2020届二轮复习坐标系与参数方程学案（全国通用） 38页

参数方程  ​ 曲线的参数方程定义 设平面上取定了一个直角坐标系 ，把坐标 ， 表示为第三个变量 的函数 如果对于 的每一个值（ ）， 式所确定的点 都在一条曲线上；而这条曲线上 的任一点 ，都可由 的某个值通过 式得到，则称 式为该曲线的参数方程，其中 变量 称为参数．​ ​  直线的参数方程 直线的参数方程的一般形式是 ．  圆的参数方程 若圆心在点 ，半径为 ，则圆的参数方程为 ．  椭圆的参数方程 设椭圆的普通方程为 ，则椭圆的参数方程为 若椭圆的中心不在原点，而在点 ，相应的椭圆的参数方程为  抛物线的参数方程 设抛物线的普通方程为 ，则抛物线的参数方程为 ．  双曲线的参数方程 设双曲线的普通方程为 ，则双曲线的参数方程为 ．  摆线的参数方程 一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点 的轨迹称为摆线．如下图，设半径为 的圆在 轴上滚动，开始时定点 在原点 处．取圆滚动时转过的角度 （以弧度为单 位）为参数．当圆滚过 角时，圆心为 ，圆与 轴的切点为 ，定点 的位置如图所 示， 设动点 的坐标为 ，则所得摆线的参数方程为 ​ 极坐标与极坐标方程  极坐标系 在平面上取一个定点 ，由 点出发的一条射线 ，一个长度单位及计算角度的正方向 （通常取逆时针方向），合称为一个极坐标系． 点称为极点， 称为极轴．平面任一点 的位置可以由线段 的长度 和从 到 的角度 来刻画．这两个数组成的有序 数对 称为点 的极坐标． 称为极径， 称为极角． 在极坐标系 中，一般限定 ．当 时，就与极点重合，此时 不确定．给定 点的极坐标 ，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不 是唯一的，它有无穷多种表示形式．事实上， 和 代表同一个点，其中 为整数．可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不 同之处，如果限定 ， ，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标系构成一一 对应关系． 若 ，此时极坐标 对应的点 的位置按下面规则确定：点 在与极轴成 角的 射线的反向延长线上，它到极点 的距离为 ，即规定当 时，点 就是点 ．  极坐标与直角坐标的关系 设 为平面上的一点，它的直角坐标系为 ，极坐标为 ． 则有 或 ， 也成立．  曲线的极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程 ．如果曲线 是由极坐标 满足方程的所有点组成的，则称此二元方程 为曲线 的极坐标方程． 圆心在极轴上的点 处，且过极点的圆，其极坐标方程是 ；圆心 在点 处且过极点的圆，其极坐标方程是 ， ． ​ 精选例题 坐标系与参数方程 1. 圆 （ 为参数）的圆心到直线 （ 为参数）的距离 为 ． 【答案】 2. （坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线 过点 且与直线 垂直，则直 线 极坐标方程为 ． 【答案】 3. 在极坐标系中，过点 的直线 与极轴的夹角 ， 的极坐标方程为 ． 【答案】 【分析】 依题意得直线 的斜率为 ， 其直角坐标方程是 ，即 ， 其极坐标方程为 ． 4. 在直角坐标系 中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知两点的极坐 标为 ，则直线 的直角坐标方程为 ． 【答案】 【分析】 两点的极坐标为 ， ， 化为直角坐标 ， ． 斜率 ． 所以直线 的直角坐标方程为 ， 化为 ． 5. 点 经过伸缩变换 后得到点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 由伸缩变换公式 得 6. 已知椭圆 在直角坐标系下的方程为 ，以原点为极点，以 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，以椭圆 的左焦点为圆心，且过椭圆中心的圆的极坐标方程为 ． 【答案】 7. 在同一平面直角坐标系中，将曲线 变成曲线 ，则满足条件的伸缩变换是 ． 【答案】 【分析】 可化为 ① 可化为 ②比较①②，可得 8. 极坐标方程分别为 和 的两个圆的圆心距为 ． 【答案】 9. 在极坐标系中，直线 与曲线 相交于 ， 两点， 为极点．则 的大小是 ． 【答案】 10. 将椭圆 按 ： 变换后的曲线围成图形的面积为 ． 【答案】 【分析】 设椭圆 上任意一点的坐标为 ，按 变换后的对应的坐标为 ，由 得 带入椭圆方程得 ，为单位圆，面积为 ． 11. 直线 与直线 交于点 ，与曲线 交于点 ， ，求 与 的乘积． 【解】 联立两条直线的方程，得 故点 坐标为 ，直线 的倾斜角为 ， 故直线 的参数方程为 由曲线 的参数方程得其普通方程为 ． 把 的参数方程代入曲线 的普通方程， 有 ， 即 ，则 ． 