎an‎2‎,则a2 017=(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.2 016 B.2 017‎ C.4 032 D.4 034‎ 答案　B　‎ ‎2.(2018河北承德实验中学期中,9)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=(　　)‎ A.2n-1 B.‎3‎‎2‎n-1‎ C.‎2‎‎3‎n-1‎ D.‎‎1‎‎2‎n-1‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019届福建武平模拟,10)已知数列{an}的前n项和满足2Sn=an+‎2‎an,则数列{Sn‎2‎}的通项公式为(　　)‎ A.4n-2 B.4n C.2n-2 D.2n 答案　D　‎ 方法2　已知数列的递推公式求数列的通项公式 ‎1.(2019届浙江宁波模拟,12)设[x]表示不超过x的最大整数,如[-3.14]=-4,[3.14]=3.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=an+n+1,则‎1‎a‎1‎‎+‎1‎a‎2‎+…+‎‎1‎an=(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　A　‎ ‎2.(2019届陕西澄城模拟,7)在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an‎3an+1‎(n∈N*),则an的表达式为(　　)‎ A.an=‎2‎‎4n-3‎ B.an=‎2‎‎6n-5‎ C.an=‎2‎‎4n+3‎ D.an=‎‎2‎‎2‎n‎-1‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019届山东济宁模拟,8)设数列{an}满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),则a18=(　　)‎ A.‎25‎‎9‎ B.‎26‎‎9‎ C.3 D.‎‎28‎‎9‎ 答案　B　‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 ‎1.(2014课标Ⅱ,16,5分)数列{an}满足an+1=‎1‎‎1-‎an,a8=2,则a1=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎2.(2016课标全国Ⅲ,17,12分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an‎2‎-(2an+1-1)an-2an+1=0.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ 解析　(1)由题意得a2=‎1‎‎2‎,a3=‎1‎‎4‎.(5分)‎ ‎(2)由an‎2‎-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).‎ 因为{an}的各项都为正数,所以an+1‎an=‎1‎‎2‎.‎ 故{an}是首项为1,公比为‎1‎‎2‎的等比数列,因此an=‎1‎‎2‎n-1‎.(12分)‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 ‎1.(2014江西,17,12分)已知数列{an}的前n项和Sn=‎3n‎2‎-n‎2‎,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明:对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.‎ 解析　(1)由Sn=‎3n‎2‎-n‎2‎,得a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2.‎ 经验证,a1=1符合an=3n-2,‎ 所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.‎ ‎(2)证明:要使a1,an,am成等比数列,只需要an‎2‎=a1·am,‎ 即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2,‎ 而此时m∈N*,且m>n,‎ 所以对任意的n>1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.‎ ‎2.(2014湖南,16,12分)已知数列{an}的前n项和Sn=n‎2‎‎+n‎2‎,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=‎2‎an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.‎ 解析　(1)当n=1时,a1=S1=1;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n‎2‎‎+n‎2‎-‎(n-1‎)‎‎2‎+(n-1)‎‎2‎=n.‎ 故数列{an}的通项公式为an=n.‎ ‎(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn,记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).‎ 记A=21+22+…+22n,B=-1+2-3+4-…+2n,则A=‎2(1-‎2‎‎2n)‎‎1-2‎=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.‎ 故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.‎ C组　教师专用题组 ‎　(2013课标Ⅰ,14,5分)若数列{an}的前n项和Sn=‎2‎‎3‎an+‎1‎‎3‎,则{an}的通项公式是an=　　　　. ‎ 答案　(-2)n-1‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:45分钟　分值:65分 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.