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  • 2021-06-30 发布

2020届二轮复习坐标系与参数方程学案(全国通用)

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参数方程  ​ 曲线的参数方程定义 设平面上取定了一个直角坐标系 ,把坐标 , 表示为第三个变量 的函数 如果对于 的每一个值( ), 式所确定的点 都在一条曲线上;而这条曲线上 的任一点 ,都可由 的某个值通过 式得到,则称 式为该曲线的参数方程,其中 变量 称为参数.​ ​  直线的参数方程 直线的参数方程的一般形式是 .  圆的参数方程 若圆心在点 ,半径为 ,则圆的参数方程为 .  椭圆的参数方程 设椭圆的普通方程为 ,则椭圆的参数方程为 若椭圆的中心不在原点,而在点 ,相应的椭圆的参数方程为  抛物线的参数方程 设抛物线的普通方程为 ,则抛物线的参数方程为 .  双曲线的参数方程 设双曲线的普通方程为 ,则双曲线的参数方程为 .  摆线的参数方程 一圆周沿一直线作无滑动滚动时,圆周上的一定点 的轨迹称为摆线.如下图,设半径为 的圆在 轴上滚动,开始时定点 在原点 处.取圆滚动时转过的角度 (以弧度为单 位)为参数.当圆滚过 角时,圆心为 ,圆与 轴的切点为 ,定点 的位置如图所 示, 设动点 的坐标为 ,则所得摆线的参数方程为 ​ 极坐标与极坐标方程  极坐标系 在平面上取一个定点 ,由 点出发的一条射线 ,一个长度单位及计算角度的正方向 (通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系. 点称为极点, 称为极轴.平面任一点 的位置可以由线段 的长度 和从 到 的角度 来刻画.这两个数组成的有序 数对 称为点 的极坐标. 称为极径, 称为极角. 在极坐标系 中,一般限定 .当 时,就与极点重合,此时 不确定.给定 点的极坐标 ,就唯一地确定了平面上的一个点.但是,平面上的一个点的极坐标并不 是唯一的,它有无穷多种表示形式.事实上, 和 代表同一个点,其中 为整数.可见,平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系.这是极坐标与直角坐标的不 同之处,如果限定 , ,则除极点外,平面上的点就与它的极坐标系构成一一 对应关系. 若 ,此时极坐标 对应的点 的位置按下面规则确定:点 在与极轴成 角的 射线的反向延长线上,它到极点 的距离为 ,即规定当 时,点 就是点 .  极坐标与直角坐标的关系 设 为平面上的一点,它的直角坐标系为 ,极坐标为 . 则有 或 , 也成立.  曲线的极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程 .如果曲线 是由极坐标 满足方程的所有点组成的,则称此二元方程 为曲线 的极坐标方程. 圆心在极轴上的点 处,且过极点的圆,其极坐标方程是 ;圆心 在点 处且过极点的圆,其极坐标方程是 , . ​ 精选例题 坐标系与参数方程 1. 圆 ( 为参数)的圆心到直线 ( 为参数)的距离 为 . 【答案】 2. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,直线 过点 且与直线 垂直,则直 线 极坐标方程为 . 【答案】 3. 在极坐标系中,过点 的直线 与极轴的夹角 , 的极坐标方程为 . 【答案】 【分析】 依题意得直线 的斜率为 , 其直角坐标方程是 ,即 , 其极坐标方程为 . 4. 在直角坐标系 中,以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知两点的极坐 标为 ,则直线 的直角坐标方程为 . 【答案】 【分析】 两点的极坐标为 , , 化为直角坐标 , . 斜率 . 所以直线 的直角坐标方程为 , 化为 . 5. 点 经过伸缩变换 后得到点的坐标为 . 【答案】 【分析】 由伸缩变换公式 得 6. 已知椭圆 在直角坐标系下的方程为 ,以原点为极点,以 轴正半轴为极轴建立 极坐标系,以椭圆 的左焦点为圆心,且过椭圆中心的圆的极坐标方程为 . 【答案】 7. 在同一平面直角坐标系中,将曲线 变成曲线 ,则满足条件的伸缩变换是 . 【答案】 【分析】 可化为 ① 可化为 ②比较①②,可得 8. 极坐标方程分别为 和 的两个圆的圆心距为 . 【答案】 9. 在极坐标系中,直线 与曲线 相交于 , 两点, 为极点.则 的大小是 . 【答案】 10. 将椭圆 按 : 变换后的曲线围成图形的面积为 . 【答案】 【分析】 设椭圆 上任意一点的坐标为 ,按 变换后的对应的坐标为 ,由 得 带入椭圆方程得 ,为单位圆,面积为 . 11. 直线 与直线 交于点 ,与曲线 交于点 , ,求 与 的乘积. 【解】 联立两条直线的方程,得 故点 坐标为 ,直线 的倾斜角为 , 故直线 的参数方程为 由曲线 的参数方程得其普通方程为 . 