故 ． 12. 建立极坐标系证明：已知半圆直径 （ ），半圆外一条直线 与 所在直线 垂直相交于点 ，并且 ．若半圆上相异两点 ， 到 的距离 ， 满足 ，则 ． 【解】 以 为极点，射线 为极轴建立极坐标系，则半圆的极坐标方程为 ． 设 ， ，则 ， ， 又 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 是方程 的两个根，由韦达定理得 ， 所以 ． 13. 已知椭圆 ，过左焦点 的直线 交此椭圆于 ， 两点， ，且 ，求直线 的方程及 的长． 【解】 解法一：由椭圆 可得椭圆的左焦点 的坐标为 ，则 设直线 的参数方程为 为直线 的倾斜角． 又点 ， 在椭圆上，故 ， 满足 ， 即 ． 则 ， ． 因为 ， 所以 ， 所以 ， ， ， 即 ， 则 ． 因为 且 ， 故直线 的方程为 ． 线段 长度的计算见解法二． 解法二：以椭圆的左焦点 为极点，以 轴的正方向为极轴建立极坐标系，则 椭圆 对应的极坐标方程为 ． 依题意，设 ， 两点的极坐标分别为 ， ，则 ， ． ． 则 ． 所以 ， ， ． 故 ，直线 的方程为 ． 14. 设抛物线 过顶点的两弦 ， 互相垂直，求以 ， 为直径的两圆的另 一个交点 的轨迹方程． 【解】 设抛物线 的参数方程为 则 ， 两点的坐标分别设 ， ． 因为 ， 互相垂直，故 ． 以 为直径的圆的方程为 ，即 ． 以 为直径的圆的方程为 ，即 ． 设以 ， 为直径的两圆的另一个交点 的坐标为 ，则其满足 ， ， 故 ， 是方程 的两个根． 由根与系数的关系，得 ． 故所求动点 的轨迹方程为 ． 15. 在极坐标中，已知圆 经过点 ，圆心为直线 与极轴的交点，求圆 的极坐标方程． 【解】 在 中，令 ，得 ，所以圆 的圆心坐标为 ． 因为圆 经过点 ，所以圆 的半径 于是圆 过极点，所以圆 的极坐标方程为 ． 16. 已知直线 ，圆 ． (1)当 时，求 与 的交点坐标； 【解】 当 时， 的普通方程为 的普通方程为 联立方程组 解得 与 的交点为 (2)过坐标原点 作 的垂线，垂足为 ， 为 的中点，当 变化时，求点 轨迹的参 数方程，并指出它是什么曲线． 【解】 当 时， 的普通方程为 设 ，则 ，根据 在 上及 垂直于 得 消去 并整理，得 点轨迹的普通方程为 当 时，仍适合上述方程． 故 点是圆心为 ，半径为 的圆． 17. 在直角坐标系 中，圆 ，圆 ． (1)在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 、 的极坐标方程，并 求出圆 ， 的交点坐标（用极坐标表示）； 【解】 圆 的极坐标方程为 圆 的极坐标方程为 解方程组 得 故圆 与圆 交点的坐标为 ． 注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)求圆 与 的公共弦的参数方程． 【解】 解法一：由 得圆 与 交点的直角坐标分别为 故圆 与 的公共弦的参数方程为 其中 解法二：将 代入 得 从而 于是圆 与 的公共弦的参数方程为 其中 18. 在平面直角坐标系 中，求过椭圆 的右焦点，且与直线 平行的直线的普通方程． 【解】 椭圆的普通方程为 右焦点为 ； 直线的普通方程为 ， 斜率为 ； 故所求直线方程为 即 19. 已知在直角 坐标系中，圆 的参数方程为 （ 为参数）． (1)以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 的极坐标方程； 【解】 圆 的参数方程为 （ 为参数）， 所以普通方程为 ， 圆 化为极坐标方程： ． (2)已知 ， ，圆 上任意一点 ，求 面积的最大值． 【解】 点 到直线 ： 的距离为 的面积 所以 面积的最大值为 ． 20. 一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区， 二区 十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为 ，每相邻两排的间距为 ，每层看台的高度为 ，现在需要确定第九区第四排正中的位置 ，请建立适当的坐 标系，把点 的坐标求出来． 【解】 以圆形体育场中心 为极点，选取以 为端点且过正东入口的射线 为极轴， 在地面上建立极坐标系，则点 与体育场中轴线 的距离为 ， 极轴 按逆时针方向旋转 ，就是 在地平面上的射影， 距地面的高度为 ，因此我们可以用柱坐标来表示点 的准确位置． 所以点 的柱坐标为 ． 参数方程 1. 已知两曲线参数方程分别为 和 ，它们的交点坐标 为 ． 【答案】 【分析】 表示椭圆 （ 且 ）； 表示抛物线 ．椭圆方程与抛物线方程联立解方程组即得． 2. 已知曲线 ，曲线 ，则 与 的位置 关系为 ． 【答案】 相离 3. 若圆 的方程为 ，则圆 的参数方程为 ． 【答案】 （ 为参数）答案不唯一 4. 