【数学】2020届一轮复习人教B版曲线的极坐标方程的意义作业 4页

‎2020届一轮复习人教B版 曲线的极坐标方程的意义 作业 ‎1．在极坐标系中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足C的极坐标方程；②tan θ＝1(ρ∈R)和θ＝(ρ∈R)表示同一条曲线；③ρ＝1和ρ＝－1表示同一条曲线．其中正确的命题是________(填写相应的序号)．‎ ‎【解析】　在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中必有满足曲线方程的坐标，但不一定所有坐标都满足极坐标方程，①错误；tan θ＝1(ρ∈R)和θ ＝(ρ∈R)均表示经过极点倾斜角为的直线，②正确；ρ＝1和ρ＝－1均表示以极点为圆心，1为半径的圆，③正确．‎ ‎【答案】　②③‎ ‎2．在极坐标系中，过点P且垂直于极轴的直线方程为________．‎ ‎【导学号：98990010】‎ ‎【解析】　设直线与极轴的交点为A，‎ 则OA＝OP·cos ＝，又设直线上任意一点M(ρ，θ)，‎ 则OM·cos θ＝OA，即ρcos θ＝.‎ ‎【答案】　ρcos θ＝ ‎3．极坐标方程ρ＝1表示________．‎ ‎【解析】　由ρ＝1得ρ2＝1，即x2＋y2＝1，故表示圆．‎ ‎【答案】　圆 ‎4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．‎ ‎【解析】　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为(1，－)．‎ ‎5．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：‎ ‎(1)射线y＝x(x≤0)；‎ ‎(2)圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．‎ ‎【解】　(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x，‎ 得ρsin θ＝ρcos θ，‎ ‎∴tan θ＝，∴θ＝或θ＝.‎ 又x≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝，‎ ‎∴射线y＝x(x≤0)的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)．‎ ‎(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＋2ax＝0，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，‎ 即ρ(ρ＋2acos θ)＝0，‎ ‎∴ρ＝－2acos θ，‎ ‎∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为 ρ＝－2acos θ.‎ ‎6．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程：‎ ‎(1)ρ＝；(2)ρ2＝tan θ.‎ ‎【解】　(1)由ρcos θ＝5，得x＝5.‎ ‎(2)x2＋y2＝(x≠0)，即x(x2＋y2)－y＝0(x≠0)．又在极坐标方程ρ2＝tan θ中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是x(x2＋y2)－y＝0.‎ ‎7．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，曲线C1，C2相交于A，B两点．‎ ‎(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求弦AB的长度．‎ ‎【导学号：98990011】‎ ‎【解】　(1)曲线C2：θ＝(ρ∈R)表示直线y＝x；‎ 曲线C1：ρ＝6cos θ化为直角坐标方程，即x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.‎ ‎(2)因为圆心C1(3,0)到直线的距离d＝，r＝3，所以弦长AB＝3.‎ ‎8．求点A到直线l：ρsin＝－2的距离．‎ ‎【解】　A(2，)的直角坐标为(1，)，‎ l：ρsin(θ－)＝－2，ρ(sin θ－cos θ)＝－2.‎ 即： x－y－4＝0.‎ 故A(1，)到l：x－y－4＝0的距离为＝3.‎ ‎9．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ ‎【解】　(1)由ρcos(θ－)＝1得ρ(cos θ＋sin θ)＝1，‎ 即x＋y＝2，‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，所以N(，)．‎ ‎(2)∵M的直角坐标为(2,0)，‎ N的直角坐标为(0，)．‎ ‎∴P的直角坐标为(1，)，‎ P的极坐标为(，)．‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎6．在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹方程．‎ ‎【解】　以圆心O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系，设Q(ρ，θ)，P(1,2θ)．‎ 因为S△OAQ＋S△OQP＝S△OAP.‎ 即·3·ρ·sin θ＋·1·ρ·sin θ ‎＝·3·1·sin 2θ.‎ 整理得：ρ＝cos θ.‎ ‎7．在极坐标系中，圆C：ρ＝10cos θ和直线l：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A、B两点，求线段AB的长．‎ ‎【解】　分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C：x2＋y2＝10x，即(x－5)2＋y2＝25，圆心C(5,0)；‎ 直线l：3x－4y－30＝0，因为圆心C到直线l的距离d＝＝3，所以AB＝2＝8.‎ ‎[能力提升]‎ ‎8．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，试求PQ的最大值．‎ ‎【解】　∵ρ＝12sin θ，‎ ‎∴ρ2＝12ρsin θ，‎ ‎∴x2＋y2－12y＝0，‎ 即x2＋(y－6)2＝36.‎ 又∵ρ＝12cos(θ－)，‎ ‎∴ρ2＝12ρ(cos θcos＋sin θsin)，‎ ‎∴x2＋y2－6x－6y＝0，‎ ‎∴(x－3)2＋(y－3)2＝36.‎ ‎∴PQ的最大值为6＋6＋＝18.‎