把 的参数方程代入曲线 的普通方程, 有 , 即 ,则 . 故 . 12. 建立极坐标系证明:已知半圆直径 ( ),半圆外一条直线 与 所在直线 垂直相交于点 ,并且 .若半圆上相异两点 , 到 的距离 , 满足 ,则 . 【解】 以 为极点,射线 为极轴建立极坐标系,则半圆的极坐标方程为 . 设 , ,则 , , 又 , , 所以 , 所以 , 所以 , 是方程 的两个根,由韦达定理得 , 所以 . 13. 已知椭圆 ,过左焦点 的直线 交此椭圆于 , 两点, ,且 ,求直线 的方程及 的长. 【解】 解法一:由椭圆 可得椭圆的左焦点 的坐标为 ,则 设直线 的参数方程为 为直线 的倾斜角. 又点 , 在椭圆上,故 , 满足 , 即 . 则 , . 因为 , 所以 , 所以 , , , 即 , 则 . 因为 且 , 故直线 的方程为 . 线段 长度的计算见解法二. 解法二:以椭圆的左焦点 为极点,以 轴的正方向为极轴建立极坐标系,则 椭圆 对应的极坐标方程为 . 依题意,设 , 两点的极坐标分别为 , ,则 , . . 则 . 所以 , , . 故 ,直线 的方程为 . 14. 设抛物线 过顶点的两弦 , 互相垂直,求以 , 为直径的两圆的另 一个交点 的轨迹方程. 【解】 设抛物线 的参数方程为 则 , 两点的坐标分别设 , . 因为 , 互相垂直,故 . 以 为直径的圆的方程为 ,即 . 以 为直径的圆的方程为 ,即 . 设以 , 为直径的两圆的另一个交点 的坐标为 ,则其满足 , , 故 , 是方程 的两个根. 由根与系数的关系,得 . 故所求动点 的轨迹方程为 . 15. 在极坐标中,已知圆 经过点 ,圆心为直线 与极轴的交点,求圆 的极坐标方程. 【解】 在 中,令 ,得 ,所以圆 的圆心坐标为 . 因为圆 经过点 ,所以圆 的半径 于是圆 过极点,所以圆 的极坐标方程为 . 16. 已知直线 ,圆 . (1)当 时,求 与 的交点坐标; 【解】 当 时, 的普通方程为 的普通方程为 联立方程组 解得 与 的交点为 (2)过坐标原点 作 的垂线,垂足为 , 为 的中点,当 变化时,求点 轨迹的参 数方程,并指出它是什么曲线. 【解】 当 时, 的普通方程为 设 ,则 ,根据 在 上及 垂直于 得 消去 并整理,得 点轨迹的普通方程为 当 时,仍适合上述方程. 故 点是圆心为 ,半径为 的圆. 17. 在直角坐标系 中,圆 ,圆 . (1)在以 为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 、 的极坐标方程,并 求出圆 , 的交点坐标(用极坐标表示); 【解】 圆 的极坐标方程为 圆 的极坐标方程为 解方程组 得 故圆 与圆 交点的坐标为 . 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)求圆 与 的公共弦的参数方程. 【解】 解法一:由 得圆 与 交点的直角坐标分别为 故圆 与 的公共弦的参数方程为 其中 解法二:将 代入 得 从而 于是圆 与 的公共弦的参数方程为 其中 18. 在平面直角坐标系 中,求过椭圆 的右焦点,且与直线 平行的直线的普通方程. 【解】 椭圆的普通方程为 右焦点为 ; 直线的普通方程为 , 斜率为 ; 故所求直线方程为 即 19. 已知在直角 坐标系中,圆 的参数方程为 ( 为参数). (1)以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 的极坐标方程; 【解】 圆 的参数方程为 ( 为参数), 所以普通方程为 , 圆 化为极坐标方程: . (2)已知 , ,圆 上任意一点 ,求 面积的最大值. 【解】 点 到直线 : 的距离为 的面积 所以 面积的最大值为 . 20. 一个圆形体育馆,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区, 二区 十六区,我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为 ,每相邻两排的间距为 ,每层看台的高度为 ,现在需要确定第九区第四排正中的位置 ,请建立适当的坐 标系,把点 的坐标求出来. 【解】 以圆形体育场中心 为极点,选取以 为端点且过正东入口的射线 为极轴, 在地面上建立极坐标系,则点 与体育场中轴线 的距离为 , 极轴 按逆时针方向旋转 ,就是 在地平面上的射影, 距地面的高度为 ,因此我们可以用柱坐标来表示点 的准确位置. 所以点 的柱坐标为 . 参数方程 1. 已知两曲线参数方程分别为 和 ,它们的交点坐标 为 . 【答案】 【分析】 表示椭圆 ( 且 ); 表示抛物线 .椭圆方程与抛物线方程联立解方程组即得. 2. 已知曲线 ,曲线 ,则 与 的位置 关系为 . 【答案】 相离 3. 若圆 的方程为 ,则圆 的参数方程为 . 【答案】 ( 为参数)答案不唯一 4. 