在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ，以坐标原点为极 点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为， ，若曲 线 上恰有 个点到直线 的距离等于 ，则实数 ． 【答案】 【分析】 曲线 的方程化为 ，圆心 ， ，直线 的方程化为 ． 若曲线 上恰有 个点到直线 的距离等于 ，则圆心到直线 的距离等于 ，即 ， 所以 ． 5. 双曲线 的渐近线方程为________． 【答案】 6. （参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线 的参数方程为 （ 为参数且 ），在以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线 的极坐标方程为 ，则曲线 与 交点的直角坐标为 ． 【答案】 【分析】 由 及 ，得 ． 由 ，得 ． 联立 与 的方程，解得交点的坐标为 ． 7. 直线的参数方程为 （ 为参数），则它的斜截式方程为 ． 【答案】 8. 圆 （ 为参数）的圆心坐标为 ；直线 被圆 所截得 的弦长为 ． 【答案】 ； 9. 在平面直角坐标系中，已知曲线 ( 为参数， )，则曲线 关 于 对称的曲线方程是 ． 【答案】 10. 曲线 （ 为参数）的焦点坐标是 ． 【答案】 【分析】 曲线化为一般式方程为 ，令 ， ，则原式可化 为 ，此时焦点为 ，即 ， ，得 ， ，所以该曲线的焦点 为 ． 11. 设直线 过点 ，倾斜角为 ．直线 ： ． (1)写出直线 的一个参数方程； 【解】 由题意得直线 的方程为 ． 设 ，得 （ 为参数），即为 的参数方程． (2)求直线 与 的交点． 【解】 将 代人 ，得 ， 所以 ． 所以 即 与 的交点为 ． 12. 当 ， 时，求出渐开线 上的对应点 ， ，并求出 ， 间的距离． 【解】 将 代入 得 ， ．所以 ． 将 代入 得 ， ．所以 ． 故 ， 间的距离为 ． 13. 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的方程为 ． (1)写出直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程； 【解】 消去参数得直线 的普通方程为 ， 由 得圆 的直角坐标方程 ． (2)若点 的直角坐标为 ，圆 与直线 交于 两点，求 的值． 【解】 由直线 的参数方程可知直线过点 ， 把直线 的参数方程代入圆 的直角坐标方程 ， 得 ， 化简得 ， 因为 ， 故设 ， 是上述方程的两个实数根，所以 ， ， 两点对应的参数分别为 ， ， 所以 ． 14. 边长为 的等边三角形 的两个端点 、 分别在 轴、 轴两正半轴上移动，顶点 和原点 分别在 两侧，记 ，求顶点 的轨迹的参数方程． 【解】 过点 作 轴于点 ，设点 的坐标为 ． 则由 得 （ 为参数）， 即为顶点 的轨迹方程． 15. 已知定直线 和线外一点 ， 为直线 上一动点， 为正三角形（按逆时针方向 转，如图所示），求点 的轨迹方程． 【解】 以 点为原点，过点 作 的垂线为 轴建立直角坐标系． 设点 到直线 的距离为 （为定值，且 ），取 （ 为参数）， ． 设动点 ，在 中， ， ， ， ， ． 点 的参数方程为 ． 消去参数 ，得普通方程为 ． 16. 已知曲线 ： （ 为参数），曲线 ： （ 为参数） (1)若 ，求曲线 的普通方程，并说明它表示什么曲线； 【解】 因为 ， 所以 （ 为参数）， 所以 ， 所以曲线 的普通方程是 ，它表示过点 ，倾斜角为 的直线． (2)曲线 和曲线 的交点分别记为 ， ，求 的最小值． 【解】 曲线 的普通方程为 ． 将 （ 为参数）代入 中得 ， 则 ， 设 ， 为方程的两个根，则有 ， 所以当 时， 的最小值为 ． 17. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），若曲线 与直线 ： 相交于 ， 两点，求线段 的长． 【解】 将曲线 的参数方程 化为普通方程得 ， 由方程组 ，解得 或 ． 所以 ， 或 ， ， 所以 ． 18. 设圆的半径为 ，沿 轴正向滚动，开始时圆与 轴相切于原点 ，记圆上动点为 ，它 随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵 坐标 的最大值． 【解】 依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为 ． 其曲线是摆线的第一拱 ，如下图所示： 易知，当 时， 有最大值 ． 19. 已知 ， ， ，求证： ． 【解】 设直线 ，圆 ，则 ， 是直线 与圆 的两个交点，设 于 ． 从而 又 ； ， 所以 ， 整理得 ， 即 ． 20. 平面直角坐标系中，若圆的摆线过点 ，求这条摆线的参数方程． 【解】 令 ，可得 ， 所以 代入可得 ． 所以 ． 又根据实际情况可知 是圆的半径，故 ． 所以应有 且 ，即 ． 所以所求摆线的参数方程是 （ 为参数）（其中 ）． 极坐标与极坐标方程 1. 