黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题 含解析 19页

www.ks5u.com 双鸭山市第一中学2018-2019学年度下学期高二数学（理）‎ 期末考试试题 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合的补集，然后求其与集合的交集，由此求得正确结论.‎ ‎【详解】，所以，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的运算，属于基础题.‎ ‎2.设复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】∵(1＋i)z＝2i，‎ ‎∴z＝＝=1＋i.‎ ‎∴|z|＝＝.‎ 故答案：C ‎【点睛】本题考查复数的运算及复数的模．复数的常见考点有：复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)‎ ‎；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．‎ ‎3.下列函数中,既是偶函数又在单调递增是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.对于B选项，函数为偶函数，当时，为增函数，故B选项正确.对于C选项，函数图像没有对称性，故为非奇非偶函数.对于D选项，在上有增有减.综上所述，本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题.‎ ‎4. 以下四个命题中，真命题的是（ ）‎ A. ‎ B. “对任意的”的否定是“存在”‎ C. ，函数都不是偶函数 D. 中，“”是“”的充要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：当时，故A错误；由全称命题的否定知B错误；由诱导公式可得单调时，显然为偶函数；故C错误；‎ 或，若，‎ ‎，若；反之，若，故D正确 考点：全称命题否定，充要条件等 ‎5.已知，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和角的范围可求出=—，再根据两角和与差的正弦求出的值，进而求出，代入求出结果即可.‎ ‎【详解】因为，，=—，‎ 所以==，‎ 所以，所以= .‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数给值求角，两角和与差的正弦，诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎6.已知，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意结合对数函数的性质可知：‎ ‎，，，‎ 据此可得：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．‎ ‎7.在中，,则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据求得，进而求得，根据余弦定理求得以及，由此求得.‎ ‎【详解】由于，所以且为锐角，所以.由余弦定理得.故.所以.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查余弦定理解三角形，考查向量数量积的运算，属于中档题.‎ ‎8.已知定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，当时，，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是偶函数判出是函数的对称轴，结合是奇函数可判断出函数是周期为的周期函数，由此求得的值.‎ ‎【详解】由于是偶函数，所以函数的一条对称轴为，由于函数是奇函数，函数图像关于原点对称，故函数是周期为的周期函数，故，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、考查函数的对称性、考查函数的周期性，考查函数值的求法，属于基础题.‎ ‎9.函数的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算函数与y轴的交点坐标，再判断函数的单调性，即可判断出答案．‎ ‎【详解】当x＝0时，y＝4﹣1＝3＞0，排除C，当>x>0时，是单调递减的，当x>时，导函数为-4sinx-<0,所以也是单调递减的，又函数连续，故当x>0时，函数时递减的，故选A.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．‎ ‎10.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像最低点求得，根据函数图像上两个特殊点求得的值，由此求得函数解析式，进而求得的值.‎ ‎【详解】根据图像可知，函数图像最低点为，故，所以，将点代入解析式得 ‎，解得，故，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.‎ ‎11.已知点是的外接圆圆心, .若存在非零实数使得且,则的值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据且判断出与线段中点三点共线，由此判断出三角形的形状，进而求得的值.‎ ‎【详解】由于，由于，所以与线段中点三点共线，根据圆的几何性质可知直线垂直平分，于是是以为底边的等腰三角形，于是，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量中三点共线的向量表示，考查圆的几何性质、等腰三角形的几何性质，属于中档题.‎ ‎12.已知函数(为自然对数的底数)，.若存在实数，使得，且，则实数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程求得，结合求得的取值范围.将转化为直线和在区间上有交点的问题来求得的最大值.‎ ‎【详解】由得，注意到在上为增函数且，所以.由于的定义域为，所以由得.所以由得，画出和的图像如下图所示，其中由图可知的最大值即为.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查指数方程和对数方程的解法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.__________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据积分的几何意义，原积分的值即为单元圆在第一象限的面积 则 ‎14.在中,角的对边分别为，若则的面积_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，根据三角形面积公式求得三角形面积.‎ ‎【详解】由正弦定理得，由于，所以，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形面积公式，属于基础题.‎ ‎15.已知，命题：，，命题：，，若命题为真命题，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式恒成立化简命题为，根据一元二次方程有解化简命题为或，再根据且命题的性质可得结果.