在平面直角坐标系中,曲线 的参数方程为 ,以坐标原点为极 点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为, ,若曲 线 上恰有 个点到直线 的距离等于 ,则实数 . 【答案】 【分析】 曲线 的方程化为 ,圆心 , ,直线 的方程化为 . 若曲线 上恰有 个点到直线 的距离等于 ,则圆心到直线 的距离等于 ,即 , 所以 . 5. 双曲线 的渐近线方程为________. 【答案】 6. (参数方程与极坐标)已知在直角坐标系中曲线 的参数方程为 ( 为参数且 ),在以原点 为极点,以 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线 的极坐标方程为 ,则曲线 与 交点的直角坐标为 . 【答案】 【分析】 由 及 ,得 . 由 ,得 . 联立 与 的方程,解得交点的坐标为 . 7. 直线的参数方程为 ( 为参数),则它的斜截式方程为 . 【答案】 8. 圆 ( 为参数)的圆心坐标为 ;直线 被圆 所截得 的弦长为 . 【答案】 ; 9. 在平面直角坐标系中,已知曲线 ( 为参数, ),则曲线 关 于 对称的曲线方程是 . 【答案】 10. 曲线 ( 为参数)的焦点坐标是 . 【答案】 【分析】 曲线化为一般式方程为 ,令 , ,则原式可化 为 ,此时焦点为 ,即 , ,得 , ,所以该曲线的焦点 为 . 11. 设直线 过点 ,倾斜角为 .直线 : . (1)写出直线 的一个参数方程; 【解】 由题意得直线 的方程为 . 设 ,得 ( 为参数),即为 的参数方程. (2)求直线 与 的交点. 【解】 将 代人 ,得 , 所以 . 所以 即 与 的交点为 . 12. 当 , 时,求出渐开线 上的对应点 , ,并求出 , 间的距离. 【解】 将 代入 得 , .所以 . 将 代入 得 , .所以 . 故 , 间的距离为 . 13. 在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数).以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 的方程为 . (1)写出直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程; 【解】 消去参数得直线 的普通方程为 , 由 得圆 的直角坐标方程 . (2)若点 的直角坐标为 ,圆 与直线 交于 两点,求 的值. 【解】 由直线 的参数方程可知直线过点 , 把直线 的参数方程代入圆 的直角坐标方程 , 得 , 化简得 , 因为 , 故设 , 是上述方程的两个实数根,所以 , , 两点对应的参数分别为 , , 所以 . 14. 边长为 的等边三角形 的两个端点 、 分别在 轴、 轴两正半轴上移动,顶点 和原点 分别在 两侧,记 ,求顶点 的轨迹的参数方程. 【解】 过点 作 轴于点 ,设点 的坐标为 . 则由 得 ( 为参数), 即为顶点 的轨迹方程. 15. 已知定直线 和线外一点 , 为直线 上一动点, 为正三角形(按逆时针方向 转,如图所示),求点 的轨迹方程. 【解】 以 点为原点,过点 作 的垂线为 轴建立直角坐标系. 设点 到直线 的距离为 (为定值,且 ),取 ( 为参数), . 设动点 ,在 中, , , , , . 点 的参数方程为 . 消去参数 ,得普通方程为 . 16. 已知曲线 : ( 为参数),曲线 : ( 为参数) (1)若 ,求曲线 的普通方程,并说明它表示什么曲线; 【解】 因为 , 所以 ( 为参数), 所以 , 所以曲线 的普通方程是 ,它表示过点 ,倾斜角为 的直线. (2)曲线 和曲线 的交点分别记为 , ,求 的最小值. 【解】 曲线 的普通方程为 . 将 ( 为参数)代入 中得 , 则 , 设 , 为方程的两个根,则有 , 所以当 时, 的最小值为 . 17. 在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),若曲线 与直线 : 相交于 , 两点,求线段 的长. 【解】 将曲线 的参数方程 化为普通方程得 , 由方程组 ,解得 或 . 所以 , 或 , , 所以 . 18. 设圆的半径为 ,沿 轴正向滚动,开始时圆与 轴相切于原点 ,记圆上动点为 ,它 随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时 点的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵 坐标 的最大值. 【解】 依题意可知,轨迹是摆线,其参数方程为 . 其曲线是摆线的第一拱 ,如下图所示: 易知,当 时, 有最大值 . 19. 已知 , , ,求证: . 【解】 设直线 ,圆 ,则 , 是直线 与圆 的两个交点,设 于 . 从而 又 ; , 所以 , 整理得 , 即 . 20. 平面直角坐标系中,若圆的摆线过点 ,求这条摆线的参数方程. 