在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为 ． 【答案】 2. 已知两点的极坐标 ， ，则 ， 与极轴正方向所夹角的大小 为 ． 【答案】 ； 3. 在极坐标系中，曲线 与曲线 的一个交点在极轴 上，则 ． 【答案】 4. 圆 的半径是 ． 【答案】 5. 若曲线的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴正半轴建立直角坐 标系，则该曲线的直角坐标方程为 ． 【答案】 6. 在极坐标系中，直线 过点 ， ，则直线 向上的方向与极轴正方向的夹角等 于 ． 【答案】 7. 在极坐标系 中，曲线 与 的交点的极坐标 为 ． 【答案】 【分析】 两条曲线 与 的普通方程分别为 与 ， 交点坐标为 ，对应的极坐标为 ． 8. 已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），则曲线上 的点到直线 的距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】 曲线上 的点到直线 ，距离的最大值为 3． 9. 极坐标方程 所表示的曲线是 ． 【答案】 圆 10. 如图所示的极坐标系中，以 为圆心，半径 的圆 的极坐标方程是 ． 【答案】 【分析】 依题意，题中的圆 的圆心的直角坐标是 ，因此圆 的直角坐标方程是 ，即 ，相应的极坐标方程是 ，即 ． (1)求过 平行于极轴的直线的极坐标方程； 【解】 如图所示，在直线 上任意取点 ． 因为 ， 所以 ． 在 中， ，即 ， 所以过 平行于极轴的直线方程为 ． (2)直线 过点 ，且向上的方向与极轴正方向成 ，求直线 的极坐标方程． 【解】 如图所示， ， ， ，由已知 ， 所以 ． 所以 ． 又 ， 在三角形 中，根据正弦定理，得 ． 因为 ，将 展开，化简上面的方程，可得 ． 所以，过 且和极轴成 的直线方程为 ． 12. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． (1)把 的参数方程化为极坐标方程； 【解】 曲线 的参数方程为 （ 为参数）普通方程为 ， 将 代入上式化简得 ， 即 的极坐标方程为 ． (2)求 与 交点的极坐标（ ， ）． 【解】 曲线 的极坐标方程 化为平面直角坐标方程为 ， 将 代入上式得 ，解得 ， （舍去）． 当 时， ，所以 与 交点的平面直角坐标为 ， ． 因为 ， ， ， ， ， ， 所以 ， ， 故 与 交点的极坐标 ， ． 13. 在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，曲线 的参数 方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 ． (1)求曲线 的极坐标方程； 【解】 由 得 的直角坐标方程是 ，即 ， 由 ， ， 得 曲线 的极坐标方程 ， ． (2)若射线 交曲线 和 于 ， （ ， 异于原点），求 ． 【解】 设 ， ， 将 代入曲线 的极坐标方程 得 ， 同理将 代入曲线 的极坐标方程 得 ， 所以 ． 14. 某大学校园的部分平面示意图如图所示．用点 ， ， ， ， ， ， 分别表示校门、器 材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标（限定 ， 且极点为 ） 【解】 以点 为极点， 所在的射线为极轴 （单位长度为 ），建立极坐标系， 如图所示． 由 ， ， ，得 ， ， 同样求得 ， 所以各点的极坐标分别为 ， ， ， ， ， ， ． 15. 在极坐标系中，已知圆 的圆心为 ，半径为 ， 点在圆周上运动， 为极点． (1)求圆 的极坐标方程； 【解】 如图所示， 设 为圆 上任意一点，在 中， ， ，根据余弦定理得 化简整理得 ，即为圆 的极坐标方程． (2)若 在直线 上运动，且满足 ，求动点 的轨迹方程． 【解】 设 ，则有 设 ，则 当 时，又 ，即 代入 得 整理得 即为 点的轨迹方程． 当 时，又 ，同理可得 所以点 的轨迹方程为 或 ． 16. 在直角坐标系 中，直线经过点 ，其倾斜角为 ，以原点 为极点，以 轴非 负半轴为极轴，与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线 的极坐标方 程为 ． (1)若直线与曲线 有公共点，求 的取值范围； 【解】 将 的极坐标方程 化为直角坐标为 ， 直线的参数方程为 （ 为参数）， 将直线的参数方程代入曲线 的方程整理得 ， 直线与曲线有公共点， 所以 ，得 或 ． 因为 ， 所以 的取值范围为 ． (2)设 为曲线 上任意一点，求 的取值范围． 【解】 曲线 的方程 化为 ， 其参数方程为 （ 为参数）， 为曲线 上任意一点， 所以 ． 的取值范围是 ． 17. 已知圆 的极坐标方程为 ，求圆心的极坐标． 【解】 以极坐标系的极点为直角坐标系的原点 ，极轴为 轴的正半轴建立直角坐标系 ， 圆 的极坐标方程为 ， 则圆 的直角坐标系方程为 ，即 ， 于是圆心的直角坐标为 ，则其极坐标为 ． 