【数学】2020届一轮复习人教A版 基本不等式 课时作业 13页

‎2020届人教A版（理科数学） 基本不等式 单元测试 ‎1．已知，若，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设，则，‎ ‎，即 整理得：当且仅当 ‎ ‎ 当且仅当时取.‎ 解得或（舍去）‎ 即当时，取得最小值8.‎ 故选C.‎ ‎2．已知正数满足，则的最小值为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴‎ ‎，当且仅当且，即时等号成立．‎ ‎∴的最小值为．‎ 故选C．‎ ‎3．设点为的重心，，且，则面积的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎4．设是内一点，且，，设，其中、、分别是、、的面积.若，则的最小值是（ ）‎ A．3 B．4 C． D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意， ∵，‎ 则 ‎ 又 ‎ 故则当且仅当时等号成立.‎ 故选B.‎ ‎5．在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵，，‎ 可得：， ，解得， ∵， ∴由余弦定理可得 ∵由， ，得， ∴，即． ∴周长． 故选：A．‎ ‎6．点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，‎ 可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，‎ 所以直线的方程为，‎ 由，解得或（舍去），‎ ‎∴当时，取得最大值，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，且，即时等号成立．‎ 故选A．‎ ‎7．已知函数，若和图象有三条公切线，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设公切线与分别相切于点,‎ ‎,，‎ 解得，代入化简得，‎ 函数在区间递增，在区间递减，在区间递增，‎ 且，可知无上界，即时，‎ 方程有三解，故选A.‎ ‎8．已知c为常数和是定义在上的函数，对任意的，存在使得，，且，则在集合M上的最大值为　　‎ A． B．5 C．6 D．8‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】‎ 因为（当且仅当时等号成立），‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为在处有最小值， ‎ 所以，解得，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 所以在单调递减，在上单调递增，‎ 而，‎ 所以函数的最大值为．‎ 故选B．‎ ‎9．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，a为正整数，c≥1，a＋b＋c≥1，方程ax2＋bx＋c＝0有两个小于1的不等正根，则a的最小值是(　　)‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为，，故且．‎ 设，则，．‎ ‎，‎ 因，故，同理，两者等号不同时取，‎ 故，所以，因为整数，故．‎ 当时，取，此时，它有两个不等的根且均在中，故的最小值为5．故选C．‎ ‎10．抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 整理得，即 根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，‎ ‎，点的纵坐标的最小值为.‎ 故选A.‎ ‎11．中，角的对边长分别为，若，则的 最大值为 (　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，‎ 结合正弦定理与，‎ 可得，‎ 整理得，‎ 同除以，得，‎ 由此可得，‎ 是三角形内角，且与同号，‎ 都是锐角，即，‎ ‎，当且仅当，‎ 即时，的最大值为，故选C.‎ ‎12．已知函数，若（），则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎13．若正数a,b满足a+b=2,则 的最小值是( )‎ A．1 B． C．9 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，∴，‎ 又∵，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当，‎ 即，时取等号,‎ ‎ 的最小值是,故选B.‎ ‎14．如图，已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之差的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设直线的方程为，‎ 由消去x整理得，‎ 显然，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 由题意得，即，‎ 解得或（舍去）。‎ ‎∴直线与x轴的交点为 ‎∴‎ ‎，当且仅当，即时等号成立。‎ 故与面积之差的最小值是。选C。‎ ‎15．若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围是 A．(3.5，＋∞) B．(1，＋∞) C．(4，＋∞) D．(4.5，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 令，转化为，即与直线的交点.根据同底的指数函数与对数函数互为相反数，图像关于对称.画出图像如下图所示，由图可知，，故.故选B.‎ ‎16．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为 A．36 B．42‎ C．49 D．50‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设抛物线方程为 由抛物线过定点得，抛物线方程，焦点为，‎ 圆的标准方程为圆心为，半径，‎ 由于直线过焦点，可设直线方程为，设 ‎，‎ 又 ‎，‎ 时等号成立， ‎ 的最小值为，故选B. ‎ ‎17．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，‎ 则根据椭圆及双曲线的定义，‎ ‎，‎ 设，‎ 则在中由余弦定理得 ‎，‎ 化简，该式变成，‎ ‎，‎ ‎，的最大值是，故选D.‎ ‎18．已知奇函数图象经过点，若矩形的顶点，在轴上，顶点，在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎19．定义在[0，+∞）上的函数满足：．其中表示的导函数，若对任意正数都有，则实数的取值范围是（　　）‎ A．（0，4] B．[2，4]‎ C．（﹣∞，0）∪[4，+∞） D．[4，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴，当且仅当且，即时两等号同时成立，‎ ‎∴“对任意正数都有”等价于“”．‎ 由可得 ，‎ 令，则，‎ ‎∴．‎ 令，‎ 则，‎ ‎∴当时，单调递增；当时，单调递减．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数在区间上单调递减，‎ 故由可得，‎ 整理得，解得或．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 故选C．‎ ‎20．已知函数f（x）=log2x-2log2（x+c），其中c＞0．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1，则c的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，为增函数， ‎ 所以可化为，即在x∈（0，+∞）恒成立，‎ 而，所以，即，当且仅当时，等号成立.故选D.‎