【解】 令 ,可得 , 所以 代入可得 . 所以 . 又根据实际情况可知 是圆的半径,故 . 所以应有 且 ,即 . 所以所求摆线的参数方程是 ( 为参数)(其中 ). 极坐标与极坐标方程 1. 在极坐标系中,点 到圆 的圆心的距离为 . 【答案】 2. 已知两点的极坐标 , ,则 , 与极轴正方向所夹角的大小 为 . 【答案】 ; 3. 在极坐标系中,曲线 与曲线 的一个交点在极轴 上,则 . 【答案】 4. 圆 的半径是 . 【答案】 5. 若曲线的极坐标方程为 ,以极点为原点,极轴为 轴正半轴建立直角坐 标系,则该曲线的直角坐标方程为 . 【答案】 6. 在极坐标系中,直线 过点 , ,则直线 向上的方向与极轴正方向的夹角等 于 . 【答案】 7. 在极坐标系 中,曲线 与 的交点的极坐标 为 . 【答案】 【分析】 两条曲线 与 的普通方程分别为 与 , 交点坐标为 ,对应的极坐标为 . 8. 已知曲线 的参数方程为 ( 为参数),则曲线上 的点到直线 的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】 曲线上 的点到直线 ,距离的最大值为 3. 9. 极坐标方程 所表示的曲线是 . 【答案】 圆 10. 如图所示的极坐标系中,以 为圆心,半径 的圆 的极坐标方程是 . 【答案】 【分析】 依题意,题中的圆 的圆心的直角坐标是 ,因此圆 的直角坐标方程是 ,即 ,相应的极坐标方程是 ,即 . (1)求过 平行于极轴的直线的极坐标方程; 【解】 如图所示,在直线 上任意取点 . 因为 , 所以 . 在 中, ,即 , 所以过 平行于极轴的直线方程为 . (2)直线 过点 ,且向上的方向与极轴正方向成 ,求直线 的极坐标方程. 【解】 如图所示, , , ,由已知 , 所以 . 所以 . 又 , 在三角形 中,根据正弦定理,得 . 因为 ,将 展开,化简上面的方程,可得 . 所以,过 且和极轴成 的直线方程为 . 12. 在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)把 的参数方程化为极坐标方程; 【解】 曲线 的参数方程为 ( 为参数)普通方程为 , 将 代入上式化简得 , 即 的极坐标方程为 . (2)求 与 交点的极坐标( , ). 【解】 曲线 的极坐标方程 化为平面直角坐标方程为 , 将 代入上式得 ,解得 , (舍去). 当 时, ,所以 与 交点的平面直角坐标为 , . 因为 , , , , , , 所以 , , 故 与 交点的极坐标 , . 13. 在直角坐标系 中,以 为极点, 轴正半轴为极轴建立直角坐标系,曲线 的参数 方程为 ( 为参数),曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的极坐标方程; 【解】 由 得 的直角坐标方程是 ,即 , 由 , , 得 曲线 的极坐标方程 , . (2)若射线 交曲线 和 于 , ( , 异于原点),求 . 【解】 设 , , 将 代入曲线 的极坐标方程 得 , 同理将 代入曲线 的极坐标方程 得 , 所以 . 14. 某大学校园的部分平面示意图如图所示.用点 , , , , , , 分别表示校门、器 材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园,建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标(限定 , 且极点为 ) 【解】 以点 为极点, 所在的射线为极轴 (单位长度为 ),建立极坐标系, 如图所示. 由 , , ,得 , , 同样求得 , 所以各点的极坐标分别为 , , , , , , . 15. 在极坐标系中,已知圆 的圆心为 ,半径为 , 点在圆周上运动, 为极点. (1)求圆 的极坐标方程; 【解】 如图所示, 设 为圆 上任意一点,在 中, , ,根据余弦定理得 化简整理得 ,即为圆 的极坐标方程. (2)若 在直线 上运动,且满足 ,求动点 的轨迹方程. 【解】 设 ,则有 设 ,则 当 时,又 ,即 代入 得 整理得 即为 点的轨迹方程. 当 时,又 ,同理可得 所以点 的轨迹方程为 或 . 16. 在直角坐标系 中,直线经过点 ,其倾斜角为 ,以原点 为极点,以 轴非 负半轴为极轴,与直角坐标系 取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线 的极坐标方 程为 . (1)若直线与曲线 有公共点,求 的取值范围; 【解】 将 的极坐标方程 化为直角坐标为 , 直线的参数方程为 ( 为参数), 将直线的参数方程代入曲线 的方程整理得 , 直线与曲线有公共点, 所以 ,得 或 . 因为 , 所以 的取值范围为 . (2)设 为曲线 上任意一点,求 的取值范围. 【解】 曲线 的方程 化为 , 其参数方程为 ( 为参数), 为曲线 上任意一点, 所以 . 的取值范围是 . 17. 