18. 极坐标与参数方程在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参 数）．在极坐标系（直角坐标系 取相同的单位长度，以原点 为极点，以 轴正半轴为 极轴）中，直线 的方程为 ． (1)求圆 的极坐标方程； 【解】 由 得圆 的直角坐标方程为 ， 即 ． 化为极坐标方程为： ，即 ． (2)设圆 与直线 交于点 ， ，求 ． 【解】 展开 得： ， 所以直线 的普通方程为 ． 由（1）知圆 的圆心坐标为 ，半径 ， 所以圆心 到直线 的距离 ． 所以 ． 所以 ． 19. 在极坐标系中，求圆 的圆心到直线 的距离． 【解】 将圆 化为普通方程为 ，圆心为 ，又 ，即 ， 所以直线的普通方程为 ， 故所求的圆心到直线的距离 ． 20. 在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方 程为 ， ， 分别为 与 轴， 轴的交点．写出 的直角坐标方程，并求 ， 的极坐标． 【解】 由 得 ． 从而 的直角坐标方程为 ，即 时， ，所以 ． 时， ，所以 ． 课后练习 1. 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变）得到函 数 的图象． 2. 如图，过点 作边长为 的等边 ， 边上的高为 ．设 的外接圆为圆 ，现以顶点 为极点，以射线 为极轴建立极坐标系，规定在极坐标系中，点 的极坐标 满足： ， ，则图中， （1）点 的极坐标为 ； （2）圆 的极坐标方程为 ； （3）直线 的极坐标方程为 ． 3. 在同一坐标系中，将曲线 变为曲线 的伸缩变换是 ． 4. 已知直线 的参数方程为 （ 为参数），圆 的参数方程为 （ 为 参数），则圆 上的点到直线 的距离的最大值为 ． 5. 在极坐标系中，曲线 与 的交点的极坐标为 ． 6. 已知直线 的参数方程为 则 （1）直线 的倾斜角 ； （2）直线 与直线 ： 的交点坐标为 ； （3）点 到直线 的距离为 ． 7. 在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，点 到曲线 上点的距离的 最小值 ． 8. 在极坐标系 （ ）中，曲线 与 的交点的 极坐标为 ． 9. 若直线 与圆 （ 为参数）没有公共点，则实数 的取值范 围是 ． 10. 将极坐标方程 化为直角坐标方程是 ． 11. 在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （参数 ），圆的参数方程为 （参数 ），则圆心到直线 的距离为 ． 12. 在平面直角坐标系中，已知直线 的参数方程为 ，曲线 的参数方程 为 ，若直线 与曲线 交于 、 两点，则 13. 若点 在曲线 （ 为参数）上，则 的取值范围是 ． 14. 若圆 的参数方程为 （ 为参数），则圆 的圆心坐标为 ，圆 与直线 的交点个数为 ． 15. 曲线 （ 为参数）上一点 到点 的距离之和为 ． 16. 已知动直线 平分圆 ，则直线 与圆 ( 为参数) 的位置关系是 ． 17. 在直角坐标系 中，已知曲线 （ 为参数）与曲线 （ 为参 数， ）有一个公共点在 轴上，则 ． 18. 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，圆 的参数方程 为 ，则圆心到直线 的距离是 ． 19. 直线 （ 为参数）的倾斜角为 ． 20. 直线 （ 为参数）被圆 截得的弦长为 ． 21. 已知椭圆 在直角坐标系下的方程为 ，以原点为极点，以 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，过椭圆 的右焦点，且垂直于 轴的直线的极坐标方程为 ． 22. 在极坐标系中，直线 与直线 的夹角大小为 ．（结 果用反三角函数值表示） 23. 已知曲线 的极坐标方程为 ，则 与极轴的交点到极点的距离 是 ． 24. 在极坐标系中，点 到直线 的距离为 ，则 的值 为 ． 25. 在平面直角坐标系中，当 不是原点时，定义 的“伴随点”为 ； 当 是原点时，定义 的“伴随点“为它自身，平面曲线 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 定义为曲线 的“伴随曲线”．现有下列命题： ①若点 的“伴随点”是点 ，则点 的“伴随点”是点 ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③若曲线 关于 轴对称，则其“伴随曲线” 关于 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线． 其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）． 26. 