【数学】2020届一轮复习人教A版空间图形的基本关系与公理课时作业 9页

空间图形的基本关系与公理 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分，共35分)‎ ‎ 1.若平面α⊥平面β,且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.直线a必垂直于平面β B.直线b必垂直于平面α C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面垂直 答案C 解析α⊥β,a⊂α,b⊂β,a⊥b,当α∩β=a时,b⊥α;当α∩β=b时,a⊥β,其他情形则未必有b⊥α或a⊥β,所以选项A,B,D都错误,故选C.‎ ‎2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(　　)‎ A.+1 B.+3 C.+1 D.+3‎ 答案A 解析V=×3×+1,故选A.‎ ‎3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为(　　)‎ A. B.2 C. D.3‎ 答案C 解析由计算可得O为B1C与BC1的交点.‎ 设BC的中点为M,连接OM,AM,则可知OM⊥面ABC,连接AO,则AO的长为球半径,可知OM=6,AM=,在Rt△AOM中,由勾股定理得R=.‎ ‎4.(2018福建宁德期末)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有筑城,上广二丈,下广五丈四尺,高三丈八尺,长五千五百五十尺,秋程人功三百尺.问:须工几何?”意思是:“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为2丈,下底为5.4丈,高为3.8丈,直棱柱的侧棱长为5 550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺,问:一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注:一丈等于十尺)(　　)‎ A.24 642 B.26 011 C.52 022 D.78 033‎ 答案B 解析根据棱柱的体积公式,可得城墙所需土方为×38×5550=7803300(立方尺),一个秋天工期所需人数为=26011,故选B.‎ ‎5.在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为 ‎ (　　)‎ A.3　　　 　B‎.4　‎　　 　C.5　　　 　D.6‎ ‎【解析】选C.在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中，用列举法知符合要求的棱为BC，CD，C1D1，BB1，AA1，共5条.‎ ‎6.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 ‎(　　)‎ A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 ‎【解析】选C.沿三条交线为投射线，把三个平面分成的空间投射到一个平面内，如图，所以这三个平面把空间分成7部分.‎ ‎7.如图，在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是(　　)‎ A.直线AA1‎ B.直线A1B1 ‎ C.直线A1D1‎ D.直线B‎1C1‎ ‎【解析】选D.只有D中直线B‎1C1与EF在同一平面内，是相交的，A，B，C中直线与EF都是异面直线.‎ 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎8.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F， ‎ ‎①四边形BFD′E一定是平行四边形 ‎②四边形BFD′E有可能是正方形 ‎③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形 ‎④四边形BFD′E有可能垂直于平面BB′D 以上结论正确的为_______(写出所有正确结论的编号) ‎ ‎【解析】由正方体的性质，四边形BFD′E的两组对边分别平行，所以一定是平行四边形，所以①正确，若是正方形，则BF⊥D′F，又因为D′C′⊥BF，所以BF⊥平面CDD′C′，所以BF⊥CF，矛盾，所以②错误，因为四边形BFD′E 在底面ABCD内的投影是四边形ABCD，所以一定是正方形，③正确，因为当EF平行于AC时，截面四边形是菱形，此时四边形BFD′E垂直于平面BB′D，所以④正确.‎ 答案：①③④‎ ‎9.对于四面体ABCD，下列命题正确的是_______. (写出所有正确命题的编号) ‎ ‎①相对棱AB与CD所在的直线异面；‎ ‎②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；‎ ‎③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；‎ ‎④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.‎ ‎【解析】由异面直线的判断方法可知棱AB与CD所在的直线异面，所以①正确.若AB垂直于底面BCD，而三角形BCD是一般三角形的情况下，B不是△BCD的三条高线的交点，所以②错误.当CA=CB，DA=DB时，两个三角形的高是相交直线，所以③错误.因为顺次连接空间四边形的四条边的中点得到的是平行四边形，所以相对棱中点的连线是这个平行四边形的对角线，所以④正确.‎ 答案：①④‎ ‎10.一个正四面体与其外接球体积的比值为_______. ‎ ‎【解析】设正四面体为PABC，球心设为O. 设正四面体的棱长为a，‎ 则底面三角形的高为：a，正四面体的高为=a，‎ 外接球的半径为R，R2=+，解得R=a，‎ 正四面体的体积V1=·S·h=××a×a×a=a3，‎ 而正四面体PABC的外接球的体积V2=·=πa3，正四面体与其外接球的体积比值为：=.‎ 答案：‎ ‎(15分钟　30分)‎ ‎1.(5分)已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则下列命题正确的是 ‎ (　　)‎ A.若α⊥β，则l∥m　　　　B.若l⊥m，则α∥β C.若l∥β，则m⊥α D.若α∥β，则l⊥m ‎【解析】选D.对于A，若α⊥β，直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则l与m可能平行、相交、异面，故不正确；对于B，若l⊥m，直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则α与β可能平行，也可能相交，故B不正确；对于C， 若l∥β，m与α的位置不确定，故C不正确；对于D，若α∥β，直线l⊥平面α，则直线l⊥平面β，又因直线m∥平面β，则l⊥m，正确.‎ ‎2.(5分)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n= (　　)‎ A.8　　　　B‎.9　‎　　　C.10　　　　D.11‎ ‎【解析】选A.由题意可知直线CE与正方体的上底面平行，在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4，直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8.‎ ‎3.(5分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，∠AOC=120°，∠A1O1B1=60°，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B‎1C与AA1所成的角的大小是___________. ‎ ‎【解析】设点B1在下底面圆周的射影为B，连接BB1，则BB1∥AA1，所以∠BB‎1C为直线B‎1C与AA1所成角(或补角)，‎ ‎|BB1|=|AA1|=1，连接BC，BO，∠AOB=∠A1O1B1=，∠AOC=，所以∠BOC=，所以△BOC为正三角形，所以|BC|=|BO|=1，tan∠BB‎1C=1，所以直线B‎1C与AA1所成角的大小为45°.‎ 答案：45°‎ ‎4.(15分)(2018·新余模拟)直三棱柱ABC-A1B‎1C1的底面为等腰直角三角形，‎ ‎∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E，F分别是BC，AA1的中点.求： ‎ ‎(1)异面直线EF和A1B所成的角.‎ ‎(2)三棱锥A-EFC的体积.‎ ‎【解析】(1)如图，取AB的中点D，‎ 连接DE，DF，则DF∥A1B，‎ 所以∠DFE(或其补角)即为所求.‎ 由题意知，DF=，DE=1，AE=，由DE⊥AB，DE⊥AA1，AB∩AA1=A得DE⊥平面ABB‎1A1，所以DE⊥DF，即△EDF为直角三角形，‎ 所以tan∠DFE===，‎ 所以∠DFE=30°，‎ 即异面直线EF和A1B所成的角为30°.‎ ‎(2)VA-EFC=VF-AEC=·S△AEC·FA ‎=××××=.‎ ‎【变式备选】(2019·南昌八校模拟)如图，在四面体ABCD中 ，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点. ‎ ‎【证明】如图，连接GE，FH.‎ 因为E，G分别为BC，AB的中点，‎ 所以GE∥AC.‎ 又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3，‎ 所以FH∥AC.‎ 所以FH∥GE，GH，EF不平行.‎ 所以E，F，H，G四点共面.‎ 所以四边形EFHG是一个梯形.‎ 设GH和EF交于一点O.‎ 因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，‎ 所以O在这两个平面的交线上.‎ 因为这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上.‎ 这就证明了GH和EF的交点也在BD上，‎ 所以EF，GH，BD交于一点.‎