已知圆 的极坐标方程为 ,求圆心的极坐标. 【解】 以极坐标系的极点为直角坐标系的原点 ,极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系 , 圆 的极坐标方程为 , 则圆 的直角坐标系方程为 ,即 , 于是圆心的直角坐标为 ,则其极坐标为 . 18. 极坐标与参数方程在直角坐标系 中,圆 的参数方程为 ( 为参 数).在极坐标系(直角坐标系 取相同的单位长度,以原点 为极点,以 轴正半轴为 极轴)中,直线 的方程为 . (1)求圆 的极坐标方程; 【解】 由 得圆 的直角坐标方程为 , 即 . 化为极坐标方程为: ,即 . (2)设圆 与直线 交于点 , ,求 . 【解】 展开 得: , 所以直线 的普通方程为 . 由(1)知圆 的圆心坐标为 ,半径 , 所以圆心 到直线 的距离 . 所以 . 所以 . 19. 在极坐标系中,求圆 的圆心到直线 的距离. 【解】 将圆 化为普通方程为 ,圆心为 ,又 ,即 , 所以直线的普通方程为 , 故所求的圆心到直线的距离 . 20. 在直角坐标系 中,以 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方 程为 , , 分别为 与 轴, 轴的交点.写出 的直角坐标方程,并求 , 的极坐标. 【解】 由 得 . 从而 的直角坐标方程为 ,即 时, ,所以 . 时, ,所以 . 课后练习 1. 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍(纵坐标不变)得到函 数 的图象. 2. 如图,过点 作边长为 的等边 , 边上的高为 .设 的外接圆为圆 ,现以顶点 为极点,以射线 为极轴建立极坐标系,规定在极坐标系中,点 的极坐标 满足: , ,则图中, (1)点 的极坐标为 ; (2)圆 的极坐标方程为 ; (3)直线 的极坐标方程为 . 3. 在同一坐标系中,将曲线 变为曲线 的伸缩变换是 . 4. 已知直线 的参数方程为 ( 为参数),圆 的参数方程为 ( 为 参数),则圆 上的点到直线 的距离的最大值为 . 5. 在极坐标系中,曲线 与 的交点的极坐标为 . 6. 已知直线 的参数方程为 则 (1)直线 的倾斜角 ; (2)直线 与直线 : 的交点坐标为 ; (3)点 到直线 的距离为 . 7. 在极坐标系中,曲线 的极坐标方程为 ,点 到曲线 上点的距离的 最小值 . 8. 在极坐标系 ( )中,曲线 与 的交点的 极坐标为 . 9. 若直线 与圆 ( 为参数)没有公共点,则实数 的取值范 围是 . 10. 将极坐标方程 化为直角坐标方程是 . 11. 在平面直角坐标系中,直线 的参数方程为 (参数 ),圆的参数方程为 (参数 ),则圆心到直线 的距离为 . 12. 在平面直角坐标系中,已知直线 的参数方程为 ,曲线 的参数方程 为 ,若直线 与曲线 交于 、 两点,则 13. 若点 在曲线 ( 为参数)上,则 的取值范围是 . 14. 若圆 的参数方程为 ( 为参数),则圆 的圆心坐标为 ,圆 与直线 的交点个数为 . 15. 曲线 ( 为参数)上一点 到点 的距离之和为 . 16. 已知动直线 平分圆 ,则直线 与圆 ( 为参数) 的位置关系是 . 17. 在直角坐标系 中,已知曲线 ( 为参数)与曲线 ( 为参 数, )有一个公共点在 轴上,则 . 18. 在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ,圆 的参数方程 为 ,则圆心到直线 的距离是 . 19. 直线 ( 为参数)的倾斜角为 . 20. 直线 ( 为参数)被圆 截得的弦长为 . 21. 已知椭圆 在直角坐标系下的方程为 ,以原点为极点,以 轴正半轴为极轴建 立极坐标系,过椭圆 的右焦点,且垂直于 轴的直线的极坐标方程为 . 22. 在极坐标系中,直线 与直线 的夹角大小为 .(结 果用反三角函数值表示) 23. 已知曲线 的极坐标方程为 ,则 与极轴的交点到极点的距离 是 . 24. 在极坐标系中,点 到直线 的距离为 ,则 的值 为 . 25. 在平面直角坐标系中,当 不是原点时,定义 的“伴随点”为 ; 当 是原点时,定义 的“伴随点“为它自身,平面曲线 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 定义为曲线 的“伴随曲线”.现有下列命题: ①若点 的“伴随点”是点 ,则点 的“伴随点”是点 ; ②单位圆的“伴随曲线”是它自身; ③若曲线 关于 轴对称,则其“伴随曲线” 关于 轴对称; ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是 (写出所有真命题的序号). 26. 