在平面直角坐标系中，当 不是原点时，定义 的“伴随点”为 ； 当 是原点时，定义 的“伴随点“为它自身，现有下列命题： ①若点 的“伴随点”是点 ，则点 的“伴随点”是点 ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上； ③若两点关于 轴对称，则他们的“伴随点”关于 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）． 27. 在极坐标系中，曲线 ，曲线 ，若曲线 与 交于 两点，则线 段 ． 28. 在极坐标系中， 是极点，设点 ， ，则 的面积是 ． 29. 极坐标系内，点 到直线 的距离是 ． 30. 过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是 ． 31. 在直角坐标系 中，直线 的方程为 ，曲线 的参数方程为 ． (1)已知在极坐标（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正 半轴为极轴）中，点 的极坐标为 ，判断点 与直线 的位置关系； (2)设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值． 32. 在极坐标系中，已知圆 的方程是 ，直线 的方程是 ，求圆 上一点 到直线 的距离的最大值． 33. 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 在极坐标系（与直 角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆 的方程为 (1)求圆 的直角坐标方程； (2)设圆 与直线 交于点 、 ，若点 的坐标为 ，求 ． 34. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参 数方程为 （ ， 为参数）．在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐 标系中，射线 与 ， 各有一个交点，当 时，这两个交点间的距离为 ，当 时，这两个交点重合． (1)分别说明 ， 是什么曲线，并求出 与 的值； (2)设当 时， 与 ， 的交点分别为 ， ，当 时， 与 ， 的交点分别 为 ， ，求四边形 的面积． 35. 由抛物线 上各点作 轴的垂线段，求线段中点的轨迹方程（参数形式）． 36. 化圆锥曲线的极坐标方程 为直角坐标方程． 37. 已知曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）．求曲线 的普通方程． 38. 已知直线 与圆 ，试判断它们的公共点个 数． 39. 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴 正半轴为极轴建立坐标第，曲线 的极坐标方程为 ． (1)写出直线 和曲线 的直角坐标方程； (2) 是曲线 上任间一点，求 到直线 的距离的最大值． 40. 过点 作倾斜角为 的直线与曲线 交于点 、 ，求 的最 小值及相应的 值． 41. 已知椭圆 ，直线 过点 ． (1)当 的斜率为 时，求 被椭圆截得的弦长； (2)当 交椭圆于 ， 两点，且 时，求 的倾斜角的正切值． 42. 已知曲线 （ 为参数）， （ 为参数）． 化 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线． 43. 已知直线 的方程为 ，圆 的参数方程为 （ 为参数），以原点为 极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求直线 与圆 的交点的极坐标； (2)若 为圆 上的动点，求 到直线 的距离 的最大值． 44. 已知曲线 ： （ 为参数），曲线 ： （ 为参数）． (1)指出 各是什么曲线，并说明 与 公共点的个数； (2)若把 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 ， ．写出 ， 的 参数方程． 与 公共点的个数和 与 公共点的个数是否相同？说明你的理由． 45. 求直线 （ 为参数）被双曲线 上截得的弦长． 46. 已知圆的直径为 ，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点 ， 对应的参数分别为 和 ，求点 、 的直角坐标． 47. 已知双曲线方程为 ， 为双曲线上任意一点，点 到两条渐近线的距离分别为 和 ，求证： 与 的乘积是常数． 48. 设 为椭圆 上任意一点， 为圆 上任意一点，求 的最大值 和最小值． 49. 已知直线的参数方程为 （ 为参数），它与曲线 交于 ， 两点． (1)求线段 的长； (2)求点 到线段 中点 的距离． 50. 已知点 是圆 上任意一点，求 的最大值，并求出取得最大值时 的值． 51. 在极坐标系中，求圆 上的点到直线 的距离的最大值． 52. 已知直线 经过点 ，且倾斜角为 ，圆 以 为圆心，过极点． (1)求 与 的极坐标方程； (2)判断 与 的位置关系； 53. 