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- 2021-06-30 发布
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专题五 平面向量
【真题典例】
5.1 平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标运算
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.平面向量
的概念及线
性运算
①理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;
②理解向量的几何表示;
③掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;
④掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义
2018课标Ⅰ,6,5分
平面向量的线性运算
★★☆
2015课标Ⅰ,7,5分
平面向量的线性运算
2015课标Ⅱ,13,5分
向量的加法运算
向量共线定理
2014课标Ⅰ,15,5分
向量加法运算
向量的夹角
2.平面向量
基本定理及
坐标运算
①了解平面向量基本定理及其意义;
②会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;
2018课标Ⅲ,13,5分
向量的坐标运算
向量共线的充要条件
★★★
③理解用坐标表示的平面向量共线的条件
2017课标Ⅲ,12,5分
平面向量基本定理
求三角函数的最值
2016课标Ⅱ,3,5分
向量的坐标运算
两向量垂直的充要条件
分析解读 1.从方向与大小两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.理解平面向量基本定理的实质,理解基底的概念,会用给定的基底表示向量.5.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.6.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.
破考点
【考点集训】
考点一 平面向量的概念及线性运算
1.(2018辽宁葫芦岛期中,3)在△ABC中,G为重心,记a=AB,b=AC,则CG=( )
A.13a-23b B.13a+23b
C.23a-13b D.23a+13b
答案 A
2.(2018湖北孝感二模,8)设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点,则DA+2EB+3FC=( )
A.12AD B.32AD C.12AC D.32AC
答案 D
3.(2017河北石家庄二中联考,7)M是△ABC所在平面内一点,23MB+MA+MC=0,D为AC的中点,则|MD||BM|的值为( )
A.12 B.13 C.1 D.2
答案 B
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
1.(2018江西南昌二中月考,9)D是△ABC所在平面内一点,AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),则“0<λ<1,0<μ<1”是“点D在△ABC内部(不含边界)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
2.(2018江西新余一中四模,7)已知△OAB,若点C满足AC=2CB,OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则1λ+1μ=( )
A.13 B.23 C.29 D.92
答案 D
3.(2018海南海口模拟,5)已知两个非零向量a与b,若a+b=(-3,6),a-b=(-3,2),则a2-b2的值为( )
A.-3 B.-24 C.21 D.12
答案 C
4.(2018北师大附中期中,13)已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B在直线y=2x上,若AB∥a,则点B的坐标为 .
答案 (-3,-6)
炼技法
【方法集训】
方法1 平面向量的线性运算技巧和数形结合的方法
1.(2017山西大学附中期中,6)如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a+b+c可表示为( )
A.3e1-2e2 B.-3e1-3e2 C.3e1+2e2 D.2e1+3e2
答案 C
2.(2018河南郑州一模,9)如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近点A的三等分点,点P在线段BN上且AP=m+211AB+211BC,则实数m的值为( )
A.1 B.13 C.911 D.511
答案 D
3.(2017河南豫西五校1月联考,14)若M是△ABC的边BC上的一点,且CM=3MB,设AM=λAB+μAC,则λ的值为 .
答案 34
方法2 平面向量基本定理的应用策略与坐标运算技巧
1.(2018辽宁丹东五校协作体联考,4)向量a=13,tanα,b=(cos α,1),且a∥b,则cos 2α=( )
A.13 B.-13 C.79 D.-79
答案 C
2.(2018吉林长春期中,15)向量AB,BC,MN在正方形网格中的位置如图所示,若MN=λAB+μBC(λ,μ∈R),则λμ= .
答案 2
3.(2018天津六校期中联考,16)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),AB·AD=5,AD2=10.
(1)求D点的坐标;
(2)若D点在第二象限,用AB,AD表示AC;
(3)设AE=(m,2),若3AB+AC与AE垂直,求AE的坐标.
解析 (1)设D(x,y),
由题意得AB=(1,2),AD=(x+1,y),
∴AB·AD=x+1+2y=5,AD2=(x+1)2+y2=10,(3分)
即x+2y=4,(x+1)2+y2=10,解得x=-2,y=3或x=2,y=1.
∴D点的坐标为(-2,3)或(2,1).(5分)
(2)∵D点在第二象限,∴D(-2,3).
∴AD=(-1,3).