在平面直角坐标系中,当 不是原点时,定义 的“伴随点”为 ; 当 是原点时,定义 的“伴随点“为它自身,现有下列命题: ①若点 的“伴随点”是点 ,则点 的“伴随点”是点 ; ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上; ③若两点关于 轴对称,则他们的“伴随点”关于 轴对称; ④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 (写出所有真命题的序号). 27. 在极坐标系中,曲线 ,曲线 ,若曲线 与 交于 两点,则线 段 . 28. 在极坐标系中, 是极点,设点 , ,则 的面积是 . 29. 极坐标系内,点 到直线 的距离是 . 30. 过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是 . 31. 在直角坐标系 中,直线 的方程为 ,曲线 的参数方程为 . (1)已知在极坐标(与直角坐标系 取相同的长度单位,且以原点 为极点,以 轴正 半轴为极轴)中,点 的极坐标为 ,判断点 与直线 的位置关系; (2)设点 是曲线 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值. 32. 在极坐标系中,已知圆 的方程是 ,直线 的方程是 ,求圆 上一点 到直线 的距离的最大值. 33. 在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 在极坐标系(与直 角坐标系 取相同的长度单位,且以原点 为极点,以 轴正半轴为极轴)中,圆 的方程为 (1)求圆 的直角坐标方程; (2)设圆 与直线 交于点 、 ,若点 的坐标为 ,求 . 34. 在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),曲线 的参 数方程为 ( , 为参数).在以 为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐 标系中,射线 与 , 各有一个交点,当 时,这两个交点间的距离为 ,当 时,这两个交点重合. (1)分别说明 , 是什么曲线,并求出 与 的值; (2)设当 时, 与 , 的交点分别为 , ,当 时, 与 , 的交点分别 为 , ,求四边形 的面积. 35. 由抛物线 上各点作 轴的垂线段,求线段中点的轨迹方程(参数形式). 36. 化圆锥曲线的极坐标方程 为直角坐标方程. 37. 已知曲线 的参数方程为 ( 为参数, ).求曲线 的普通方程. 38. 已知直线 与圆 ,试判断它们的公共点个 数. 39. 在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),以原点为极点, 轴 正半轴为极轴建立坐标第,曲线 的极坐标方程为 . (1)写出直线 和曲线 的直角坐标方程; (2) 是曲线 上任间一点,求 到直线 的距离的最大值. 40. 过点 作倾斜角为 的直线与曲线 交于点 、 ,求 的最 小值及相应的 值. 41. 已知椭圆 ,直线 过点 . (1)当 的斜率为 时,求 被椭圆截得的弦长; (2)当 交椭圆于 , 两点,且 时,求 的倾斜角的正切值. 42. 已知曲线 ( 为参数), ( 为参数). 化 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线. 43. 已知直线 的方程为 ,圆 的参数方程为 ( 为参数),以原点为 极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求直线 与圆 的交点的极坐标; (2)若 为圆 上的动点,求 到直线 的距离 的最大值. 44. 已知曲线 : ( 为参数),曲线 : ( 为参数). (1)指出 各是什么曲线,并说明 与 公共点的个数; (2)若把 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 , .写出 , 的 参数方程. 与 公共点的个数和 与 公共点的个数是否相同?说明你的理由. 45. 求直线 ( 为参数)被双曲线 上截得的弦长. 46. 已知圆的直径为 ,其渐开线的参数方程对应的曲线上两点 , 对应的参数分别为 和 ,求点 、 的直角坐标. 47. 已知双曲线方程为 , 为双曲线上任意一点,点 到两条渐近线的距离分别为 和 ,求证: 与 的乘积是常数. 48. 设 为椭圆 上任意一点, 为圆 上任意一点,求 的最大值 和最小值. 49. 已知直线的参数方程为 ( 为参数),它与曲线 交于 , 两点. (1)求线段 的长; (2)求点 到线段 中点 的距离. 50. 已知点 是圆 上任意一点,求 的最大值,并求出取得最大值时 的值. 51. 在极坐标系中,求圆 上的点到直线 的距离的最大值. 52. 已知直线 经过点 ,且倾斜角为 ,圆 以 为圆心,过极点. (1)求 与 的极坐标方程; (2)判断 与 的位置关系; 53. 曲线 的极坐标方程为 ,以极点 为原点,极轴 为 的非负半轴,保持 单位长度不变建立直角坐标系 . (1)求曲线 的直角坐标方程; (2)直线 的参数方程为 ( 为参数).