曲线 的极坐标方程为 ，以极点 为原点，极轴 为 的非负半轴，保持 单位长度不变建立直角坐标系 ． (1)求曲线 的直角坐标方程； (2)直线 的参数方程为 （ 为参数）．若 与 的交点为 ，求点 与点 的距离 ． 54. 在极坐标系中，已知 的三个顶点的极坐标分别为 ， ， ． (1)判断 的形状； (2)求 的面积． 55. 已知半圆直径 ，半圆外一条直线 与 所在直线垂直相交与点 ，并且 ．若半圆上相异两点 、 到 的距离 ， 满足 ，通过建立极坐标系，求证 ． 56. 求： (1)过 且平行于极轴的直线； (2)过 且和极轴成 的直线． 57. 判断点 是否在曲线 上 ？ 58. 在直角坐标系中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线 ： （ 为参数），曲线 ： （ 为参数）． (1)化 ， 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 中点 到直线 ： 距离的最小值． 59. 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化． (1) ； (2) ． 60. 1．在直角坐标系 中，圆 的圆心是 ，且与 轴相切．以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆 的极坐标方程； (2)若直线 的极坐标方程为 ．设 与 的交点是 ， ，求 的面 积． 坐标系与参数方程-出门考 姓名 成绩 1. 在极坐标系中，已知曲线 的方程是 ，过点 作曲线 的切线，则切线长等 于 ． 2. 在平面直角坐标系 中，曲线 和 的参数方程分别为 和 ，则曲线 和 的交点坐标为 ． 3. 在平面直角坐标系 中，曲线 和 的参数方程分别为 （ 是参数， ）和 （ 是参数），则曲线 与 的交点坐标为 ． 4. 已知直线 （ 为参数且 ）与曲线 （ 是参数且 ），则直线 与曲线 的交点坐标为 ． 5. 在极坐标系中， 为极点，直线 过圆 ： 的圆心 ，且与直线 垂 直，则直线 l 的极坐标方程为 ． 6. 如图，在极坐标系中，过点 的直线 与极轴的夹角 ．若将 的极坐标方程写成 的形式，则 ． 7. 已知抛物线 的参数方程为 （ 为参数），若斜率为 的直线经过抛物线 的焦 点，且与圆 相切，则 ． 8. 在平面直角坐标系 中，点 的直角坐标为 ．若以原点 为极点， 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，则点 的极坐标可以是 ． 9. 对任意实数 ，直线： 与椭圆： 恒有公共点，则 的 取值范围是 ． 10. 在极坐标系中，直线 被圆 截得的弦长为 ． 11. 已知参数方程为 ，则该圆的渐开线参数方程为 ，摆线参数方 程为 ． 12. 将参数方程 （ 为参数）化为普通方程为 ． 13. 已知椭圆的参数方程为 （ 为参数， ），则该椭圆的焦距为 ． 14. 已知直线 ： （ 为参数）， ： （ 为参数），若 ，则 ；若 ，则 ． 15. 若直线 与曲线 （参数 ）有唯一的公共点，则实数 ． 16. 已知圆 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ，则直线截圆 所得的弦长 是 ． 17. 圆 的参数方程为 （ 为参数），则圆 的圆心坐标为 ，若点 为圆 的弦 的中点，则直线 的斜率是 ． 18. 在平面直角坐标系 中，已知圆 和直线 ： ，则直线 与圆 相交所得的弦长等于 ． 19. 在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的 极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．若曲线 与 相交于 ， 两点，则线段 的长等于 ． 20. 直线 （ 为参数）上与点 的距离等于 的点的坐标是 ． 21. 直线 与圆 相交的弦长为 ． 22. 在极坐标系中，点 在曲线 上，点 在直线 上，则 的 最小值是 ． 23. 在极坐标系中，圆 的圆心到直线 的距离为 ． 24. 在极坐标系中，圆 的圆心到直线 的距离是 ． 25. 若直线的极坐标方程为 ，则极点到该直线的距离是 ． 26. 在极坐标系中，已知 ，则 ． 27. 在极坐标系中，设 ， ，曲线 与曲线 交点的极坐标 为 ． 28. 圆心为 ，半径为 的圆的极坐标方程为 ． 29. 在极坐标系中，点 到曲线 上的点的距离的最小值为 ． 30. 极坐标方程 化为直角坐标方程是 ． 31. 在极坐标系中，圆 与直线 相切，求实数 的值． 32. 设直线 过点 ，且倾斜角为 ． (1)写出直线 的参数方程； (2)设此直线与曲线 ： （ 为参数）交于 ， 两点，求 ； (3)设 ， 中点为 ，求 ． 33. 在极坐标系中，圆 的极坐标方程为 ，已知 ， ， 为圆 上一点，求 面积的最小值． 34. 