设AC=kAB+nAD,∵AC=(-2,1),
∴(-2,1)=k(1,2)+n(-1,3),(7分)
∴-2=k-n,1=2k+3n,∴k=-1,n=1,
∴AC=-AB+AD.(9分)
(3)∵3AB+AC与AE垂直,∴(3AB+AC)·AE=0,(11分)
又∵3AB+AC=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),AE=(m,2),
∴m+14=0,∴m=-14,
∴AE的坐标为(-14,2).(13分)
过专题
【五年高考】
A组 统一命题·课标卷题组
考点一 平面向量的概念及线性运算
1.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=( )
A.34AB-14AC B.14AB-34AC
C.34AB+14AC D.14AB+34AC
答案 A
2.(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则( )
A.AD=-13AB+43AC B.AD=13AB-43AC
C.AD=43AB+13AC D.AD=43AB-13AC
答案 A
3.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
答案 12
4.(2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=12(AB+AC),则AB与AC的夹角为 .
答案 90°
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
1.(2016课标Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )
A.-8 B.-6 C.6 D.8
答案 D
2.(2017课标Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为( )
A.3 B.22 C.5 D.2
答案 A
3.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .
答案 12
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
考点一 平面向量的概念及线性运算
(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立····的是( )
A.|a·b|≤|a||b|
B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2
D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
答案 B
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
1.(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x= ,y= .
答案 12;- 16
2.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为 .
答案 -3
3.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π2,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,则tan θ= .
答案 12
4.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=λBC,DF=19λDC,则AE·AF的最小值为 .
答案 2918
C组 教师专用题组
1.(2013辽宁,3,5分)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为( )
A.35,-45 B.45,-35
C.-35,45 D.-45,35
答案 A
2.(2013大纲全国,3)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
答案 B
3.(2012安徽,8)在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量OP绕点O逆时针方向旋转3π4后得向量OQ,则点Q的坐标是( )
A.(-72,-2) B.(-72,2)
C.(-46,-2) D.(-46,2)
答案 A
4.(2012四川,7)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的充分条件是( )
A.a=-b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
答案 C
5.(2012浙江,7)设a,b是两个非零向量,下列说法正确的是( )
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa
D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|
答案 C
6.(2013四川理,12,5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=λAO,则λ= .
答案 2
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共45分)
1.(2019届内蒙古赤峰期末,5)已知向量a=(2,1),b=(x,1),若a+b与a-b共线,则实数x的值是( )
A.-2 B.2 C.±2 D.4
答案 B
2.(2019届江西九江十校联考,7)如图,四边形ABCD为平行四边形,AE=12AB,DF=12FC,若AF=λAC+μDE,则λ-μ的值为( )
A.12 B.23 C.13 D.1
答案 D
3.(2019届北京西城月考,5)已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(2m,m+1),若AB∥OC,则实数m的值为( )
A.-17 B.-3 C.-35 D.35
答案 B
4.(2018辽宁丹东五校协作体联考,8)P是△ABC所在平面上的一点,满足PA+PB+PC=2AB,若S△ABC=6,则△PAB的面积为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案 A
5.(2018河南林州一中调研,9)已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点P在△COD的内部(不含边界).若AP=xAB+yAD,则实数对(x,y)可以是( )
A.13,23 B.14,-34 C.35,15 D.37,57
答案 D
6.(2018河北、河南、山西三省联考,10)
如图,在等边△ABC中,O为△ABC的重心,点D为BC边上靠近B点的四等分点,若OD=xAB+yAC,则x+y=( )
A.112 B.13 C.23 D.34
答案 B
7.(2017河南中原名校4月联考,7)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若DE=λAB+μAD(λ,μ为实数),则λ2+μ2=( )
A.58 B.14 C.1 D.516
答案 A
8.(2017安徽安庆模拟,6)已知a,b∈R+,若向量m=(2,12-2a)与向量n=(1,2b)共线,则2a+b+a+5b的最大值为( )
A.6 B.4 C.3 D.3
答案 A
9.(2018重庆一中月考,10)给定两个单位向量OA,OB,且OA·OB=-32,点C在以O点为圆心的圆弧AB上运动,OC=xOA+yOB,则3x-y的最小值为( )
A.-3 B.-1 C.-2 D.0
答案 B
二、填空题(每小题5分,共10分)
10.(2018湖南湘东五校4月联考,15)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若AC=λAM+μAN,则实数λ+μ= .
答案 43
11.(2018福建福州二模,16)如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,若BD=xBA+yBC(x,y∈R),则x-y的值为 .
答案 -1