‎ ‎【详解】若命题：“，”为真；‎ 则，‎ 解得：，‎ 若命题：“，”为真，‎ 则，‎ 解得：或，‎ 若命题“”是真命题，则，或，‎ 故答案为：或 ‎【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎16.已知函数若存在互不相等实数有则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设，根据二次函数对称性求得的值.根据绝对值的定义求得的关系式，将转化为来表示，根据的取值范围，求得的取值范围.‎ ‎【详解】不妨设，画出函数图像如下图所示.二次函数的对称轴为，所以.不妨设，则由得，得，结合图像可知，解得 ‎，所以，由于在上为减函数，故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）已知为正数，且，求证.‎ ‎【答案】（1）3；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用绝对值不等式求得函数的最小值.（2）利用基本不等式，证得不等式成立.‎ ‎【详解】（1）依题意，当且仅当时，取得最小值，故的最小值为.（2）由（1）知，，当且仅当时等号成立.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用绝对值不等求得最小值，考查利用基本不等式证明不等式，属于基础题.‎ ‎18.设函数，其中.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最小值为，最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用辅助角公式化简，并利用解方程，解方程求得的值.（2）求得图像变换后的解析式，根据的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得的最大值和最小值.‎ ‎【详解】（1）因为.‎ 由题设知，所以，故，又，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得.所以.，‎ 所以当，即时，取得最小值，‎ 当，即时，取得最大值.‎ ‎【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查三角函数的最值的求法.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值.‎ ‎【答案】(1) x＋y－2＝0；(2) 当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a无极大 ‎【解析】‎ 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.‎ ‎(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，‎ f′(x)＝1－(x>0)，‎ 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，‎ 所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.‎ ‎(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：‎ ‎①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；‎ ‎②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，‎ 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；‎ 当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．‎ ‎20.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为 ‎（1）设是参数，若，求直线的参数方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线交于两点，设且,求实数的值.‎ ‎【答案】（1）(t为参数)；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，代入，求得的值，由此求得直线的参数方程.（2）先求得曲线的直角坐标方程，然后将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，结合利用参数的几何意义列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】（1）由得直线，代入，求得，故直线的参数方程为（为参数）.（2）由得.将代入并化简得，所以，由于在直线上，由得，即，化简得，解得（负根舍去）.‎ ‎【点睛】本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程及直线参数的运用，属于中档题.‎ ‎21.在锐角中，角的对边分别为，中线，满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求周长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，两边平方后，代入，利用余弦定理求得的值，进而求得.（2）利用正弦定理进行转化，结合三角函数值域的求法，求得周长的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由于是三角形的中线，所以，两边平方并化简得，将代入上式得，故，所以.‎ ‎（2）由正弦定理得，而，所以的周长为，由于三角形是锐角三角形，所以，所以，所以，所以，也即三角形周长的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量运算，考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查辅助角公式，考查三角函数值域的求法，属于中档题.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数的值域为，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）增区间是，单调减区间是；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求出的单调区间以及，时的范围，即可得到函数的单调区间；‎ ‎（2）先利用有解求出的大致范围，再证明在该范围内即可。‎ ‎【详解】（1）当，，所以，‎ 由于，可得．‎ 当时，，是减函数；当时，，是增函数；‎ 因为当时，；当时，‎ 所以函数的单调增区间是，单调减区间是 ‎（2）由题意知必有解，即有解，‎ 所以，即直线与曲线 有交点．‎ 则，令得和；‎ 令得和．‎ 所以和，为增函数；和，‎ 为减函数．‎ ‎，当时，恒成立；‎ 所以时，；当时，，所以时，；‎ ‎，即时， ，的图像如图所示．‎ 直线与曲线有交点，即或，所以或，‎ 下证，先证，设，则，‎ 当时，，函数h（x）单调递减，当时，，函数单调递增，‎ 所以，即；‎ 当时，若， ‎ 因为在时的值域是，又因为函数连续，所以：；‎ 当时，若，‎ ‎，‎ 当时，，时；所以时，‎ 又因为函数连续，所以，‎ 综上，或．‎ ‎【点睛】本题考查导数在函数研究中的应用，综合性强，属于中档题。‎ ‎ ‎