【数学】2020届浙江一轮复习通用版5-1平面向量的概念及线性运算作业 7页

‎[基础达标]‎ ‎1．下列各式中不能化简为的是(　　)‎ A．＋(＋) B．(＋)＋(－)‎ C．－＋ D．＋－ 解析：选D.＋(＋)＝＋＋＝＋＝；(＋)＋(－)＝(＋)＋(－)＝＋＝；－＋＝＋＝；‎ ＋－＝－，‎ 显然由－得不出，‎ 所以不能化简为的式子是D.‎ ‎2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)‎ A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a 解析：选B.对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．‎ ‎3．(2019·浙江省新高考学科基础测试)设点M是线段AB的中点，点C在直线AB外，||＝6，|＋|＝|－|，则||＝(　　)‎ A．12 B．6‎ C．3 D． 解析：选C.因为|＋|＝2||，|－|＝||，所以2||＝||＝6，‎ 所以||＝3，故选C.‎ ‎4．已知a，b是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是(　　)‎ A．|a|＋|b|≥|a－b|‎ B．|a·b|≤|a|·|b|‎ C．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2‎ D．(a－b)3＝a3－3a2·b＋3a·b2－b3‎ 解析：选D.由三角形的三边关系和向量的几何意义，得|a|＋|b|≥|a－b|，所以A正确；‎ 因为|a·b|＝|a||b||cos a，b|，又|cos a，b|≤1，‎ 所以|a·b|≤|a||b|恒成立，B正确；‎ 由向量数量积的运算，得(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，C正确；根据排除法，故选D.‎ ‎5．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q，‎ 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，‎ 即a＝λb，且λ＞0，故q p.‎ 所以p是q的充分不必要条件，故选A.‎ ‎6．(2019·温州市普通高中模考)已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的取值范围是(　　)‎ A．(0，1) B．(1，＋∞)‎ C．(1， ] D．(0， )‎ 解析：选B.由题意可得＝k＝kλ＋kμ(0＜k＜1)，又A，D，B三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B正确．‎ ‎7．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．‎ 解析：‎ 如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.‎ 答案：b－a　－a－b ‎8．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．‎ 解析：＝－，当，同向时，||＝8－5＝3；当，反向时，||＝8＋5＝13；当，不共线时，3＜||＜13.综上可知3≤||≤13.‎ 答案：[3，13]‎ ‎9．(2019·温州质检)如图所示，在△ABC中，BO为边AC上的中线，＝2，设∥，若＝＋λ(λ∈R)，则λ的值为 ________．‎ 解析：因为＝2，所以＝＋＝＋，又∥，可设＝m，从而＝＋＝＋＋＝＋.因为＝＋λ，所以＝，λ＝1＋＝.‎ 答案： ‎10．(2019·杭州中学高三月考)已知P为△ABC内一点，且5－2－＝0，则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于________．‎ 解析：因为5－2－＝0，‎ 所以＝＋，‎ 延长AP交BC于D，则＝＋＝，‎ 从而可以得到D是BC边的三等分点，且CD＝CB，‎ 设点B到边AC的距离为d，则点P到边AC的距离为×d＝d，‎ 所以△PAC的面积与△ABC的面积之比为.‎ 答案： ‎11．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．‎ 解：设＝a，＝b，则＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.‎ 由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，‎ 即nb－ma＝λa＋λb，‎ 从而 消去λ，得＋＝3.‎ ‎12.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，‎ 设＝a，＝b，试用a，b表示，.‎ 解：＝(＋)＝a＋b.‎ ＝＋＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝＋(－)＝＋＝a＋b.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1．设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选B.因为＝2，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.‎ ‎2．(2019·福建省普通高中质量检查)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x＋y，则xy的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数λ使＝λ，所以－＝λ(－)，所以＝－λ＋(λ＋1)，则，所以x＋y＝1且≤x≤，于是xy＝x(1－x)＝－＋，所以当x＝时，xy取得最大值；当x＝或x＝时，xy取得最小值，所以xy的取值范围为，故选D.‎ ‎3．(2019·浙江名校协作体高三联考)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O 的直线分别交直线AB的延长线，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n＝________．‎ 解析：作BG∥AC，则BG∥NC，＝.‎ 因为O是BC的中点，所以△NOC≌△GOB，‎ 所以|BG|＝|NC|，又因为|AC|＝n|AN|，‎ 所以|NC|＝(n－1)|AN|，所以＝n－1.‎ 因为|AB|＝m|AM|，所以|BM|＝(1－m)|AM|，‎ 所以＝1－m，所以n－1＝1－m，m＋n＝2.‎ 答案：2‎ ‎4. (2019·温州市四校高三调研)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足＋＝1，若＝x＋y，则x＋y的最小值为________．‎ 解析：连接MN交AC于点G，由勾股定理，知MN2＝CM2＋CN2，所以1＝＋＝，‎ 即MN＝CM·CN，所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的圆的一条切线．因为＝x＋y＝(x＋y)·，‎ 所以由共线定理知，＝(x＋y)，‎ 所以x＋y＝＝，‎ 又因为||max＝5－1＝4，‎ 所以x＋y的最小值为.‎ 答案： ‎5．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2.‎ ‎(1)用a，b表示；‎ ‎(2)证明A，M，C三点共线．‎ 解：(1)＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b，‎ 又E为AD中点，‎ 所以＝＝a＋b，‎ 因为EF是梯形的中位线，且＝2，‎ 所以＝(＋)＝＝a，‎ 又M，N是EF的三等分点，所以＝＝a，‎ 所以＝＋＝a＋b＋a＝a＋b.‎ ‎(2)证明：由(1)知＝＝a，‎ 所以＝＋＝a＋b＝，‎ 又与有公共点M，所以A，M，C三点共线．‎ ‎6．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．求证：A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.‎ 证明：充分性：若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，‎ 所以－＝m(－)，‎ 即＝m，‎ 所以与共线．‎ 又因为与有公共点B，则A，P，B三点共线．‎ 必要性：若A，P，B三点共线，‎ 则存在实数λ，使＝λ，‎ 所以－＝λ(－)．‎ 又＝m＋n.‎ 故有m＋(n－1)＝λ－λ，‎ 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.‎ 因为O，A，B不共线，所以，不共线，‎ 所以所以m＋n＝1.‎ 所以A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.‎