【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第十一章52几何概型作业 8页

‎【课时训练】几何概型 一、选择题 ‎1．(2018佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为(　　)‎ A．16.32 B．15.32‎ C．8.68 D．7.68‎ ‎【答案】A ‎【解析】设椭圆的面积为S，则＝，故S＝16.32.‎ ‎2．(2018昆明三中、玉溪一中统考)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则＋＝，‎ 因为＋＋2＝0，所以＋＝－2，解得＝－2.‎ 由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于点A到BC距离的，所以S△PBC＝S△ABC.所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为＝，故选D.‎ ‎3．(2018菏泽一模)已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三角形，所以△ABD为钝角三角形的概 率为＝.‎ ‎4．(2018广州五校联考)四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)‎ A. B．1－ ‎ C. D．1－ ‎【答案】B ‎【解析】如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P＝＝＝1－.‎ ‎5．(2018贵阳监测考试)在[－4,4]上随机取一个实数m，能使函数f(x)＝x3＋mx2＋3x在R上单调递增的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由题意，得f ′(x)＝3x2＋2mx＋3，要使函数f(x)在R内单调递增，则3x2＋2mx＋3≥0在R内恒成立，即Δ＝‎4m2‎－36≤0，解得－3≤m≤3，所以所求概率为＝，故选D.‎ ‎6．(2018湖北八校二联)已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，直线y＝kx将其面积平分，如图，所求概率为.‎ ‎7．(2018韶关调研)在区间上随机取一个数x，则sin x＋cos x∈[1，]的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】因为x∈，所以x＋∈.由sin x＋cos x＝sin ∈[1，]，得≤sin ≤1，所以x∈.故要求的概率为＝.‎ ‎8．(2018重庆适应性测试)在区间[1,4]上任取两个实数，则所取两个实数之和大于3的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】依题意，记从区间[1,4]上取出的两个实数为x，y，不等式组表示的平面区域的面积为(4－1)2＝9，不等式组表示的平面区域的面积为(4－1)2－×12＝，因此所求的概率为＝，选D.‎ ‎9．(2016石家庄一模)在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】设这两个数分别是x，y，则总的基本事件构成的区域是确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－×2＝，所以这两个数之和小于的概率是.‎ ‎10．(2018河南濮阳一模)如图所示的长方形的长为2、宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为m粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】长方形的面积为2，图中飞鸟图案的面积与长方形的面积之比约为，故图中飞鸟图案的面积约为.故选B.‎ 二、填空题 ‎11．(2018河南六市第一次联考)有一个底面圆的半径为1、‎ 高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】V圆柱＝2π，V半球＝×π×13＝π，＝，‎ 故点P到O的距离大于1的概率为.‎ ‎12．(2018扬州中学期末)在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】∵方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.‎ 如图，由题意，知 在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，‎ ‎∴所求的概率为P＝.‎ ‎13．(2018广州调研)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】如图，如果M点位于以AB为直径的半圆内部，则∠AMB>90°，否则，M点位于半圆上及空白部分，则∠AMB≤90°，所以∠AMB>90°的概率P＝＝.‎ ‎14．(2018南昌月考)一个边长为‎3 cm的正方形薄木板的正中央有一个直径为‎2 cm的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于‎2 cm的区域内的概率等于________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，‎2 cm为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于‎2 cm，其中黑色区域面积为S1＝S正方形－4S扇形－S小圆＝(3)2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个顶点的距离都大于‎2 cm的概率为P＝＝＝.‎