在极坐标系中，作出下列各点： ， ， ， ， ， 35. 已知圆 的圆心为 ，半径为 ，直线 被圆截得的弦长为 ，求 的值． 36. 将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线． (1) （ 为参数）； (2) （ 为参数， ）； (3) （ 为参数）； (4) （ ， 为大于零的参数， 为参数）； 37. 把下列参数方程化为普通方程，并说明是什么曲线． (1) （ 为参数）； (2) （ 为参数）． 38. 在直角坐标系 中，以 为极点， 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程 为 ， ， 分别为 与 轴， 轴的交点． (1)写出 的直角坐标方程，并求 ， 的极坐标； (2)设 的中点为 ，求直线 的极坐标方程． 39. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． (1)将曲线 和直线 化为直角坐标方程； (2)设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最大值． 40. 求摆线 与直线 的交点的直角坐标． 41. 连接原点 和抛物线 上的动点 ，延长 到点 ，使 ，求点 的轨 迹方程，并说明它是何种曲线． 42. 如图所示， 是定圆的直径，长为 ，直线 与圆交于 ，和过 点的切线交于 ， ， ， 与 交于 ，与 交于 ，以 为原点， 所在的直线为 轴建立直角坐标系，求动点 的轨迹方程． 43. 如下图所示，有一抛物线， 为抛物线的顶点， 为抛物线的任意一弦，设 交抛物线 的对称轴于 ，过 、 分别作对称轴的垂线交对称轴于 、 ．求证： ． 44. 过点 作双曲线 右支的割线 ，又过右焦点 作平行于 的直 线，交双曲线于 ， 两点． (1)求证： ； (2)设 为弦 的中点， ，求割线 的倾斜角． 45. 根据下列要求，分别写出圆心在原点，半径为 的圆的参数方程： (1)在 轴左侧的半圆（不包括 轴上的点）； (2)在第四象限的圆弧． 46. 已知直线 的参数方程为 （ 为参数），圆 的参数方程为 ， （ 为参数），点 是圆 上的任意一点，若点 到直线 的距离的最大值为 ， 求 的值． 47. 已知直线 经过点 ，倾斜角 ． (1)写出直线 的标准参数方程； (2)设 与圆 相交于 ， 两点，求点 到 ， 两点的距离之积． 48. 已知曲线 ， ． (1)化 ， 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 中点 到直线 （ 为参数）距离的最小值． 49. 设方程 (1)当 时， 为参数，此时方程表示什么曲线？把参数方程化为普通方程； (2)当 时， 为参数，此时方程表示什么曲线？把参数方程化为普通方程． 50. 已知直线 经过点 ，倾斜角为 ． (1)写出直线 的参数方程； (2)设直线 与椭圆 相交于两点 、 ，求点 到 、 两点的距离之积． 51. 在极坐标系中，已知圆 的圆心 ，半径 ， 点在圆 上运动． (1)求圆 的极坐标方程； (2)若 在直线 上，且 ，求动点 的轨迹方程． 52. 已知圆 的极坐标方程 ，求： (1)圆 关于极轴对称的圆的极坐标方程． (2)圆 关于直线 对称的圆的极坐标方程． 53. 把下列极坐标化为直角坐标： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 54. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极 点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． (1)写出 的普通方程和 的直角坐标方程； (2)设点 在 上，点 在 上，求 的最小值及此时 的直角坐标． 55. 在极坐标系中，设圆 与直线 交于 ， 两点，求以 为直径的 圆的极坐标方程． 56. 在平面直角坐标系中，已知点 ， 是圆 上的一个动点，且 的平分 线交 于点 ，求点 的轨迹的极坐标方程． 57. 在极坐标系 中，直线 的极坐标方程为 ， 是 上任意一点，点 在射线 上，且满足 ，记点 的轨迹为 ． (1)求曲线 的极坐标方程； (2)求曲线 上的点到直线 距离的最大值． 58. 的顶点的极坐标为 ， ， ． (1)判断 的形状； (2)求 的面积． 59. 直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ），以 原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． (1)写出直线 和曲线 的直角坐标方程； (2)求直线 与曲线 交点的直角坐标． 60. 在极坐标系中，圆 的方程为 （ ），以极点为坐标原点，极轴为 轴正半 轴建立平面直角坐标系，设直线 的参数方程为 （ 为参数）． (1)求圆 的直角坐标方程和直线 的普通方程； (2)若直线 与圆 恒有公共点，求实数 的取值范围．