若 与 的交点为 ,求点 与点 的距离 . 54. 在极坐标系中,已知 的三个顶点的极坐标分别为 , , . (1)判断 的形状; (2)求 的面积. 55. 已知半圆直径 ,半圆外一条直线 与 所在直线垂直相交与点 ,并且 .若半圆上相异两点 、 到 的距离 , 满足 ,通过建立极坐标系,求证 . 56. 求: (1)过 且平行于极轴的直线; (2)过 且和极轴成 的直线. 57. 判断点 是否在曲线 上 ? 58. 在直角坐标系中,以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线 : ( 为参数),曲线 : ( 为参数). (1)化 , 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 上的点 对应的参数为 , 为 上的动点,求 中点 到直线 : 距离的最小值. 59. 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化. (1) ; (2) . 60. 1.在直角坐标系 中,圆 的圆心是 ,且与 轴相切.以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 的极坐标方程; (2)若直线 的极坐标方程为 .设 与 的交点是 , ,求 的面 积. 坐标系与参数方程-出门考 姓名 成绩 1. 在极坐标系中,已知曲线 的方程是 ,过点 作曲线 的切线,则切线长等 于 . 2. 在平面直角坐标系 中,曲线 和 的参数方程分别为 和 ,则曲线 和 的交点坐标为 . 3. 在平面直角坐标系 中,曲线 和 的参数方程分别为 ( 是参数, )和 ( 是参数),则曲线 与 的交点坐标为 . 4. 已知直线 ( 为参数且 )与曲线 ( 是参数且 ),则直线 与曲线 的交点坐标为 . 5. 在极坐标系中, 为极点,直线 过圆 : 的圆心 ,且与直线 垂 直,则直线 l 的极坐标方程为 . 6. 如图,在极坐标系中,过点 的直线 与极轴的夹角 .若将 的极坐标方程写成 的形式,则 . 7. 已知抛物线 的参数方程为 ( 为参数),若斜率为 的直线经过抛物线 的焦 点,且与圆 相切,则 . 8. 在平面直角坐标系 中,点 的直角坐标为 .若以原点 为极点, 轴正半轴 为极轴建立极坐标系,则点 的极坐标可以是 . 9. 对任意实数 ,直线: 与椭圆: 恒有公共点,则 的 取值范围是 . 10. 在极坐标系中,直线 被圆 截得的弦长为 . 11. 已知参数方程为 ,则该圆的渐开线参数方程为 ,摆线参数方 程为 . 12. 将参数方程 ( 为参数)化为普通方程为 . 13. 已知椭圆的参数方程为 ( 为参数, ),则该椭圆的焦距为 . 14. 已知直线 : ( 为参数), : ( 为参数),若 ,则 ;若 ,则 . 15. 若直线 与曲线 (参数 )有唯一的公共点,则实数 . 16. 已知圆 的参数方程为 ( 为参数),以原点为极点, 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,直线的极坐标方程为 ,则直线截圆 所得的弦长 是 . 17. 圆 的参数方程为 ( 为参数),则圆 的圆心坐标为 ,若点 为圆 的弦 的中点,则直线 的斜率是 . 18. 在平面直角坐标系 中,已知圆 和直线 : ,则直线 与圆 相交所得的弦长等于 . 19. 在直角坐标系 中,以原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 的 极坐标方程为 ,曲线 的参数方程为 ( 为参数).若曲线 与 相交于 , 两点,则线段 的长等于 . 20. 直线 ( 为参数)上与点 的距离等于 的点的坐标是 . 21. 直线 与圆 相交的弦长为 . 22. 在极坐标系中,点 在曲线 上,点 在直线 上,则 的 最小值是 . 23. 在极坐标系中,圆 的圆心到直线 的距离为 . 24. 在极坐标系中,圆 的圆心到直线 的距离是 . 25. 若直线的极坐标方程为 ,则极点到该直线的距离是 . 26. 在极坐标系中,已知 ,则 . 27. 在极坐标系中,设 , ,曲线 与曲线 交点的极坐标 为 . 28. 圆心为 ,半径为 的圆的极坐标方程为 . 29. 在极坐标系中,点 到曲线 上的点的距离的最小值为 . 30. 极坐标方程 化为直角坐标方程是 . 31. 在极坐标系中,圆 与直线 相切,求实数 的值. 32. 设直线 过点 ,且倾斜角为 . (1)写出直线 的参数方程; (2)设此直线与曲线 : ( 为参数)交于 , 两点,求 ; (3)设 , 中点为 ,求 . 33. 在极坐标系中,圆 的极坐标方程为 ,已知 , , 为圆 上一点,求 面积的最小值. 34. 在极坐标系中,作出下列各点: , , , , , 35. 已知圆 的圆心为 ,半径为 ,直线 被圆截得的弦长为 ,求 的值. 36. 