2019-2020学年广东省广州市荔湾区高二上学期期末教学质量检测数学答案与评分标准 14页

‎2019-2020学年第一学期期末教学质量监测 高二数学参考答案与评分标准 说明：‎ ‎1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．‎ ‎2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题，每小题5分,共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D D C B ‎ B C B A D B A 部分小题解答 ‎8. 解:由，得 ，所以，即，‎ ‎ 所以（舍去）．依题意得，即，所以．‎ ‎ 所以．故选B．‎ ‎9. 解:若是等比数列，则是与的等比中项，所以原命题是真命题，‎ 从而，逆否命题是真命题；‎ 反之，若，则当时，，所以是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题．故选A．‎ ‎10. 解:双曲线的渐近线方程为，无妨设，‎ 因为，，所以得，‎ 所以的面积为．故选D．‎ ‎11. 解:设，则，所以 ‎，‎ 当且仅当，即时，取“=”号，‎ 所以当时，最小．故选B．‎ ‎12. 解:取中点，易证：.‎ 如上图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.‎ 由已知得 ‎.‎ 设，‎ 则 .‎ 设平面的法向量.‎ 由得，‎ 可取，‎ 所以，‎ 解得（舍去），，‎ 所以．故选A．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎ 13. 14. 15. 16. ‎ ‎14. 解:因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数，‎ 所以座位数构成等差数列.‎ 因为，所以.‎ ‎15. 解法一: 如图,因为为正三角形，所以，‎ 所以是直角三角形.‎ 因为，，所以.‎ 因为，所以 即，所以. ‎ 解法二：如图，易得点，代入，得 ‎，解得.‎ ‎16. 解析: 因为，‎ 所以 ‎，‎ 所以.‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的最大值及对应的大小．‎ ‎17. 解：（1）设的公差为，且．‎ 由，得， ……………1分 ‎ 由，得， ……………2分 于是． ……………4分 所以的通项公式为 ． ……………5分 ‎（2）由（1）得 ……………6分 ‎ ……………7分 ‎ ……………8分 因为，‎ 所以当或时, ……………9分 有最大值为． ……………10分 ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，并且经过点，抛物线的焦点为 ‎，准线为．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过且斜率为的直线与抛物线相交于两点、，过、分别作准 线的垂线，垂足分别为、，求四边形的面积． ‎ ‎18. 解：（1）根据题意，设抛物线为， ……………1分 因为点在抛物线上，所以，即． ……………2分 所以抛物线C的方程为． ……………3分 ‎（2）由（1）可得焦点，准线为． ……………4分 不妨设，‎ 过且斜率为的直线的方程为． ……………5分 由 得， ……………6分 所以，．代入，得，．‎ 所以， …………………………………………………7分 ‎． ……………………………………………………8分 ‎(注：A、B两点，算对一个得1分)‎ 所以， …………………………………………9分 ‎， ………………………………………………10分 ‎． …………………………………………11分 ‎(注：上面三条线段，算对一个得1分)‎ 因为四边形是直角梯形，所以四边形的面积为 ‎．……………………………………12分 ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图，四棱锥中，底面是菱形，‎ ‎．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，，‎ 求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎19. 解：（1）证明：记，连接．‎ 因为底面是菱形，‎ 所以，是的中点． ……………………………………1分 因为，所以． …………………………………………2分 因为，‎ 所以平面． ………………………………………………………3分 因为，所以平面平面． ……………………4分 ‎（2）因为底面是菱形，，，‎ 所以是等边三角形，即．‎ 因为，所以． ……………………………………5分 又，，所以，‎ 即． ………………………………………………………………6分 方法一：因为是的中点，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以和都是等腰三角形． ………………………………………7分 取中点，连接，则，且，‎ 所以是二面角的平面角． ……………………………………8分 因为，且，‎ 所以．…………………………………………………………9分 因为， ‎ ‎， ……………………………………………………………10分 所以． …………………………………11分 所以二面角的余弦值为． ……………………………………12分 方法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，………………………………………………………7分 则，，，，……………………7分 所以，，．……………………8分 设平面的法向量为 由，得，‎ 令，得． ……………9分 同理，可求平面的法向量． ……………10分 所以 ‎ …………11分 ‎． ………………………………12分 所以，二面角的余弦值为． ………………………………12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 数列的前项和为，且()，数列满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）求证：数列是等比数列；‎ ‎（3）设数列满足，其前项和为，证明：．‎ ‎20. 解：（1）当时，． ………………………………………1分 当时，=． …………………………2分 检验，当时符合． …………………………3分 所以． ………………………………………4分 ‎（2）当时，， ……………5分 而，所以数列是等比数列，且首项为，公比为．………6分 ‎（3）由（1）（2）得 = ，‎ ‎， …………………………7分 所以 ‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ 由①②得 ‎，…………8分 ‎ ………………………………9分 ‎ ， ………………………………10分 所以． ………………………………11分 因为，所以 ． ………………………………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意 一点，线段的垂直平分线和半径相交于点．‎ 当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与曲线相交于，两点 ‎（点在，两点之间）．是否存在直线使得 ‎？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21. 解：（1）因为圆的方程为，‎ 所以，半径． ………………………………1分 因为是线段的垂直平分线，所以．‎ 所以． ………………………………2分 因为，‎ 所以点Q的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆．………3分 因为，， ………………………………………………4分 所以曲线的方程为． ……………………………………………5分 ‎（2）存在直线使得． ……………………………………………6分 方法一：因为点在曲线外，直线与曲线相交，‎ 所以直线的斜率存在，设直线的方程为． ……………………7分 设，‎ 由 得． …………………8分 则， ① ‎ ‎， ② ……………………9分 由题意知，解得．‎ 因为，‎ 所以，即． ③ ……………………10分 把③代入①得 ， ④‎ 把④代入②得，得，满足． …………………11分 ‎ 所以直线的方程为：或． …………………12分 方法二：因为当直线的斜率为0时，，‎ 此时． ……………………………………7分 因此设直线的方程为：． ‎ 设，‎ 由 得 ． ……………………………8分 由题意知，解得或 ，‎ 则， ① ‎ ‎， ② …………………9分 因为，所以． ③ …………………10分 把③代入①得， ④‎ 把④代入②得， ，满足或． …………………11分 所以直线的方程为或． …………………12分 ‎22. (本小题满分12分)‎ 已知函数．‎ ‎（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）设，若不等式对都成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若且时，求函数的零点．‎ ‎22. 解：（1）因为不等式的解集为，所以为方程的两个根，‎ 由根与系数的关系得 ‎ ，即，．………………………………………2分 ‎ （2）当时，，‎ 因为不等式对都成立，‎ 所以不等式对任意实数都成立．‎ 令，‎ 所以． …………………………3分 当时，， …………………………4分 所以，即，得或，‎ 所以实数的取值范围为． …………………………5分 ‎（3）当时，，‎ 函数的图像是开口向上且对称轴为的抛物线，‎ ‎．‎ ①当，即时，恒成立，函数无零点． …………6分 ②当，即或时，‎ ‎（i）当时，，此时函数无零点． ……………7分 ‎（ii）当时，，此时函数有零点． ……………8分 ③当，即或时，令，得 ‎，‎ ‎． ………………………………………9分 ‎（i）当时，得，此时，‎ 所以当时，函数无零点． ………………………………………10分 ‎（ii）当时，得 ，此时，所以当时，函数有两个零点：． ……………………………11分 综上所述：当，时，函数无零点；当，时，函数有一个零点为；当，时，函数有两个零点：． ……………………………12分