【数学】2020届数学文一轮复习第九章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系作业 6页

‎1．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是(　　)‎ A．相交　　　　　　　　　 B.相切 C．相离 D．不确定 解析：选A.因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为，‎ 因为直线l与圆C相切．‎ 所以＝，解得k＝±1，‎ 因为k<0，所以k＝－1，‎ 所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2，0)到直线l的距离d＝＝<，所以直线l与圆D相交．‎ ‎2．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)‎ A．－1或 B.1或3‎ C．－2或6 D．0或4‎ 解析：选D.因为圆(x－a)2＋y2＝4，‎ 所以圆心为(a，0)，半径为2，‎ 圆心到直线的距离为d＝，‎ 因为d2＋＝r2，‎ 解得a＝4或a＝0.故选D.‎ ‎3．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)‎ A．2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0‎ C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0‎ 解析：选B.因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，‎ 所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，‎ 连接圆心与切点连线的斜率为 k＝＝，‎ 所以切线的斜率为－2，‎ 则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，‎ 即2x＋y－7＝0.故选B.‎ ‎4．过点(－2，3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为(　　)‎ A．x－y＋5＝0 B.x＋y－1＝0‎ C．x－y－5＝0 D．2x＋y＋1＝0‎ 解析：选A.由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心为(－1，2)．过圆心与点(－2，3)的直线l1的斜率为k＝＝－1.‎ 当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0.‎ ‎5．过点(1，－2)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，则AB所在直线的方程为(　　)‎ A．y＝－ B.y＝－ C．y＝－ D．y＝－ 解析：选B.圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，‎ 以＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，‎ 将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，‎ 即y＝－.故选B.‎ ‎6．若直线y＝－x－2与圆x2＋y2－2x＝15相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程为________．‎ 解析：圆的方程可整理为(x－1)2＋y2＝16，‎ 所以圆心坐标为(1，0)，半径r＝4，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB垂直，而kAB＝－，所以kl＝2.‎ 由点斜式方程可得直线l的方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.‎ 答案：y＝2x－2‎ ‎7．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．‎ 解析：由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1，2)，半径为3.由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝0或a＝6.‎ 答案：0或6‎ ‎8．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|＝________．‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，0)，D(x4，0)，由x－y＋6＝0，得x＝y－6，代入圆的方程，并整理，得y2－3y＋6＝0，解得y1＝2，y2＝，所以x1＝0，x2＝－3，所以直线AC的方程为y－2＝－x，令y＝0得x3＝2，直线BD的方程为y－＝－(x＋3)，令y＝0得x4＝－2，则|CD|＝|x3－x4|＝4.‎ 答案：4‎ ‎9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．‎ 解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，‎ 则＝.化简，‎ 得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.‎ 所以C(1，－2)，半径|AC|＝＝.‎ 所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.‎ ‎(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得＝1，‎ 解得k＝－，所以直线l的方程为y＝－x.‎ 综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.‎ ‎10．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.‎ 解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.‎ 因为直线l与圆C交于两点，所以＜1，‎ 解得＜k＜.‎ 所以k的取值范围为.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，‎ 整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1‎ ‎＝＋8.‎ 由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1.‎ 故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.‎ ‎1．已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为(　　)‎ A.或－1 B.－1‎ C．1或－1 D．1‎ 解析：选C.由题意得圆心(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离为，‎ 所以＝，‎ 解得a＝±1，故选C.‎ ‎2．已知直线3x＋4y－15＝0与圆O：x2＋y2＝25交于A，B两点，点C在圆O上，且S△ABC＝8，则满足条件的点C的个数为(　　)‎ A．1 B.2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C.圆心O到已知直线的距离为d＝＝3，因此|AB|＝2＝8，设点C到直线AB的距离为h，则S△ABC＝×8×h＝8，h＝2，由于d＋h＝3＋2＝5＝r(圆的半径)，因此与直线AB距离为2的两条直线中的一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件的点C有三个．‎ ‎3．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．‎ 解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．‎ 所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.‎ 答案：6‎ ‎4．过直线kx＋y＋3＝0上一点P作圆x2＋y2－2y＝0的切线，切点为Q.若|PQ|＝，则实数k的取值范围是________．‎ 解析：圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为(0，1)，半径为r＝1.根据题意，PQ是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，Q是切点，|PQ|＝，则|PC|＝2.当PC与直线kx＋y＋3＝0垂直时，圆心到直线的距离最大．由点到直线的距离公式得≤2，解得k∈(－∞，－]∪[，＋∞)．‎ 答案：(－∞，－]∪[，＋∞)‎ ‎5．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．‎ ‎(1)求M的轨迹方程；‎ ‎(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．‎ 解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.‎ 设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．‎ 由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，‎ 即(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ 由于点P在圆C的内部，‎ 所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.‎ ‎(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．‎ 由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．‎ 又P在圆N上，从而ON⊥PM.‎ 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，‎ 故l的方程为y＝－x＋.‎ 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以△POM的面积为.‎ ‎6．如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．‎ 解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0，2)，可设圆心的坐标为(m，2)(m>0)，‎ 则圆C的半径为m，又|MN|＝3，所以m2＝4＋()2＝，解得m＝，所以圆C的方程为(x－)2＋(y－2)2＝.‎ ‎(2)证明：由(1)知M(1，0)，N(4，0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，即kAN＋kBN＝0.‎ 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得，(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 所以，则kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0.‎ 综上可知，kAN＋kBN为定值．‎