(2018湖北枣阳12月模拟,2)已知数列‎2‎,‎5‎,2‎2‎,‎11‎,…,则2‎5‎是这个数列的(　　)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ‎ A.第6项 B.第7项 C.第11项 D.第19项 答案　B　‎ ‎2.(2019届安徽金安区模拟,8)已知数列{an}的通项为an=nn‎2‎‎+58‎,则数列{an}的最大值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎‎58‎ B.‎7‎‎107‎ C.‎4‎‎61‎ D.不存在 答案　C　‎ ‎3.(2018安徽铜陵12月模拟,7)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.数列前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50,则此数列第20项为(　　)‎ A.180 B.200 C.128 D.162‎ 答案　B　‎ ‎4.(2019届四川宜宾模拟,9)设数列{an}中a1=a2=1,且满足a2n+1=3a2n-1与a2n+2-a2n+1=a2n,则数列{an}的前12项的和为(　　)‎ A.364 B.728 C.907 D.1 635‎ 答案　C　‎ ‎5.(2017宁夏银川九中期中,5)已知数列{an}满足a1=1,an+1=‎2an(n为正奇数),‎an‎+1(n为正偶数),‎则其前6项之和是(　　)‎ A.16 B.20 C.33 D.120‎ 答案　C　‎ ‎6.(2019届广东广州模拟,9)已知数列{an}满足a1=2,2anan+1=an‎2‎+1,设bn=an‎-1‎an‎+1‎,则数列{bn}是(　　)‎ A.常数列 B.摆动数列 C.递增数列 D.递减数列 答案　D　‎ ‎7.(2019届湖南天心区模拟,12)已知Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,2Sn=(n+1)an,若关于正整数n的不等式an‎2‎-tan≤2t2的解集中的整数解有两个,则正实数t的取值范围为(　　)‎ A.‎1,‎‎3‎‎2‎ B.‎‎1,‎‎3‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎‎,1‎ D.‎‎1‎‎12‎‎,1‎ 答案　A　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎8.(2017辽宁大连期中联考,16)在数列{an}中,a1=1,an+1=‎2‎anan‎+2‎,则数列{an}的通项an=　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎n+1‎ ‎9.(2019届上海黄浦模拟,16)数列{an}满足:a1=1,a2=2,且an+2-an=3+cos(nπ)(n∈N*),若数列{an}的前n项和为Sn,则S100=　　　　. ‎ 答案　7 500‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎10.(2018河北“名校联盟”高三教学质量监测,17)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+kn,其中k为常数,a6=13.‎ ‎(1)求k的值及数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=‎2‎n(an+1)‎,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解析　(1)∵Sn=n2+kn,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+k-1.∴当n=6时,a6=11+k=13,解得k=2.‎ ‎∴当n≥2时,an=2n+1.‎ 当n=1时,a1=S1=1+2=3,也满足上式.‎ 所以an=2n+1(n∈N*).‎ ‎(2)bn=‎2‎n(an+1)‎=‎2‎n(2n+2)‎=‎1‎n(n+1)‎=‎1‎n-‎1‎n+1‎,‎ ‎∴Tn=‎1-‎‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎+…+‎1‎n-1‎‎-‎‎1‎n+‎1‎n‎-‎‎1‎n+1‎=1-‎1‎n+1‎=nn+1‎,‎ 所以数列{bn}的前n项和Tn=nn+1‎.‎ 规律总结　①已知Sn=f(n)求an:n=1时,an=S1;n≥2时,an=Sn-Sn-1=g(n),令n=1,符合时,an=g(n)(n∈N*);不符合时,an=‎S‎1‎‎,n=1,‎g(n‎0‎),n≥2.‎ ‎②an=‎1‎bn‎·‎bn+1‎=‎1‎d‎1‎bn‎-‎‎1‎bn+1‎({bn}为等差数列,公差为d).‎ ‎11.(2019届重庆模拟,18)设数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N+).‎ ‎(1)求a1,a2;‎ ‎(2)若bn=n(2-n)(an-1),求{bn}的最大项,并写出取最大项的项数.‎ 解析　(1)∵数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N+),‎ ‎∴a1=1-a1,a1+a2=2-a2,‎ 解得a1=‎1‎‎2‎,a2=‎3‎‎4‎.‎ ‎(2)由数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N+),‎ 得n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1=n-1-an-1,‎ 相减可得an=1-an+an-1,‎ 可得an-1=‎1‎‎2‎(an-1-1)(n≥2),‎ ‎∴数列{an-1}是等比数列,公比为‎1‎‎2‎,首项为-‎1‎‎2‎.‎ ‎∴an-1=-‎1‎‎2‎n(n∈N+),‎ ‎∴bn=n(2-n)(an-1)=n(n-2)×‎1‎‎2‎n.‎ bn+1-bn=(n+1)(n-1)×‎1‎‎2‎n+1‎-n(n-2)×‎1‎‎2‎n=‎-(n‎2‎-4n+1)‎‎2‎n+1‎,令bn+1-bn>0,解得2-‎3‎b5>b6>…>bn.‎ ‎∴b4是最大项,b4=‎1‎‎2‎.‎