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  • 2021-06-30 发布

【数学】2020届浙江一轮复习通用版5-1平面向量的概念及线性运算作业

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‎[基础达标]‎ ‎1.下列各式中不能化简为的是(  )‎ A.+(+) B.(+)+(-)‎ C.-+ D.+- 解析:选D.+(+)=++=+=;(+)+(-)=(+)+(-)=+=;-+=+=;‎ +-=-,‎ 显然由-得不出,‎ 所以不能化简为的式子是D.‎ ‎2.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是(  )‎ A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|a 解析:选B.对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反;B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小.‎ ‎3.(2019·浙江省新高考学科基础测试)设点M是线段AB的中点,点C在直线AB外,||=6,|+|=|-|,则||=(  )‎ A.12 B.6‎ C.3 D. 解析:选C.因为|+|=2||,|-|=||,所以2||=||=6,‎ 所以||=3,故选C.‎ ‎4.已知a,b是任意的两个向量,则下列关系式中不恒成立的是(  )‎ A.|a|+|b|≥|a-b|‎ B.|a·b|≤|a|·|b|‎ C.(a-b)2=a2-2a·b+b2‎ D.(a-b)3=a3-3a2·b+3a·b2-b3‎ 解析:选D.由三角形的三边关系和向量的几何意义,得|a|+|b|≥|a-b|,所以A正确;‎ 因为|a·b|=|a||b||cos a,b|,又|cos a,b|≤1,‎ 所以|a·b|≤|a||b|恒成立,B正确;‎ 由向量数量积的运算,得(a-b)2=a2-2a·b+b2,C正确;根据排除法,故选D.‎ ‎5.已知a,b是非零向量,命题p:a=b,命题q:|a+b|=|a|+|b|,则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A.若a=b,则|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即p⇒q,‎ 若|a+b|=|a|+|b|,由加法的运算知a与b同向共线,‎ 即a=λb,且λ>0,故q p.‎ 所以p是q的充分不必要条件,故选A.‎ ‎6.(2019·温州市普通高中模考)已知A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D,若=λ+μ(λ>0,μ>0),则λ+μ的取值范围是(  )‎ A.(0,1) B.(1,+∞)‎ C.(1, ] D.(0, )‎ 解析:选B.由题意可得=k=kλ+kμ(0<k<1),又A,D,B三点共线,所以kλ+kμ=1,则λ+μ=>1,即λ+μ的取值范围是(1,+∞),选项B正确.‎ ‎7.已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=a,=b,则=________,=________(用a,b表示).‎ 解析:‎ 如图,==-=b-a,=-=--=-a-b.‎ 答案:b-a -a-b ‎8.若||=8,||=5,则||的取值范围是________.‎ 解析:=-,当,同向时,||=8-5=3;当,反向时,||=8+5=13;当,不共线时,3<||<13.综上可知3≤||≤13.‎ 答案:[3,13]‎ ‎9.(2019·温州质检)如图所示,在△ABC中,BO为边AC上的中线,=2,设∥,若=+λ(λ∈R),则λ的值为 ________.‎ 解析:因为=2,所以=+=+,又∥,可设=m,从而=+=++=+.因为=+λ,所以=,λ=1+=.‎ 答案: ‎10.(2019·杭州中学高三月考)已知P为△ABC内一点,且5-2-=0,则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于________.‎ 解析:因为5-2-=0,‎ 所以=+,‎ 延长AP交BC于D,则=+=,‎ 从而可以得到D是BC边的三等分点,且CD=CB,‎ 设点B到边AC的距离为d,则点P到边AC的距离为×d=d,‎ 所以△PAC的面积与△ABC的面积之比为.‎ 答案: ‎11.经过△OAB重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m,=n,m,n∈R,求+的值.‎ 解:设=a,=b,则=(a+b),=-=nb-ma,=-=(a+b)-ma=a+b.‎ 由P,G,Q共线得,存在实数λ使得=λ,‎ 即nb-ma=λa+λb,‎ 从而 消去λ,得+=3.‎ ‎12.在△ABC中,D、E分别为BC、AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,‎ 设=a,=b,试用a,b表示,.‎ 解:=(+)=a+b.‎ =+=+=+(+)‎ ‎=+(-)=+=a+b.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.设P是△ABC所在平面内的一点,且=2,则△PAB与△PBC的面积的比值是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.因为=2,所以=,又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等,所以==.‎ ‎2.(2019·福建省普通高中质量检查)已知D,E是△ABC边BC的三等分点,点P在线段DE上,若=x+y,则xy的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.由题意,知P,B,C三点共线,则存在实数λ使=λ,所以-=λ(-),所以=-λ+(λ+1),则,所以x+y=1且≤x≤,于是xy=x(1-x)=-+,所以当x=时,xy取得最大值;当x=或x=时,xy取得最小值,所以xy的取值范围为,故选D.‎ ‎3.(2019·浙江名校协作体高三联考)如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O 的直线分别交直线AB的延长线,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n=________.‎ 解析:作BG∥AC,则BG∥NC,=.‎ 因为O是BC的中点,所以△NOC≌△GOB,‎ 所以|BG|=|NC|,又因为|AC|=n|AN|,‎ 所以|NC|=(n-1)|AN|,所以=n-1.‎ 因为|AB|=m|AM|,所以|BM|=(1-m)|AM|,‎ 所以=1-m,所以n-1=1-m,m+n=2.‎ 答案:2‎ ‎4. (2019·温州市四校高三调研)如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,M,N分别为线段BC,CD上的点,且满足+=1,若=x+y,则x+y的最小值为________.‎ 解析:连接MN交AC于点G,由勾股定理,知MN2=CM2+CN2,所以1=+=,‎ 即MN=CM·CN,所以C到直线MN的距离为定值1,此时MN是以C为圆心,1为半径的圆的一条切线.因为=x+y=(x+y)·,‎ 所以由共线定理知,=(x+y),‎ 所以x+y==,‎ 又因为||max=5-1=4,‎ 所以x+y的最小值为.‎ 答案: ‎5.如图,EF是等腰梯形ABCD的中位线,M,N是EF上的两个三等分点,若=a,=b,=2.‎ ‎(1)用a,b表示;‎ ‎(2)证明A,M,C三点共线.‎ 解:(1)=++=a+b+=a+b,‎ 又E为AD中点,‎ 所以==a+b,‎ 因为EF是梯形的中位线,且=2,‎ 所以=(+)==a,‎ 又M,N是EF的三等分点,所以==a,‎ 所以=+=a+b+a=a+b.‎ ‎(2)证明:由(1)知==a,‎ 所以=+=a+b=,‎ 又与有公共点M,所以A,M,C三点共线.‎ ‎6.已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R).求证:A,P,B三点共线的充要条件是m+n=1.‎ 证明:充分性:若m+n=1,则=m+(1-m)=+m(-),‎ 所以-=m(-),‎ 即=m,‎ 所以与共线.‎ 又因为与有公共点B,则A,P,B三点共线.‎ 必要性:若A,P,B三点共线,‎ 则存在实数λ,使=λ,‎ 所以-=λ(-).‎ 又=m+n.‎ 故有m+(n-1)=λ-λ,‎ 即(m-λ)+(n+λ-1)=0.‎ 因为O,A,B不共线,所以,不共线,‎ 所以所以m+n=1.‎ 所以A,P,B三点共线的充要条件是m+n=1.‎