将下列参数方程化为普通方程,并说明方程表示的曲线. (1) ( 为参数); (2) ( 为参数, ); (3) ( 为参数); (4) ( , 为大于零的参数, 为参数); 37. 把下列参数方程化为普通方程,并说明是什么曲线. (1) ( 为参数); (2) ( 为参数). 38. 在直角坐标系 中,以 为极点, 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程 为 , , 分别为 与 轴, 轴的交点. (1)写出 的直角坐标方程,并求 , 的极坐标; (2)设 的中点为 ,求直线 的极坐标方程. 39. 在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数).以点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 . (1)将曲线 和直线 化为直角坐标方程; (2)设点 是曲线 上的一个动点,求它到直线 的距离的最大值. 40. 求摆线 与直线 的交点的直角坐标. 41. 连接原点 和抛物线 上的动点 ,延长 到点 ,使 ,求点 的轨 迹方程,并说明它是何种曲线. 42. 如图所示, 是定圆的直径,长为 ,直线 与圆交于 ,和过 点的切线交于 , , , 与 交于 ,与 交于 ,以 为原点, 所在的直线为 轴建立直角坐标系,求动点 的轨迹方程. 43. 如下图所示,有一抛物线, 为抛物线的顶点, 为抛物线的任意一弦,设 交抛物线 的对称轴于 ,过 、 分别作对称轴的垂线交对称轴于 、 .求证: . 44. 过点 作双曲线 右支的割线 ,又过右焦点 作平行于 的直 线,交双曲线于 , 两点. (1)求证: ; (2)设 为弦 的中点, ,求割线 的倾斜角. 45. 根据下列要求,分别写出圆心在原点,半径为 的圆的参数方程: (1)在 轴左侧的半圆(不包括 轴上的点); (2)在第四象限的圆弧. 46. 已知直线 的参数方程为 ( 为参数),圆 的参数方程为 , ( 为参数),点 是圆 上的任意一点,若点 到直线 的距离的最大值为 , 求 的值. 47. 已知直线 经过点 ,倾斜角 . (1)写出直线 的标准参数方程; (2)设 与圆 相交于 , 两点,求点 到 , 两点的距离之积. 48. 已知曲线 , . (1)化 , 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 上的点 对应的参数为 , 为 上的动点,求 中点 到直线 ( 为参数)距离的最小值. 49. 设方程 (1)当 时, 为参数,此时方程表示什么曲线?把参数方程化为普通方程; (2)当 时, 为参数,此时方程表示什么曲线?把参数方程化为普通方程. 50. 已知直线 经过点 ,倾斜角为 . (1)写出直线 的参数方程; (2)设直线 与椭圆 相交于两点 、 ,求点 到 、 两点的距离之积. 51. 在极坐标系中,已知圆 的圆心 ,半径 , 点在圆 上运动. (1)求圆 的极坐标方程; (2)若 在直线 上,且 ,求动点 的轨迹方程. 52. 已知圆 的极坐标方程 ,求: (1)圆 关于极轴对称的圆的极坐标方程. (2)圆 关于直线 对称的圆的极坐标方程. 53. 把下列极坐标化为直角坐标: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 54. 在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极 点,以 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)写出 的普通方程和 的直角坐标方程; (2)设点 在 上,点 在 上,求 的最小值及此时 的直角坐标. 55. 在极坐标系中,设圆 与直线 交于 , 两点,求以 为直径的 圆的极坐标方程. 56. 在平面直角坐标系中,已知点 , 是圆 上的一个动点,且 的平分 线交 于点 ,求点 的轨迹的极坐标方程. 57. 在极坐标系 中,直线 的极坐标方程为 , 是 上任意一点,点 在射线 上,且满足 ,记点 的轨迹为 . (1)求曲线 的极坐标方程; (2)求曲线 上的点到直线 距离的最大值. 58. 的顶点的极坐标为 , , . (1)判断 的形状; (2)求 的面积. 59. 直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数, ),以 原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 . (1)写出直线 和曲线 的直角坐标方程; (2)求直线 与曲线 交点的直角坐标. 60. 在极坐标系中,圆 的方程为 ( ),以极点为坐标原点,极轴为 轴正半 轴建立平面直角坐标系,设直线 的参数方程为 ( 为参数). (1)求圆 的直角坐标方程和直线 的普通方程; (2)若直线 与圆 恒有公共点,求实数 的取值范围.